资源简介

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--平行四边形的判定
一、综合题
1．如图，在□ ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF.
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
2．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE=CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE=CF改为BE=DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？
3．如图，平行四边形 ABCD 中，AB=8 cm，BC=12 cm，∠B=60°，G 是CD 的中点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F， 连接 CE，DF.
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
（2）①AE=　 　cm 时，四边形 CEDF 是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；　 　
②AE=　 　cm 时，四边形 CEDF 是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）.　 　
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形.
（2）若∠BAE=∠BDC,AE=3，BD=9，AB=4，求四边形ABCD的周长.
5．如图，直线 与 轴交于点 ，点 是该直线上一点，满足 .
（1）求点 的坐标；
（2）若点 是直线上另外一点，满足 ，且四边形 是平行四边形，试画出符合要求的大致图形，并求出点 的坐标.
6．如图，在 ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD= 　 　 °时，四边形BECD是矩形．
7．如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD。
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角。
8．已知：如图所示，在 中， 、 分别是 和 的角平分线，交 、 于点 、 ，连接 、 .
（1）求证： 、 互相平分；
（2）若 ， ， ，求线段 的长.
9．如图， ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，连结AE，CF。
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC=120°，BE=CE=4，求 ABCD的面积。
10．在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
（1）补全求证；
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程．
11．如图，在钝角 中， ，以 为直径作圆O，交 于点D，连结 并延长，交 于点E，连结 .
（1）求证：四边形 是平行四边形。
（2）延长线段 交 于点F，连结 交线段 于点G，若 ， 时，求 的直径长.
12．如图，在ΔABC中，AB=AC，若将ΔABC绕点C顺时针180 得到ΔFEC。
（1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；
（2）若ΔABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由。
13．如图，在中，∠BAC的角平分线交BC于点D，．
（1）在AB上求作一点F，使得；（请保留尺规作图痕迹，不写作法）
（2）四边形AFDE是菱形吗？请说明理由．
14．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长.
15．如图，直线CF与⊙O交于点D，E，点A，B在⊙O上，且，BC与⊙O切于点B．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若CF＝22，∠C＝45°，，求⊙O的半径．
16．如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，，
（1）求证：；
（2）求四边形DEFB的周长．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF.
（2）证明：由（1）得△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
2．【答案】（1）证明：【证明一】∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE =∠DCF，
又∵AE=CF，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴BE=DF，∠AEB =∠CFD，
∴∠BEF =180°-∠AEB，∠DFE =180°-∠CFD，
即：∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF，而BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【证明二】
连接BD，交AC于点O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC OB=OD，（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）解：四边形BFDE是平行四边形，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB∥CD，（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE =∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA =∠DFC=90°，BE∥DF，
∴△BAE≌△DCF（AAS），
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（3）解：四边形BFDE不是平行四边形，
因为把条件AE=CF改为BE=DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．
3．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，∠CDE=∠DCF.
∵G是CD的中点，
∴DG=CG，
∴△EDG≌△FCG（AAS）.
∴ED=FC.
∵ED∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形.
（2）8；有一个角是直角的平行四边形是矩形；4；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
4．【答案】（1）证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,
∴∠ABE＝∠BDC，
又∵∠BAE=∠BDC,
∴∠ABE＝∠BAE,
∴BE＝AE＝3,
∴DE＝BD－BE＝6，
在Rt△AED中，AD＝ ，
∴四边形ABCD的周长为2（ +4）＝ .
5．【答案】（1）解：由已知，点 坐标为 ，所以 .
设点 坐标为 ，
因为 是直线 上一点
∴
又 ，∴
解得 或 （与点 重合，舍去）
∴点 坐标为 .
（2）解：符合要求的大致图形如图所示。
∵平行四边形
∴ 且 ，
∵
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ 且 ，
∴点 .
6．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，∵∠OEB=∠ODC，∠BOE=∠COD，BO=CO，∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形
（2）100
7．【答案】（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA=∠FEC=90° ，∵∠FAC=45°，∴∠FAC=∠EFA=45°
∴AE=EF，∵AB=FC，∴Rt△AEB≌Rt△FEC (HL)
∴BE=CE，∵AD⊥ AF，∴∠FAD=90° ，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠CBE=∠BCE=∠CAD=45° ，∴BC∥AD∵BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：与∠ABE相等的角有：
∠CHB；∠BCH；∠BAD； ∠FCA； ∠CFA
8．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）解：过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A=60°，AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∴
∵AE=2EB，
∴BE=2，
∴GB=4，
∴ .
9．【答案】（1）解：在 ABCD中，AD=BC，AD∥BC。
∵BE=DF，∴AF=CE。
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，∴∠AEC=∠AFC=120°
∵四边形AECF为菱形，∴AE=CE
∵∠AEC=120°，
∴∠AEB=60°．
∵BE=CE=AE，
∴△ABE为等边三角形。
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴AH=ABsin60°=2
∵BC=2BE=8，
∴ ABCD面积为8×2 =16
10．【答案】（1）求证：DE//BC，且DE＝BC，
（2）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD//CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE//BC，DF＝BC，
∵DE＝FE，
∴DE//BC，且DE＝BC．
11．【答案】（1）解：连接CE，AD
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 是直径，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 与 平行相等，所以四边形 是平行四边形
（2）解：如图，
因为 ，
∴
又∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
所以 ，即直径等于26.
12．【答案】（1）解：AE∥BF，AE=BF． 理由如下：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC≌△FEC，∴AB=FE，∠ABC=∠FEC，∴AB∥FE，∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF
（2）解：∵BC=CE，∴S△ABC=S△ACE；∵AC=CF，∴S△ABC=S△FBC，S△ACE=S△FCE；∴S四边形ABFE=4×S△ABC=12cm2
（3）解：当∠ACB=60°时，四边形ABFE是矩形．理由如下： ∵∠ACB=60°时，AB=AC，∴AB=AC=BC，又∵AC=CF，BC=CE，∴AF=BE，∴平行四边形ABFE是矩形
13．【答案】（1）解：如图所示，线段DF为所求作的线段
（2）解：四边形AFDE是菱形，理由如下：
∵，
∴四边形AFDE是平行四边形
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD
∵
∴∠FAD＝∠EDA
∴∠EAD＝∠EDA
∴AE＝DE
又∵四边形AFDE是平行四边形
∴四边形AFDE是菱形
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.
∴∠D=∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中 ，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴∠1=∠F.∴AE∥BF.
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形.
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°.
∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°.
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= .
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5.
15．【答案】（1）证明：如图1，连接，
，
，
，
与切于点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图2，连接，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
在中，，即，
，
设，则，，
由题意得：，
解得：，
，
由勾股定理得：，
的半径为．
16．【答案】（1）证明：∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴，，
又
即，
∴
（2）解：，
∴，
，D是AC的中点 ，
∴，
中，
∴，
又且，
∴四边形DBFE为平行四边形．
∴四边形DBFE的周长为．

展开更多......

收起↑