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湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷
一、单选题
1．（2023高三上·新化期末）已知全集 ，集合，集合，则集合 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·新化期末）已知，是两个不同的平面，“存在直线，，”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高三上·新化期末）在如图的平面图形中，已知，则的值为（　　）
A．-15 B．-9 C．-6 D．0
4．（2023高三上·新化期末）已知为等差数列的前项和，，则数列 的最大项为 （　　）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·新化期末）米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023高三上·新化期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·新化期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023高三上·新化期末）函数 的图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023高三上·新化期末）下列选项中，是函数的单调递增区间的有（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高三上·新化期末）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高三上·新化期末）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（　　）
A．的方程为
B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点
D．直线与有两个公共点
12．（2022高二上·揭西期末）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（　　）
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
三、填空题
13．（2023高三上·新化期末）已知复数，　 　.
14．（2023高一上·新化期末）已知，，，则的最大值是　 　.
15．（2022·虹口模拟）已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则　 　.
16．（2023高三上·新化期末）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是　 　.
四、解答题
17．（2023高三上·新化期末）已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，且.
（1）求b c的值；
（2）求的值.
18．（2023高三上·新化期末）已知数列的前项和.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
19．（2023高三上·新化期末）甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计
甲队 80 40 120
乙队 240 200 240
合计 320 240 560
附
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，）
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与学校有关系；
（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这 16名同学中随机抽取 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
20．（2022·广东二模）如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
（1）证明：平面ABC．
（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
21．（2023高三上·新化期末）已知椭圆 的上下左右四个顶点分别为 ，，，， 轴正半轴上的点 满足．
（1）求椭圆 的标准方程以及点 的坐标．
（2）过点 作直线 交椭圆于 ，，是否存在这样的直线 使得 和 的面积相等？若不存在，请说明理由．
（3）在（）的条件下，求当直线 的倾斜角为钝角时， 的面积．
22．（2018高二下·溧水期末）已知函数 ， ．
（1）若 ，求函数 的单调递减区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
（3）若 ，正实数 ， 满足 ，证明： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由解得，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】求出集合M，再根据补集和交集的定义进行运算，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】当，是两个不同的平面，
对于其充分性：，可以推出；
对于其必要性：可以推出存在直线，，，
故其为充分必要条件，
故答案为：C.
【分析】根据线面垂直的性质定理和面面平行的性质定理结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
故答案为：C.
【分析】连结MN，结合几何性质和平面向量数量积的运算法则进行计算，即可求出 的值 .
4．【答案】B
【知识点】基本不等式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的首项为，公差为，
因为，
所以，所以，
则，
所以，
所以等差数列的通项公式为：，
所以，
当且仅当时取等号，又，
所以当或时取最大值为，
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可求出首项和公差，可得，，利用基本不等式可求出数列 的最大项.
5．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】三次交接棒失误的概率分别是，，，
三次交接棒不失误的概率分别是，，，
三次交接棒相互独立，
此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是，
故答案为：C.
【分析】根据对立事件和独立事件的概率公式可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故答案为：B
【分析】由已知条件可得阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，则外接球的直径为长方体体对角线，再根据球的表面积公式可得答案.
7．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数，
在时的解析式等价于.
根据奇函数的图象关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，则需满足，
解得.
故答案为：B.
【分析】 把x≥0时的f (x)改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值，由对，都有 ，可得，求解该不等式，可得实数a的取值范围 .
8．【答案】A,B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；
在上单调递减，当趋于时，趋于，故排除D；
当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于，故排除C.
故答案为：AB.
【分析】，根据指数函数的单调性，结合图象，逐项进行判断，可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】正切函数的单调性
【解析】【解答】令
可得
函数的单调递增区间为
令，函数的单调递增区间为，B符合题意；
令，函数的单调递增区间为，C符合题意，
故答案为：BC.
【分析】根据正切函数的单调性求出数的单调递增区间.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为函数的图象与直线有两个交点，
所以函数有两个零点，
求导得：，当时，恒成立，
所以函数在上单调递减，不可能有两个零点；
当时，令，可得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
所以的最小值，
则的取值范围是.
所以可以取1，2，3.
故答案为：BCD
【分析】函数的图象与直线有两个交点，等价于函数f(x)有且仅有两个零点，对m分类讨论，利用导数研究函数f (x)的单调性极值与最值即可求得 的取值 .
11．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
联立，化简得，
所以直线与只有一个公共点，故不正确．
故答案为：AC．
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B， C；直线与双曲线的渐近线的关系判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：取DC的中点N，连接MN，NB，
则MN∥A1D，NB∥DE，
因为MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，
所以平面MNB∥平面A1DE，
因为MB 平面MNB，
所以MB∥平面A1DE，D符合题意；
∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，
根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，所以MB是定值，A符合题意；
因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B符合题意；
在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE，即得DE⊥A1E，与∠DEA1为矛盾，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，C不正确.
故答案为： ABD.
【分析】取CD的中点N，先证平面MBN∥平面A1DE，再得MB∥平面A1DE；根据余弦定理计算BM为定值；再根据BM为定值，可得点M在圆上运动；若DE⊥A1C，根据条件推出DE⊥A1E，与题意矛盾.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：
所以
故答案为：
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
14．【答案】2
【知识点】对数的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，
所以的最大值是2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数的运算法则，进而得出的最大值。
15．【答案】-5
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】因为，是定义域为的奇函数，
所以，
因为当时，有，所以，
所以。
故答案为：-5。
【分析】利用已知条件结合代入法和奇函数的定义，进而得出与的关系式，再利用当时，有，再结合代入法得出的值，从而求出的值。
16．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线的焦点为为，所以经过且斜率为的直线方程为，解得，由抛物线定义知，又因为轴，所以，为正三角形，面积是，故答案为.
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由 ，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得 的面积 .
17．【答案】（1）解：∵，∴cosB＝，∵，∴B＝，
根据余弦定理得：，即，解得，
故，．
（2）解：∵a＝3，b＝7，c＝5，B＝，
∴由正弦定理得，，即，
∵B＞，∴C，∴，
∴
．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 根据余弦定理求出c的值，进而求出b的值；
（2）由正弦定理得的值， 根据同角三角函数基本关系式求出 ，再利用两角和的正弦公式可求出的值.
18．【答案】（1）证明：当时，，解得，
当时，，
所以，即，
即，
又，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
（2）解：由（1）知，，即，
所以，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
记，故，
所以时，，所以，即，
时，，即随着的增大，递减，
所以的最大值为，
所以，即.
【知识点】数列的函数特性；等差数列；数列递推式
【解析】【分析】 (1)当n≥2时， ， 可得 ， 可证得数列是等差数列；
(2)由(1)得，题意转化为 ，对任意恒成立，记 ，由此求出 的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意得，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系．
（2）解：16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人，
的可能取值为，，，．
，，
，，
的分布列为如下
0 1 2 3
所以．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系；
(2)确定 的可能取值 ，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望．
20．【答案】（1）证明：如图，
取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且．
因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且
所以，且．
所以四边形DEGF是平行四边形．
所以．
因为翻折的，易知．
所以翻折后，．
又因为，EA，平面AEC，
所以平面AEC．
因为，
所以平面AEC．
因为平面AEC，所以．
因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以
又因为，AC，平面ABC．
所以平面ABC．
因为，所以平面ABC．
（2）解：（方法一）如图，
过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，，，，则，，，
因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量，
设面ACD的法向量为，则
，即，解得．
取，得．
因为二面角D-AC-E为，所以，
解得，所以，．
记直线AB与平面ACD所成角为，
则，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
（方法二）如图，
连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以．
又因为，，DE，平面DEG．所以平面DEC．
因为EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．
由△ACE是边长为2的等边三角形，得，
在RtDGE中，，所以，．
过点F作，垂足为I，
因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．
又因为平面平面，平面DEGF，且，
所以平面ACD．
连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．
在Rt△DFG中，，，得，由等面积法得，解得．
在RtAFG中，，，所以．
在RtFAI中，，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 取AC中点G，连接FG和EG， 证明四边形DEGF是平行四边形，然后利用线面垂直的判定理证明 平面ABC ，从而得到 平面ABC ；
（2） （方法一）过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设 ，求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得DE长，然后利用线面角的向量公式求解即可；
（方法二）连接DG， 可证得 ，可得DE长， 过点F作，垂足为I， 利用线面垂直及面面垂直的性质可得 平面ACD ， 连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角，在三角形中计算可得直线AB与平面ACD所成角的正弦值 。
21．【答案】（1）解：设点 的坐标为 ，易知 ，，
，，
因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 ．
（2）解：设直线 ，
由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，
所以解得 或 ，
所以直线 的方程为 或．
（3）解：若直线 的倾斜角为钝角，则 ，
此时直线 的方程为，
由 消去 得 ，
设 ， 坐标分别为 ，，
则有所以 的面积
故所求 的面积为 ．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)设点P的坐标，根据已知条件可得 ，，；
(2) 由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等， 再根据点到直线距离公式解直线斜率，即可求得直线 的方程；
(3)将直线方程代人椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求底边边长，再根据点到直线距离公式求高，最后代人面积公式求出 的面积．
22．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
此时 ， ，
，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 的单调减区间为 ．
（2）解：由 恒成立，得 在 上恒成立，
问题等价于 在 上恒成立，
令 ，只要 ，
因为 ，令 ，得 ．
设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
不妨设 的根为 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，此时 ，即 ，
所以 ，即整数 的最小值为2．
（3）解：当 时， ，
由 ，即 ，
从而 ，
令 ，则由 ，得 ，
可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，
所以 ，因此 成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先求a，再利用导数求单调区间；（2）先分离变量，再求g(x)的最大值。因为最值点无法准确算出，需要估值。（3）先把等式整理，左边只含，右边只含，然后利用导数求出右边最值，边成关于的一元二次不等式，最终求出范围。
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湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷
一、单选题
1．（2023高三上·新化期末）已知全集 ，集合，集合，则集合 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由解得，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】求出集合M，再根据补集和交集的定义进行运算，可得答案.
2．（2023高三上·新化期末）已知，是两个不同的平面，“存在直线，，”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】当，是两个不同的平面，
对于其充分性：，可以推出；
对于其必要性：可以推出存在直线，，，
故其为充分必要条件，
故答案为：C.
【分析】根据线面垂直的性质定理和面面平行的性质定理结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．（2023高三上·新化期末）在如图的平面图形中，已知，则的值为（　　）
A．-15 B．-9 C．-6 D．0
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
故答案为：C.
【分析】连结MN，结合几何性质和平面向量数量积的运算法则进行计算，即可求出 的值 .
4．（2023高三上·新化期末）已知为等差数列的前项和，，则数列 的最大项为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的首项为，公差为，
因为，
所以，所以，
则，
所以，
所以等差数列的通项公式为：，
所以，
当且仅当时取等号，又，
所以当或时取最大值为，
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可求出首项和公差，可得，，利用基本不等式可求出数列 的最大项.
5．（2023高三上·新化期末）米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】三次交接棒失误的概率分别是，，，
三次交接棒不失误的概率分别是，，，
三次交接棒相互独立，
此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是，
故答案为：C.
【分析】根据对立事件和独立事件的概率公式可求出答案.
6．（2023高三上·新化期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故答案为：B
【分析】由已知条件可得阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，则外接球的直径为长方体体对角线，再根据球的表面积公式可得答案.
7．（2023高三上·新化期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数，
在时的解析式等价于.
根据奇函数的图象关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，则需满足，
解得.
故答案为：B.
【分析】 把x≥0时的f (x)改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值，由对，都有 ，可得，求解该不等式，可得实数a的取值范围 .
二、多选题
8．（2023高三上·新化期末）函数 的图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；
在上单调递减，当趋于时，趋于，故排除D；
当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于，故排除C.
故答案为：AB.
【分析】，根据指数函数的单调性，结合图象，逐项进行判断，可得答案.
9．（2023高三上·新化期末）下列选项中，是函数的单调递增区间的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】正切函数的单调性
【解析】【解答】令
可得
函数的单调递增区间为
令，函数的单调递增区间为，B符合题意；
令，函数的单调递增区间为，C符合题意，
故答案为：BC.
【分析】根据正切函数的单调性求出数的单调递增区间.
10．（2023高三上·新化期末）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为函数的图象与直线有两个交点，
所以函数有两个零点，
求导得：，当时，恒成立，
所以函数在上单调递减，不可能有两个零点；
当时，令，可得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
所以的最小值，
则的取值范围是.
所以可以取1，2，3.
故答案为：BCD
【分析】函数的图象与直线有两个交点，等价于函数f(x)有且仅有两个零点，对m分类讨论，利用导数研究函数f (x)的单调性极值与最值即可求得 的取值 .
11．（2023高三上·新化期末）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（　　）
A．的方程为
B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点
D．直线与有两个公共点
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
联立，化简得，
所以直线与只有一个公共点，故不正确．
故答案为：AC．
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B， C；直线与双曲线的渐近线的关系判断D.
12．（2022高二上·揭西期末）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（　　）
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：取DC的中点N，连接MN，NB，
则MN∥A1D，NB∥DE，
因为MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，
所以平面MNB∥平面A1DE，
因为MB 平面MNB，
所以MB∥平面A1DE，D符合题意；
∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，
根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，所以MB是定值，A符合题意；
因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B符合题意；
在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE，即得DE⊥A1E，与∠DEA1为矛盾，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，C不正确.
故答案为： ABD.
【分析】取CD的中点N，先证平面MBN∥平面A1DE，再得MB∥平面A1DE；根据余弦定理计算BM为定值；再根据BM为定值，可得点M在圆上运动；若DE⊥A1C，根据条件推出DE⊥A1E，与题意矛盾.
三、填空题
13．（2023高三上·新化期末）已知复数，　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：
所以
故答案为：
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
14．（2023高一上·新化期末）已知，，，则的最大值是　 　.
【答案】2
【知识点】对数的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，
所以的最大值是2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数的运算法则，进而得出的最大值。
15．（2022·虹口模拟）已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则　 　.
【答案】-5
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】因为，是定义域为的奇函数，
所以，
因为当时，有，所以，
所以。
故答案为：-5。
【分析】利用已知条件结合代入法和奇函数的定义，进而得出与的关系式，再利用当时，有，再结合代入法得出的值，从而求出的值。
16．（2023高三上·新化期末）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线的焦点为为，所以经过且斜率为的直线方程为，解得，由抛物线定义知，又因为轴，所以，为正三角形，面积是，故答案为.
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由 ，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得 的面积 .
四、解答题
17．（2023高三上·新化期末）已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，且.
（1）求b c的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵，∴cosB＝，∵，∴B＝，
根据余弦定理得：，即，解得，
故，．
（2）解：∵a＝3，b＝7，c＝5，B＝，
∴由正弦定理得，，即，
∵B＞，∴C，∴，
∴
．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 根据余弦定理求出c的值，进而求出b的值；
（2）由正弦定理得的值， 根据同角三角函数基本关系式求出 ，再利用两角和的正弦公式可求出的值.
18．（2023高三上·新化期末）已知数列的前项和.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明：当时，，解得，
当时，，
所以，即，
即，
又，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
（2）解：由（1）知，，即，
所以，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
记，故，
所以时，，所以，即，
时，，即随着的增大，递减，
所以的最大值为，
所以，即.
【知识点】数列的函数特性；等差数列；数列递推式
【解析】【分析】 (1)当n≥2时， ， 可得 ， 可证得数列是等差数列；
(2)由(1)得，题意转化为 ，对任意恒成立，记 ，由此求出 的取值范围.
19．（2023高三上·新化期末）甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计
甲队 80 40 120
乙队 240 200 240
合计 320 240 560
附
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，）
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与学校有关系；
（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这 16名同学中随机抽取 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：由题意得，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系．
（2）解：16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人，
的可能取值为，，，．
，，
，，
的分布列为如下
0 1 2 3
所以．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系；
(2)确定 的可能取值 ，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望．
20．（2022·广东二模）如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
（1）证明：平面ABC．
（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，
取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且．
因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且
所以，且．
所以四边形DEGF是平行四边形．
所以．
因为翻折的，易知．
所以翻折后，．
又因为，EA，平面AEC，
所以平面AEC．
因为，
所以平面AEC．
因为平面AEC，所以．
因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以
又因为，AC，平面ABC．
所以平面ABC．
因为，所以平面ABC．
（2）解：（方法一）如图，
过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，，，，则，，，
因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量，
设面ACD的法向量为，则
，即，解得．
取，得．
因为二面角D-AC-E为，所以，
解得，所以，．
记直线AB与平面ACD所成角为，
则，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
（方法二）如图，
连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以．
又因为，，DE，平面DEG．所以平面DEC．
因为EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．
由△ACE是边长为2的等边三角形，得，
在RtDGE中，，所以，．
过点F作，垂足为I，
因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．
又因为平面平面，平面DEGF，且，
所以平面ACD．
连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．
在Rt△DFG中，，，得，由等面积法得，解得．
在RtAFG中，，，所以．
在RtFAI中，，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 取AC中点G，连接FG和EG， 证明四边形DEGF是平行四边形，然后利用线面垂直的判定理证明 平面ABC ，从而得到 平面ABC ；
（2） （方法一）过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设 ，求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得DE长，然后利用线面角的向量公式求解即可；
（方法二）连接DG， 可证得 ，可得DE长， 过点F作，垂足为I， 利用线面垂直及面面垂直的性质可得 平面ACD ， 连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角，在三角形中计算可得直线AB与平面ACD所成角的正弦值 。
21．（2023高三上·新化期末）已知椭圆 的上下左右四个顶点分别为 ，，，， 轴正半轴上的点 满足．
（1）求椭圆 的标准方程以及点 的坐标．
（2）过点 作直线 交椭圆于 ，，是否存在这样的直线 使得 和 的面积相等？若不存在，请说明理由．
（3）在（）的条件下，求当直线 的倾斜角为钝角时， 的面积．
【答案】（1）解：设点 的坐标为 ，易知 ，，
，，
因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 ．
（2）解：设直线 ，
由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，
所以解得 或 ，
所以直线 的方程为 或．
（3）解：若直线 的倾斜角为钝角，则 ，
此时直线 的方程为，
由 消去 得 ，
设 ， 坐标分别为 ，，
则有所以 的面积
故所求 的面积为 ．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)设点P的坐标，根据已知条件可得 ，，；
(2) 由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等， 再根据点到直线距离公式解直线斜率，即可求得直线 的方程；
(3)将直线方程代人椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求底边边长，再根据点到直线距离公式求高，最后代人面积公式求出 的面积．
22．（2018高二下·溧水期末）已知函数 ， ．
（1）若 ，求函数 的单调递减区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
（3）若 ，正实数 ， 满足 ，证明： ．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
此时 ， ，
，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 的单调减区间为 ．
（2）解：由 恒成立，得 在 上恒成立，
问题等价于 在 上恒成立，
令 ，只要 ，
因为 ，令 ，得 ．
设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
不妨设 的根为 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，此时 ，即 ，
所以 ，即整数 的最小值为2．
（3）解：当 时， ，
由 ，即 ，
从而 ，
令 ，则由 ，得 ，
可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，
所以 ，因此 成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先求a，再利用导数求单调区间；（2）先分离变量，再求g(x)的最大值。因为最值点无法准确算出，需要估值。（3）先把等式整理，左边只含，右边只含，然后利用导数求出右边最值，边成关于的一元二次不等式，最终求出范围。
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