人教A版(2019)选择性必修第三册《7.3 离散型随机变量的数字特征》提升训练(含解析)

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人教A版(2019)选择性必修第三册《7.3 离散型随机变量的数字特征》提升训练(含解析)

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人教A版(2019)选择性必修第三册《7.3 离散型随机变量的数字特征》提升训练
一 、单选题(本大题共8小题,共40分)
1.(5分)设,如果,,则和分别为
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2.(5分)随机变量的分布列如表,其中,,成等差数列.若,则
A. B. C. D.
3.(5分)甲箱子里装有个白球和个红球,乙箱子里装有个白球和个红球.从这两个箱子里分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为,摸出的红球的个数为,则
A. ,且
B. ,且
C. ,且
D. ,且
4.(5分)已知随机变量和的分布列如表:
则有
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
5.(5分)随机变量的分布列如表,则的值为
A. B. C. D.
6.(5分)下列判断错误的是
A. 若随机变量服从正态分布,,则
B. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差不变
C. 若随机变量服从二项分布,则
D. 若方差,则
7.(5分)已知件产品中有件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为,则
A. B. C. D.
8.(5分)已知件产品中有件是次品,任取件,若表示取到次品的件数,则等于
A. B. C. D.
二 、多选题(本大题共5小题,共25分)
9.(5分)一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子,若出现的点数是倍关系,则称这次抛掷“漂亮”.规定一次抛掷“漂亮”得分为,否则得分为若抛掷次,记累计得分为,则
A. 抛掷一次,“漂亮”的概率为 B. 时,“漂亮”的次数必为
C. D.
10.(5分)下列命题中,正确的命题是
A. 数据,,,,,,,,,的分位数是
B. 若随机变量,则
C. 若事件,满足,则与独立
D. 若随机变量,,则
11.(5分)多选设随机变量的分布列为,其中,则下列说法正确的是
A. B.
C. 先增大后减小 D. 有最小值
12.(5分)已知随机变量的分布列如下表所示
随机变量的分布列如下表所示
下列选项中正确的是
A. B.
C. D.
13.(5分)某日,两个沿海城市受台风袭击的概率均为,已知市或市至少有一个受台风袭击的概率为,若用表示这一天受台风袭击的城市个数,则
A. B.
C. D.
三 、填空题(本大题共5小题,共25分)
14.(5分)设随机变量的分布列如下:
且数列满足,则______.
15.(5分)一个口袋里装有大小相同的个小球,其中红色个,其余个颜色各不相同,现从中任意取出个小球,则其中恰有个小球颜色相同的概率是 ;若变量为取出的个小球中红球的个数,则的数学期望 .
16.(5分)已知随机变量的分布列如表,若,则______ ,______ .
17.(5分)将一枚质地均匀的骰子连续投掷次,若每一次投掷时出现“点”或“点”正面朝上,则称该次实验成功,次投掷中成功次数记为,则______ ;记第次正面朝上的点数为,发生“”的事件为,则______ .
18.(5分)一袋中装有个红球和个黑球除颜色外无区别,任取球,记其中黑球数为,则______ .
四 、解答题(本大题共5小题,共60分)
19.(12分)年月日,国家假日办公布了年假期安排的三套方案,为了了解老师对假期方案的看法,某中学对全校名教师进行了问卷调差每人选择其中的一项,得到如下数据:
所持态度 喜欢方案 喜欢方案 喜欢方案 三种方案都不喜欢
人数单位:人
若从这人中按照分层抽样的方法随机抽取人进行座谈,再从这人中随机抽取人探讨学校假期的安排.求这人中喜欢方案与的人数之和恰好为人的概率;
现让中所抽取的人对学生的寒假放假时间天或天,每人选择其中的一项进行投票,规定:若这人中有人或人以上都支持其中的一项,则规定寒假放假的天数为对应的投票天数,若这两种情况的投票数都达不到票,则规定放假天.求该校寒假放假天数的分布列与期望值精确到整数天
20.(12分)年“双十一”购物节,京东和天猫的成交额都突破千亿,除了线上电商纷纷出招吸引消费者网购,很多线下实体零售商也积极组织了很多实惠的促销活动.某商场在“双十二”来临之际,矩形有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可获得抽奖机会,抽奖规则如下:从装有个红球、个白球仅颜色不同的口袋中依次摸出个球,若全是红球,则获得奖金元,若有一个红球,则获得奖金元,其他情况没有奖金和奖品.
若顾客甲购买商品后获得次摸奖机会,求他恰有一次获得元奖金的概率;
某顾客认为口袋中的红球与白球个数相同,不如把口袋中的红球和白球各减少个,摸球过程还更简单,当他提出新方案后,商场同意了他的新方案,试从数学期望的角度分析该顾客提出的新方案是否对商场有利?
21.(12分)某学校名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒与秒之间,抽取其中个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组第二组…,第五组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
若成绩小于秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数;
请估计本年级名学生中,成绩属于第三组的人数;
若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、五组中各抽个同学组成一个实验组,设其中男同学的数量为,求的分布列和期望.
22.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的个红球,个黄球,个白球和个黑球.顾客不放回的每次摸出个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就继续摸球.规定摸到红球奖励元,摸到白球或黄球奖励元,摸到黑球不奖励.
求名顾客摸球次停止摸奖的概率;
记为名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布列和数学期望.
23.(12分)某高中学校为帮助学生充分认识自己的学习优势和兴趣,做好个人职业规划,组织学生参加政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科的测试并在其中选出一门最感兴趣学科.学校在分析学生物理学科测试成绩及兴趣选择时得到如表统计表:
物理成绩分数
感兴趣人数
不感兴趣人数
学校在分析各学科被选择为最感兴趣学科的人数时发现选择了政治、地理、历史、生物的学生人数所占频率为,为了了解学生职业规划与学习兴趣之间的关系,从各学科最感兴趣人数中用分层抽样的方法抽取人进行分析.
一学生物理成绩低于分,估计他对物理感兴趣的概率是多少?
在抽取的名学生中将选择物理、化学学科的学生分为一类,从此类学生中随机抽取人,其中选择物理的学生人数记为,试求随机变量的分布列和数学期望.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
该题考查离散型随机变量的期望和方差,解题时要注意二项分布的性质和应用.
由,,,知,由此能求出和.

解:,

故选A.


2.【答案】D;
【解析】
该题考查离散型随机变量的方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、随机变量的分布列的性质的合理运用.
由,,成等差数列,,利用随机变量的分布列的性质列出方程组,求出,,,由此能求出的值.

解:,,成等差数列,,
由随机变量的分布列的性质得:

解得,,,

故选D.
3.【答案】C;
【解析】
该题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的计算问题,属于中档题.
由题意计算和、的数学期望、即可.

解:由题意知,;
又,

的数学期望为;



的数学期望为;

故选C.
4.【答案】A;
【解析】解:,



故选:
利用数学期望与方差的计算公式即可得出结论.
此题主要考查了随机变量的数学期望与方差的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.【答案】B;
【解析】解:由分布列可得,,

故选:
根据已知条件,结合期望公式,即可求解.
此题主要考查离散型随机变量的期望公式,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.
6.【答案】D;
【解析】解:选项:由于随机变量满足正态分布,,
由于随机变量服从正态分布,,故选项正确;
选项:每一组数据均减去一个数字,不影响整体的稳定程度,故方差不变,选项正确.
选项:因为随机变量服从二项分布,,故选项正确;
选项:因为方差,,故选项错误.
故选:
选项利用正态分布对称轴的性质判断即可;选项利用方差计算公式即可判断;选项,利用二项分布期望计算公式判断.选项利用二项分布方差计算公式判断即可.
此题主要考查随机变量及分布列中期望方差公式的应用,属于基础题.
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了随机变量的数学期望,根据随机变量的超几何分布,结合分布列得到数学期望的结果.
解:的可能取值为,,,



分布列如下:
故选
8.【答案】A;
【解析】解:由题意可得,服从超几何分布,

故选:
根据已知条件,结合超几何分布的期望公式,即可求解.
此题主要考查超几何分布的期望公式,属于基础题.
9.【答案】BCD;
【解析】解:一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子,有种等可能结果,
其中出现的点数是倍关系的有种等可能的结果,
抛掷一次,“漂亮”的概率为,故错误;
记抛掷次漂亮的次数为,则,,
当时,,即,故正确;
,,
,故正确;
,故正确.
故选:
利用古典概型概率公式求出抛掷一次,“漂亮”的概率,记抛掷次漂亮的次数为,则,,由此能求出结果.
此题主要考查命题真假的判断,考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
10.【答案】CD;
【解析】解::由,所以分位数是,错误;
:由题设,,错误;
:因为,即,又,即,所以,故 与独立,正确;
:由题设,关于对称,所以,正确;
故选:
应用百分数的求法求分位数;应用二项分布方差公式求即可;应用全概率公式及已知条件判断是否成立即可;根据正态分布的对称性求即可.
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差,考查学生的运算能力,属于中档题.
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查利用分布列的性质以及期望与方差,考查了学生的分析以及计算能力,属中档题.
列出表达式,判断选项的正误即可.

解:由题意可知,即,所以正确;
,所以不正确;

,,
所以,函数是增函数,
,函数是减函数,
所以先增大后减小,有最大值,所以正确;错误;
故选
12.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查命题真假的判断,考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
对于结合随机变量分布列的有关性质分析求解判断各个选项即可.

解:由已知得,,所以对.
B.,所以对.
C.,故错误.
D.因为,取值的概率不同,所以无意义,所以错.
故选
13.【答案】AB;
【解析】解:某日,两个沿海城市受台风袭击的概率均为,
已知市或市至少有一个受台风袭击的概率为,
则,
由,解得,故正确;
,故正确;
,故错误;
,,故错误.
故选:
由市或市至少有一个受台风袭击的概率为,则,由此能求出;进而能求出和;由,能求出
此题主要考查命题真假的判断,考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
14.【答案】5.5;
【解析】解:令,
则,即,,
又,所以,
所以

故答案为:
令,即可得到,再根据分布列的性质得到,从而求出数学期望.
此题主要考查离散型随机变量的分布列,考查学生的运算能力,属于中档题.
15.【答案】;
【解析】此题主要考查古典概型的概率的求解、随机变量的分布列以及数学期望的求解,属于中档题.
基本事件总数,其中恰有个小球颜色相同包含的基本事件个数,所以其中恰有个小球颜色相同的概率;先根据得到的取值,再求出相应概率,得到概率分布列,通过数学期望公式计算,即可得到答案.

解:从中任意取出个小球,
基本事件总数,
其中恰有个小球颜色相同包含的基本事件个数,
所以其中恰有个小球颜色相同的概率;
若变量为取出的个小球中红球的个数,则的可能取值为,,,



所以数学期望
故答案为;
16.【答案】0.06 0.45;
【解析】解:由题意可得:,,
解得,,


故答案为:,
由题意可得:,,解得,,进而得出,
此题主要考查了随机变量的分布列、数学期望与方差,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
17.【答案】1 ;
【解析】解:由题意实验成功的概率为,
次投掷中成功次数记为,则,

记第次正面朝上的点数为,发生“”的事件为,
则事件包含以下种情况:
①,,互不相等,有种,
②,,有个相等,有种,
③,,都相等,有种,

故答案为:,
推导出,由此能滶出;事件包含以下种情况:①,,互不相等,有种,②,,有个相等,有种,③,,都相等,有种,由此能求出
此题主要考查二项分布的数学期望、概率的求法,考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养,是基础题.
18.【答案】;
【解析】解:由题意可知,黑球数服从参数,,的超几何分布,

故答案为:
利用超几何分布的期望公式求解.
此题主要考查了超几何分布的期望,是基础题.
19.【答案】解:(1)若从这200人中按照分层抽样的方法随机抽取10人进行座谈,
则喜欢方案A的人有2人,喜欢方案B的人有3人,
喜欢方案C的人有4人,三种方案都不喜欢的人有1人,
从这10人中随机抽取3人探讨学校假期的安排,则有种情况,
这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的情况有:种情况,
∴这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的概率为;
p==.
(2)由题意知该校寒假放假天数X=15,20,25,
P(X=15)=+
++=,
P(X=20)=+
++=,
P(X=25)=1--=,
∴X的分布列为:
X 15 20 25
P
EX=15×+20×+25×≈20.;
【解析】
利用抽出喜欢方案的人有人,喜欢方案的人有人,喜欢方案的人有人,三种方案都不喜欢的人有人,从这人中随机抽取人探讨学校假期的安排,则有种情况,这人中喜欢方案与的人数之和恰好为人的情况有:种情况,由此能求出这人中喜欢方案与的人数之和恰好为人的概率.
由题意知该校寒假放假天数,,,分别求出相应的概率,由此能求出该校寒假放假天数的分布列与期望值.
此题主要考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,在历年高考中都是必考题型.
20.【答案】解:(1)根据题意,从装有3个红球、3个白球的口袋中摸出2个球,
全是红球的概率是P==,一红一白的概率是P==,全是白球的概率是P==;
顾客甲购买商品后获得3次摸奖机会,则X~N(3,),
他恰有一次获得50元奖金的概率为P= =;
(2)把口袋中的红球和白球各减少1个,从装有2个红球、2个白球的口袋中摸出2个球,
全是红球的概率是P==,一红一白的概率是P==,全是白球的概率是P==;
第一种抽奖方式获取奖金的数学期望为EX=50×+10×+0×=16(元);
第二种抽奖方式获取奖金的数学期望为EY=50×+10×+0×=15(元);
由EX>EY知,该顾客提出的新方案对商场有利.;
【解析】
根据题意计算抽奖一次全是红球的概率值,利用次独立重复实验的概率公式计算即可;
分别计算两种抽奖方式获取奖金的数学期望值,比较即可得出结论.
此题主要考查了次独立重复实验的概率计算与离散型随机变量的分布列与数学期望问题,是基础题.
21.【答案】解:由频率分布直方图知,成绩在第一组的为优秀,频率为,
人数为:
所以该样本中成绩优秀的人数为…分
由频率分布直方图知,成绩在第三组的频率,以此估计本年级名学生成绩属于第三组的概率为,
人数为:
所以估计本年级名学生中,成绩属于第三组的人数为…分
的可能取值为,,;
…分
…分
…分
的分布列为:
…分
…分;
【解析】
根据题意,成绩在第一组的为优秀,其频率为,由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数;
由频率分布直方图知成绩在第三组的频率,因此估计成绩属于第三组的人数约为人;
由题意,的可能取值为,,根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率,即可得到分布列及数学期望.
本题给出频率分布直方图,求样本中成绩优秀的人数、名学生中成绩属于第三组的人数的估计值,并求一个随机事件的概率.着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识,属于基础题.
22.【答案】解:(1)设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A,则P(A)==,…(4分)
故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率.
(2)随机变量X的所有取值为0,10,20,30,40.
P(X=0)=,P(X=10)==,P(X=20)==,P(X=30)==,P(X=40)==…(9分)
所以,随机变量X的分布列为:
X 0 10 20 30 40
P
…(12分)
.…(14分);
【解析】
名顾客摸球次停止摸奖的情况有,基本事件的个数为,然后代入等可能事件的概率公式可求
随机变量的所有取值为,,,,,分别求出取各个值时的概率即可求解随机变量的分布列及期望.
该题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要认真审题,注意概率知识和排列组合知识的灵活运用.
23.【答案】解:(Ⅰ)物理学科成绩低于80分的人数为4+66+57+463=590(人),
其中感兴趣得人数为4+66=70(人).
估计他对物理感兴趣的概率为P=;
(Ⅱ)所有参加考试的人数为4+66+170+57+463+140=900(人),
由题意知分层抽取15人的抽样比为,
对物理感兴趣的学生数为4+66+170=240(人),
∴抽取的15名学生中选择物理的人数为240×(人).
对化学感兴趣的学生数为900×(1-)-240=180(人),
∴抽取的15名学生中选择化学的人数为180×=3(人).
∴随机抽取4人中选择物理的学生人数X的所有可能取值为:1,2,3,4.
则P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=.
∴X的分布列为:
X 1 2 3 4
P
E(X)=.;
【解析】
由表格中提供的数据求出物理成绩低于分的人数和感兴趣的人数,再根据古典概型的概率计算公式求解;
根据分层抽样确定人数,然后列出分布列,求得数学期望即可.
此题主要考查离散型随机变量的分布列与期望,考查推理论证能力与运算求解能力,是中档题.

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