资源简介

2022-2023学年广东省惠州市博罗县平安中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题：共10小题，每小题3分，共30分.
1．已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．下列命题中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．5 D．6
4．方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（　　）
A．9 B．﹣9x C．9x D．﹣9
5．某牧民要围成面积为35m2的矩形羊圈，且长比宽多2米，则此羊圈的周长是（　　）
A．20米 B．24米 C．26米 D．20或22米
6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（　　）
A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：
①DM⊥MC；②＝；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，tan∠A＝．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
10．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．若3a＝5b，则＝　 　．
12．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是 　 　．
13．科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝，测得数据如下：
R（Ω） 100 200 220 400
I（A） 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝　 　A．
14．长度为2的线段AB上有一点C，并且满足AC2＝AB BC，则AC的长为 　 　．
15．若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，3），则m的值为 　 　．
16．点P在线段AB上，且BP2＝AP AB，AB＝6，那么BP的长为 　 　．
17．现有四张正面分别标有数字﹣4，﹣2，1，3的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张．则两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为 　 　．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，请你估计n的值．
19．一个底面为40cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
20．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值．
21．如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝4，AB＝8，AC＝6，求DC的长．
22．如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？
23．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．
24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，则BE＝　 　cm时，四边形BFCE是菱形．
25．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝16，AB＝CD＝34．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【分析】利用相似三角形的性质可得，代入即可得出EF的长．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵＝，BC＝2，
∴，
∴EF＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
2．下列命题中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】利用平行四边形的性质、矩形及菱形的性质、角平分线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故错误，符合题意；
C、菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，正确，不符合题意；
D、角平分线的上的点到角的两边的距离相等，正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质、矩形及菱形的性质、角平分线的性质等知识，难度不大．
3．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．5 D．6
【分析】设方程的另一个根是m，根据根与系数的关系列出关于另一根m的方程，解方程即可．
解：设方程的另一个根是m，
∵3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，
∴3+m＝5，
解得，m＝2，
∴这个方程的另一个根是2
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．解答该题时，一定要弄清楚一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣中的a、b的意义，是解题的关键．
4．方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（　　）
A．9 B．﹣9x C．9x D．﹣9
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
解：方程整理得：4x2+9x﹣81＝0，
则一次项是9x，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
5．某牧民要围成面积为35m2的矩形羊圈，且长比宽多2米，则此羊圈的周长是（　　）
A．20米 B．24米 C．26米 D．20或22米
【分析】设宽为x米，然后表示出长，根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
解：设羊圈的宽为x米，则长为（x+2）米，
根据题意得：x（x+2）＝35，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）
所以x+2＝7，
周长为2×（5+7）＝24，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够根据矩形的宽表示出矩形的长，难度不大．
6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（　　）
A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m
【分析】首先根据正六边形的面积可得正六边形的边长，进而可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．
解：设正六边形的边长是xm，
则x x 6＝，
解得x＝1.5，
如图，
依题意知DF＝FE＝0.5米，FG＝0.75米，CG＝0.75米，
∵DE∥BC，
∴△FAE∽△GAC，
∴，
即＝，
解得：AF＝1.5，
∴AG＝1.5+0.75＝2.25（m），
答：吊灯距地面的高度为2.25m．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：
①DM⊥MC；②＝；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，tan∠A＝．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】延长CM交DA的延长线于点E，如图，利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，再证明△AEM≌△BCM得到AE＝BC，ME＝MC，则DE＝DC＝AB，根据等腰三角形的性质得到DM⊥MC，则可对①进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CD得到＝＝＝2，利用三角形面积公式，设△BMN的面积为S，则S△DNM＝2S，S△CDN＝2S△DNM＝4S，所以S△DBM＝3S，而S△ADM＝S△DBM＝3S，则可对②进行判断；当DM＝DA时，△ADM为等边三角形，则可计算出∠MDB＝30°，∠BCN＝30°，然后利用“AAS”可判断△DMN≌△CBN，则可对③进行判断；当∠DNM＝45°时，过D点作DF⊥AM于F，MH⊥CD于H，如图，利用△DMN为等腰直角三角形可设MN＝DM＝x，则CN＝2MN＝2x，利用勾股定理计算出CD＝x，则AD＝x，利用面积法计算出MH＝x，则DF＝MH＝x，接着利用勾股定理计算出AF＝x，所以tan∠DAF＝＝，于是可对④进行判断．
解：延长CM交DA的延长线于点E，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠BCM，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AEM和△BCM中，
，
∴△AEM≌△BCM（AAS），
∴AE＝BC，ME＝MC，
∵AB＝2AD，
∴DE＝DC＝AB，
∴DM⊥MC．所以①正确；
∵BM∥CD，
∴＝＝＝2，
设△BMN的面积为S，则S△DNM＝2S，
∴S△CDN＝2S△DNM＝4S，
∴S△DBM＝S△DNM+S△BMN＝2S+S＝3S，
而AM＝BM，
∴S△ADM＝S△DBM＝3S，
∴＝；所以②正确；
当DM＝DA时，
∴DA＝AM＝DM＝BC，
∴△ADM为等边三角形，
∴∠DAM＝∠DMA＝60°，
∴∠DMB＝120°，∠MBC＝120°，
∴∠MDB＝30°，∠BCN＝30°，
在△DMN和△CBN中，
，
∴△DMN≌△CBN（AAS），所以③正确；
当∠DNM＝45°时，过D点作DF⊥AM于F，MH⊥CD于H，如图，
∵∠DMN＝90°，
∴△DMN为等腰直角三角形，
设MN＝DM＝x，
∴CN＝2MN＝2x，
在Rt△DMC中，CD＝＝＝x，
∴AD＝CD＝x，
∵MH CD＝DM CM，
∴MH＝＝x，
∵AB∥CD，
∴DF＝MH＝x，
在Rt△ADF中，AF＝＝＝x，
∴tan∠DAF＝＝＝，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形．
9．如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝×2＝1，
又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BOC＝×8＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝1+4
＝5，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
10．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤．
解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．若3a＝5b，则＝　　．
【分析】根据比例的性质求出即可．
解：3a＝5b，
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质的应用，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
12．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，
∴第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝，测得数据如下：
R（Ω） 100 200 220 400
I（A） 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝　4　A．
【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．
解：把R＝220，I＝1代入I＝得：
1＝，
解得U＝220，
∴I＝，
把R＝55代入I＝得：
I＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据已知求出反比例函数的解析式．
14．长度为2的线段AB上有一点C，并且满足AC2＝AB BC，则AC的长为 　　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，得出，代入数据即可得出AC的长．
解：∵C是线段AB上的一点，且满足AC2＝AB BC，
∴，
∴C为线段AB的黄金分割点，且AC是较长线段，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键．
15．若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，3），则m的值为 　﹣　．
【分析】利用待定系数法确定出反比例函数的解析式，再将（m，3）代入即可求得结论．
解：设反比例函数的解析式为y＝，由题意得：
﹣2＝，
∴k＝﹣4．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∴3＝．
∴m＝﹣．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用待定系数法确定出反比例函数的解析式是解题的关键．
16．点P在线段AB上，且BP2＝AP AB，AB＝6，那么BP的长为 　3﹣3　．
【分析】根据黄金分割点的定义，得BP＝AB，代入数据即可得出BP的长度．
解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，
∴BP＝AB＝×6＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【点评】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．
17．现有四张正面分别标有数字﹣4，﹣2，1，3的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张．则两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为 　　．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次抽取的卡片上的数字之和为正数的情况数，即可求出所求的概率．
解：列表如下
﹣4 ﹣2 1 3
﹣4 ﹣6 ﹣3 ﹣1
﹣2 ﹣6 ﹣1 1
1 ﹣3 ﹣1 4
3 ﹣1 1 4
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的卡片上的数字之和为正数的有4种结果，
所以两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，请你估计n的值．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：根据题意，
得，
解得，n＝10，
经检验得：n＝10是原方程的解，且符合题意，
∴估计n的值为10．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
19．一个底面为40cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．
解：设铁桶的底面边长为xcm，则
x2×10＝40×30×20，
x2＝40×30×2，
x＝，
x＝．
答：铁桶的底面边长是cm．
【点评】本题考查了算术平方根，根据倒出的水的体积等于铁桶的体积列出方程是解题的关键．
20．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值．
【分析】将x＝2代入x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0，求出m的值即可．
解：∵x＝2是方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，
∴22﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，
∴m2﹣m＝0，
∴m＝0或m＝1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根与一元二次方程的关系是解题的关键．
21．如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝4，AB＝8，AC＝6，求DC的长．
【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．
解：在△ADC和△BAC中，
∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
∵AD＝4，AB＝8，AC＝6，
∴，
∴DC＝3，
∴DC的长为3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质定理是解答此题的关键．
22．如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？
【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积﹣道路的面积＝试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设道路宽为x米，
根据题意得：32×20﹣（32+20×2）x+2x2＝570，
解得：x1＝1，x2＝35．
∵35＞20，
∴x＝35舍去．
答：道路宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积﹣道路的面积＝试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
23．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．
【分析】根据已知线段长度求出＝，再根据∠A＝∠A推出相似即可．
【解答】证明：在△ABC和△AED 中，
∵，
∴＝．
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，则BE＝　3　cm时，四边形BFCE是菱形．
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△DCF（SAS），进而求出BE＝FC，BE∥FC，即可得出答案；
（2）直接利用菱形的性质得出△EBC是等边三角形，进而得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当四边形BFCE是菱形，
则BE＝EC，
∵AD＝7cm，DC＝2cm，AB＝DC，
∴BC＝3cm，
∵∠EBD＝60°，EB＝EC，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝3cm．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题关键．
25．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝16，AB＝CD＝34．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长．
【分析】根据题意可知，分两种情况，然后画出相应的图形，再根据题目中的条件，计算出DE的长即可．
解：∵△ADE与△AD′E关于直线AE对称，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠D＝∠AD′E＝90°．
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线．
又∵△ABD′∽△BEC，
∴∠BAD′＝∠EBC，∠D′＝∠BCE，
∵AD′＝BC，
∴ABD′≌△BEC（ASA），
∴AB＝BE＝34．
∵BD′＝＝＝30，
∴DE＝D′E＝34﹣30＝4；
如图．
∵∠CBE+∠ABD″＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠BAD″＝∠CBE．
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝34，
∴DE＝D″E＝34+30＝64．
综上所述：DE＝4或64．
综上可得DE的长为4或64．
【点评】本题考查全等三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论和数形结合的思想解答．

展开更多......

收起↑