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人教A版（2019）选择性必修第一册《第三章 圆锥曲线的方程》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）过点与抛物线有且只有一个交点的直线有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
2.（5分）椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，则
A. B. C. D.
3.（5分）已知抛物线：，过点且斜率为的直线与交于，两点，若，则
A. B. C. D.
4.（5分）抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
5.（5分）双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
6.（5分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，则
A.
A. B. C. D.
（5分）
7.顶点在坐标原点，对称轴为轴，又过点的抛物线方程是
A. B. C. D.
8.（5分）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，为坐标原点交直线于点，交抛物线于点，则直线的斜率为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知双曲线，则下列结论正确的有
A. 焦点在轴上 B. 实轴长为 C. 虚轴长为 D. 离心率为
10.（5分）阿基米德公元前年——公元前年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点、处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线：的焦点为，过、两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是
A. B.
C. 点的坐标为 D.
11.（5分）已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点．若的周长为，则
A. B. 的方程为
C. D. 的方程为
12.（5分）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点在第一象限，为线段的中点．在抛物线的准线上的射影为点，则下列说法正确的是
A. 的最小值为 B.
C. 面积的最小值为 D. 若直线的斜率为，则
13.（5分）已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知双曲线的左焦点为，点的坐标为，若直线的倾斜角为，则的离心率为______．
15.（5分）已知椭圆与轴交于点，，直线交椭圆于，两点，是椭圆上异于，的点，点满足，，则______．
16.（5分）过抛物线方程为的焦点作直线交于，两点，若，则______．
17.（5分）已知点、为抛物线与双曲线的两个不同交点，设、两点到双曲线两渐近线的距离分别为，和，当时，双曲线离心率为 ______.
18.（5分）已知椭圆，是其左顶点和左焦点，是圆上的动点，若，则此椭圆的离心率是__________
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，抛物线：的焦点为，抛物线上一定点过焦点的直线不经过点与抛物线交于，两点，与准线交于点．
若，求直线的斜率；
记，，的斜率分别为，，，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20.（12分）过抛物线的焦点作平行于轴的直线，且与抛物线交于，两点，且．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线交于，两点，求．
21.（12分）如图，已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为
求椭圆的方程．
已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在值，使以为直径的圆过点请说明理由．
22.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右顶点为，且其两焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点.
求椭圆的方程；
试判断是否存在实数，使得为定值若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由.
23.（12分）已知抛物线：的焦点到准线的距离为
求的方程；
已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
该题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是：代数法，转化为方程组解的个数问题；几何法，数形结合；
过点的直线与抛物线只有一个交点，则方程组只有一解，分两种情况讨论即可：当该直线存在斜率时；该直线不存在斜率时．

解：当过点的直线存在斜率时，设其方程为：，
由，消得，
若，方程为，解得，此时直线与抛物线只有一个交点；
若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
当过点的直线不存在斜率时，
该直线方程为，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线有条．
故选B．
2.【答案】A;
【解析】
根据题意，由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的焦点坐标，由椭圆的几何性质可得，解可得的值，即可得答案．
该题考查椭圆、双曲线的标准方程，注意由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标，由此确定的值．

解：根据题意，双曲线方程为：，其焦点坐标为，
则椭圆的的焦点也为，即其焦点在轴上，且，
则有，
解可得．
故选：．

3.【答案】B;
【解析】解：设直线，由得，
设，，则有①，②，
又，③，
由②③得或舍，
代入①得，
故选：
设出直线方程，联立直线与抛物线方程，通过向量关系，结合韦达定理，转化求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了抛物线的概念及标准方程，由题意得，则，根据抛物线的开口可得准线方程.

解：由抛物线可知开口向右，，
则，，
所以抛物线的准线方程为，
故选
5.【答案】C;
【解析】解：双曲线，可得得，
所以双曲线的渐近线方程是：．
故选：．
只需要令其右边为即可求双曲线的渐近线方程．
该题考查双曲线的简单性质，利用方程右边为得渐近线方程是解答该题的关键．
6.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了焦点到准线的距离，是抛物线的常考基础题型.
将抛物线转换为标准方程，利用焦点到准线的距离公式得到答案.
【详解】
解：由题意得，抛物线的标准方程为，
因为焦点到准线的距离为，所以，解得，
故选

7.【答案】D;
【解析】
该题考查了抛物线方程应用问题，是基础题．
由题意设抛物线的方程为，代入点的坐标求出的知，写出抛物线方程．

解：由题意，可设抛物线的方程为，
由抛物线过点，则，
解得，
抛物线的方程为
故选D．
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查抛物线的相关概念和几何性质，考查考生的运算求解能力.
以点坐标为基本量，求出点的坐标和点的纵坐标，即可得解.
解：不妨设点坐标为，
则直线的方程为，令，得点的坐标为
当直线的斜率不存在时，易得，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
代入并化简，得，
由根与系数的关系知，，
因而，，
又，所以点的纵坐标，与点纵坐标相等，
所以直线的斜率为
9.【答案】BC;
【解析】解：双曲线是焦点坐标，在轴，所以不正确；
实轴长为，所以B正确；虚轴长：，所以C正确；
离心率为：，所以D错误．
故选：．
判断双曲线的焦点坐标所在的轴，实轴长，虚轴长，离心率，判断选项的正误即可．
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】解：由，消去得，，，解得，，
可得，故正确；
由，得，，则，，，故，故正确；
直线的方程为，直线的方程为，联立方程可得交点，故错误；
，，，故，故正确．
故选：
联立直线方程与抛物线方程可解出，两点坐标，可求的长，以及，的斜率，从而可判断，求得直线，的方程，解出交点坐标可判断，求出的斜率与的斜率可判断
此题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质和运算能力，是中档题．
11.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出，即可得出椭圆的方程．

解：的周长为，
且的周长，
，
，
离心率为，
，解得，
，
椭圆的方程为
故选
12.【答案】ABD;
【解析】解：对于，对于，，设，则
故，当且仅当时，等号成立，故正确，
设直线的方程为，由，，
设两交点的坐标分别为，，，，，
的纵标为，，，，，在，，
，故正确；
，
到的距离，
，
当时，取最小值，故不正确；
若的斜率为，的直线方程为，
与抛物线方程组成方程组消去得，
求解可得，，从而，，，，
，，，故正确．
故选：
利用抛物线的性质，设出直线的方程，结合每个选项逐项计算即可．
此题主要考查了抛物线性质的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
13.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了抛物线的定义及性质，属于基础题.
由抛物线的定义可知，直线与准线垂直， 求出点坐标，可得的斜率.

点在抛物线上且，点在抛物线的准线上，由抛物线的定义可知，直线与准线垂直，
设，则，解得，，
由可得或，
点坐标为或，又，
直线的斜率为或
故选
14.【答案】;
【解析】解：依题意得，点的坐标为，
直线的斜率，
，即，化简整理，
．
故答案为：．
先通过、两点的坐标表示出直线的斜率，结合其倾斜角为，得到，由于，代入化简后得，于是可求得离心率．
该题考查双曲线的焦点、离心率等几何性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】2;
【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得，解得，，，，
即，，，，
点满足，，
所以在以为直径的圆上，及点在圆上，
即为椭圆与圆的交点，，可得，，可得：

如图所示．
故答案为：．
由题意可得，，的坐标，由直线与椭圆联立求出，的坐标，再由，可得在以为直径的圆上，及点在圆上，
可得的坐标，进而求出的值．
该题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中档题．
16.【答案】;
【解析】
这道题主要考查抛物线的基本性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．
抛物线中，由抛物线的定义即可得到答案．

解：抛物线中，
，
由抛物线的定义可知，，
故答案为：．
17.【答案】;
【解析】解：由，结合对称性可知，，
不妨设其中一个交点为，
则到两渐近线距离为，，
，
在双曲线上，，得，
，又，，
得
故答案为：
由已知结合对称性可得，不妨设其中一个交点为，利用点到直线的距离公式及在双曲线上，得，求出值，再由隐含条件求得，则答案可求．
此题主要考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】;
【解析】解答：因为，所以当点分别在时比值相等，即整理得：又因为，所以，同除以可得，解得离心率。
19.【答案】解：（1）把Q（1，2）代入=2px，得2p=4，所以抛物线方程为=4x，F（1，0），
准线l的方程为x=-1，
设直线AB的方程为y=k（x-1），与抛物线的方程=4x联立，
可得-2（+2）x+=0，
设A（，），B（，），则+=2+，=1，①
由|AB|=2|MB|，可得=3，
又==3，
即有=3，②
由①②解得=3，=，k=（负的舍去）；
（2）由条件可设直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0．
由抛物线准线l：x=-1，可知M（-1，-2k），又Q（1，2），
所以==1+k，
把直线AB的方程y=k（x-1），代入抛物线方程=4x，并整理，
可得-2（+2）x+=0，
设A（，），B（，），则+=2+，=1，
又Q（1，2），
故=，=．
因为A，F，B三点共线，所以==k，
即==k，
所以+=+=+==2k+
=2k+=2k+2=2（k+1），
即存在常数λ=2，使得+=2成立．;
【解析】
把代入，得，即可求抛物线的方程，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程可得所求斜率；
把直线的方程，代入抛物线方程，并整理，运用韦达定理和直线的斜率公式，求出，，即可得出结论．
这道题主要考查直线与抛物线的综合应用，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，解题时要注意合理地进行等价转化，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由题可知，通径|AB|=2p=6，解得p=3，
∴抛物线的方程为=6y．
（2）联立，得-3x-18=0，解得x=6或-3，
不妨取M（6，6），，
∵，
∴，，
∴．;
【解析】
由于通径，解得，从而得抛物线的方程；
联立，消去，可解得或，不妨取，，而，结合平面向量的坐标运算即可得解．
该题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：由已知直线方程为：，
依题意，
解得，
椭圆方程为
假若存在这样的值，由得：
，
，①解得：，
设， ，
则，②
而，
要使以为直径的圆过点，
当且仅当时，则，，，
即，
，③
将②式代入③整理解得
经验证，满足题意.
综上可知，存在，使得以为直径的圆过点;
【解析】此题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，同时考查直线与椭圆的位置关系及平面向量的几何运用，属于较难题.
由已知得关于，，的方程组，求出，，即可求解
联立直线与椭圆的方程，然后利用韦达定理及向量的数量积求解即可.
22.【答案】解：（1）由题意可知，a=2，b=c，
又因为=+，
解得b=c=，
所以椭圆C的方程为+=1．
（2）由题意可知，直线PQ的斜率不为0，设PQ为：x=my+t（m∈R，t∈（-2，2）），
与椭圆C的方程联立，得（+2）+2mty+-4=0，
设P（，），Q（，），
则+=-，=，
因为A（2，0），
所以=（-2，）=（m+t-2，），=（m+t-2，），
则 =（m+t-2）（m+t-2）+
=（1+）-m（t-2）（+）+（t-2）2
将+=-，=d代入上式，
整理得 =，
若对任意m∈R， =为定值，则t=2或t=，
因为t∈（-2，2），
所以t=，此时 =0．;
【解析】
由右顶点为，且其两焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形，得，，又，解得，，，即可得出答案．
设，，为：，与椭圆的方程联立，结合韦达定理，可得，，再计算得，若对任意，为定值，则或，即可得出答案．
此题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
23.【答案】（1）解：由题意知，p=2，
∴=4x．
（2）由（1）知，抛物线C：=4x，F（1，0），
设点Q的坐标为（m，n），
则=（1-m，-n），

∴P点坐标为（10m-9，10n），
将点P代入C得100=40m-36，
整理得，
∴，当n=3时取最大值．
故答案为：．;
【解析】
根据焦点到准线的距离为求出，进而得到抛物线方程，
设出点的坐标，按照向量关系得出点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．
本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．

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