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人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若离散型随机变量，则和分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.（5分）已知甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，甲、乙是否命中目标相互之间无影响现在甲、乙两人同时射击目标一次，则目标被击中的概率是
A. B. C. D.
3.（5分）随机变量的分布列如表，则的值为
A. B. C. D.
4.（5分）甲、乙两个人投篮，他们投进篮的概率分别为，现甲、乙两人各投篮次，则两个人都投进的概率是
A. B. C. D.
5.（5分）随机变量的分布列为
则
A. B. C. D.
6.（5分）设，随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A. 增大 B. 减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
7.（5分）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占又知这三个厂的产品次品率分别为，，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是
A. B. C. D.
8.（5分）有件产品，其中件是次品，每次取出件且放回，先后取了次，若表示取得次品的次数，则等于
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）一口袋中有大小和质地相同的个红球和个白球，则下列结论正确的是
A. 从中任取球，恰有一个白球的概率是
B. 从中有放回的取球次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C. 从中不放回的取球次，每次任取球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D. 从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
10.（5分）已知，均为正数，随机变量的分布列如表：
则下列结论一定成立的是
A. B.
C. D.
11.（5分）一个不透明的口袋中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，黑球个，则下列选项正确的有
A. 从该口袋中任取个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了次，设取出的黑球次数为，则数学期望
C. 从该口袋中任取个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望
12.（5分）在一个袋中装有质地大小一样的个黑球，个白球，现从中任取个小球，设取出的个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是
A. B. 随机变量服从二项分布
C. 随机变量服从超几何分布 D.
13.（5分）下列命题正确的是
A. 若随机变量，且，则
B. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则与是互斥事件，也是对立事件
C. 一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于
D. 由一组样本数据，，…，得到回归直线方程，那么直线至少经过，，…，中的一个点
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为________.
15.（5分）投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______．
16.（5分）盒中有个小球，其中个白球，个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为，则______，______．
17.（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分时停止比赛．已知甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛四局停止的概率为________.
18.（5分）设为随机变量，从边长为的正方体条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有、两个题目，该学生答对、两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一个问题即可被聘用，若只答对一问聘为职员，答对两问聘为助理假设每个环节的每个题目或问题回答正确与否是相互独立的．
求该学生被公司聘用的概率；
设该学生应聘结束后答对的题目或问题的总个数为，求的分布列和数学期望．
20.（12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位单位：米的频率分布表如下：
最高水位单位：米
频率
将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立.
求在未来年里，至多有年河流最高水位的概率；
该河流对沿河一蔬菜科植户影响如下：当时，因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失现有三种应对方案：
方案一：不采取措施，蔬菜销售收入情况如表：
最高水位单位：米
蔬菜销售收入单位：元
方案二：只建设引水灌溉设施，每年需要建设费元，蔬菜销售收入情况如表；
最高水位单位：米
蔬菜销售收入单位：元
方案三：建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费元，蔬菜销售收入情况如表：
最高水位单位：米
蔬菜销售收入单位：元
已知每年的蔬菜种植成本为元，请你根据三种方案下该蔬菜种植户所获利润的均值为依据，比较哪种方案较好，并说明理由.
注：蔬菜种植户所获利润蔬菜销售收入蔬菜种植成本建设费
21.（12分）“健步走”是一种方便而又有效的锻炼方式，李老师每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．他最近天“健步走”步数的条形统计图及相应的消耗能量数据表如表：
步数千卡
消耗能量卡路里
求李老师这天“健步走”步数的平均数；
从步数为千步，千步，千步的天中任选天，设李老师这天通过“健步走”消耗的能量和为，求的分布列及数学期望．
22.（12分）某中学为了了解本校高三年级名学生的物理学习情况，从中随机抽取名学生某次物理测试成绩分男女进行统计满分分，其中女生人，男生人，绘制如下两个频率分布直方图：
Ⅰ根据频率分布直方图估计该校高三年级男生的物理平均成绩和女生的物理成绩的中位数；
Ⅱ在抽取的名学生里，成绩在的学生中任取人，其中抽到女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
23.（12分）“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了人，将其购物金额单位：万元按照，，分组，得到如图频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
购物金额单位：万元分组
发放金额单位：元
Ⅰ求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
Ⅱ从购物者中随机抽取人，这人中获得电子优惠券的人数为，求的数学期望．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了二项分布，属于基础题.
利用二项分布的期望与方差计算公式，计算得结论.

解：因为离散型随机变量∽，
所以，
故选
2.【答案】C;
【解析】解：甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，
甲、乙是否命中目标相互之间无影响．现在甲、乙两人同时射击目标一次，
目标被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中目标，
则目标被击中的概率是：
故选：
目标被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中目标，由此能求出目标被击中的概率．
此题主要考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：由分布列可得，，
故
故选：
根据已知条件，结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量的期望公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
该题考查概率的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
设事件表示“甲投进篮”，事件表示“乙投进篮”，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人各投篮次，则两个人都投进的概率即可求．

解：设事件表示“甲投进篮”，事件表示“乙投进篮”，
事件，相互独立，且，，
甲、乙两人各投篮次，则两个人都投进的概率是：
．
故选A．

5.【答案】B;
【解析】解：由随机变量的分布列得：
，
解得．
，
．
故选：．
由随机变量的分布列求出从而，再由，能求出结果．
该题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】A;
【解析】
该题考查的知识要点：数学期望和方差的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用分布列求出数学期望，进一步求出方差的值，再根据函数的性质的应用求出结果．

解：根据随机变量的分布列，
则

，
由于函数的图象为开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为，
故D增大．
故选：．
7.【答案】C;
【解析】解：由题意，记任取一件是厂的产品为事件，，，，记任取一件是次品为事件，
由题意可得，，，，
，，，
由全概率公式可得，
，
故从这批产品中任取一件是次品的概率是，
故选：
根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
此题主要考查了全概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
每次取到次品的概率都是，表示取得次品的次数，则，，由此能求出结果．

解：有件产品，其中件是次品，从中有放回地取次每次件，
则每次取到次品的概率都是，
表示取得次品的次数，则，


故选


9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查概率计算，独立重复试验与二项分布，条件概率，属于中档题.
结合选项逐一分析即可.解：一袋中有大小相同的个红球和个白球，
A.从中任取球，恰有一个白球的概率是 故正确；
B.从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为 ，
则恰好有两次白球的概率为 ，故正确；
C.现从中不放回的取球次，每次任取球，
则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；
D.从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为 ：
则至少有一次取到红球的概率为，故正确．
故选：
10.【答案】BCD;
【解析】解：根据随机变量的分布列可得，，且，，
，由与的大小关系不清楚，故选项无法判别；
，故选项正确；
，当且仅当，即时等号成立，
，故选项正确；
根据方差的性质可知，
，故选项正确，
故选：
利用随机变量的分布列的性质，期望与方差的计算公式，即可解出．
此题主要考查了随机变量的分布列，数学期望与方差，学生的数学运算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD;
【解析】解：对于，的可能值：，，，，
，，
，，
则，故正确；
对于，的可能值：，，，，取球一次取到黑球的概率为，
因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，，故错误；
对于，的可能值：，，，
，，，
则，故正确；
对于，的可能值：，，，，
因为对应的事件为：红或白红，所以，
因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，所以，
因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，
所以，
所以，
则，故正确．
故选：
对于，的可能值：，，，，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断；对于，根据二项分布的数学期望公式可判断；对于，的可能值：，，，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断；对于，的可能值：，，，，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断
此题主要考查离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查了离散型随机变量的期望，超几何分布，属于中档题.
利用超几何分布的特性，进行判断选项，再利用超几何分布的概率对进行判断，求出期望对进行判断，从而得结论.
解：由题意知：随机变量服从超几何分布，因此错误，正确；
随机变量的所有可能取值为，，，，，
，，
，，
，
因此，
所以与都正确.
故选：
13.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了服从二项分布的随机变量的数学期望与方差、互斥与对立事件的概率计算、古典概型的概率计算、线性回归方程的知识，属于中档题.
根据二项分布的数学期望与方差的计算判定，根据互斥事件与对立事件的概率判定，根据古典概型的概率计算判定，根据线性回归方程一定经过样本点中心可判断

解：，，，，
，，选项错误；
，，，，彼此互斥，为必然事件，所以与是互斥事件也是对立事件；正确；
根据古典概型的概率知从个球中任取个的全排列为种，前两次取出白球第三次取出黑球的总数为
，故，答案正确；
根据线性回归方程一定经过样本点中心，未必经过某个样本点，错误，
故选
14.【答案】;
【解析】此题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
方法一：甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，分别求出两种情况的概率，然后相加即可；
方法二：先求出乙胜出的概率，利用对立事件的概率公式即可得到甲胜出的概率.
解：方法一 甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为，，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为
方法二 因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为，所以甲胜出的概率为
15.【答案】;
【解析】解：该同学通过测试的概率为，
故答案为：．
分类讨论，利用次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，计算求得结果．
该题考查相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型，属于基础题．
16.【答案】;;
【解析】解：表示取出的为一个白球，，
表示取出两个黑球，，
表示取出的为一个白球，，
表示取出个球为白球，，
，
故答案为：；．
根据古典概型概率公式求得概率，期望即可．
该题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，是基础题．
利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果．

解：由题意可知，不论最后谁胜出，都是前两局一胜一负，后两局全胜，
甲胜出的概率为，乙胜出的概率为，
比赛四局停止的概率为
故答案为

18.【答案】;
【解析】解：若两条棱相交，则交点必为正方体个顶点中的一个，过任意个顶点恰有条棱，
共有对相交棱，
，
若两条棱平行，则它们的距离为或，其中距离为的共有对，
，
，
随机变量的数学期望．
故答案为：．
从棱长为的正方体的条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体个顶点中的一个，过任意个顶点恰有条棱，共有对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为或，其中距离为的共有对，由此能求出数学期望．
该题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．
19.【答案】解：（1）设答对A，B，甲、乙各题分别为事件A，B，C，D，
则P（A）=，P（B）=，P（C）=P（D）=，
∴该学生被公司聘用的概率为：
P=P（AB）[1-P（）]==．
（2）ξ的取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（）==，
P（ξ=1）=P（）==，
P（ξ=2）=P（AB）P（）==，
P（ξ=3）=P（AB）P（+）==，
P（ξ=4）=P（AB）P（CD）==，
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
∴Eξ==1．;
【解析】
设答对，，甲、乙各题分别为事件，，，，则，，，由此能求出该学生被公司聘用的概率．
的取值为，，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
该题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：（1）由频率分布表得：
P（25≤X＜29）=P（25≤X＜27）+P（27≤X＜29）=0.44+0.36=0.8，
设在未来3年里，河流最高水位X∈[25，29）发生的年数为Y，
则Y～B（3，0.8），
记事件“在未来3年里，至多有1年河流最高水位X∈[25，29）”为事件A，
则P（A）=P（Y=0）+P（Y=1）==0.104，
∴在未来三年，至多有1年河流最高水位X∈[25，29）的概率为0.104．
（2）由题设得P（29≤X≤33）=0.05，
用X1，X2，X3分别表示方案一、方案二、方案三的蔬菜销售收入，由题意得：
X1的分布列如下：
X1 40000 120000 0
P 0.15 0.8 0.05
E（X1）=40000×0.15+120000×0.8+0×0.05=102000．
X2的分布列为：
X2 70000 120000 0
P 0.15 0.8 0.05
E（X2）=70000×0.15+120000×0.8+0×0.05=106500．
X3的分布列为：
X3 70000 120000 70000
P 0.15 0.8 0.05
E（X3）=70000×0.15+120000×0.8+70000×0.05=110000．
设三种方案下蔬菜种植户所获得利润分别为Y1，Y2，Y3，
则Y1=X1-60000，E（Y1）=E（X1）-60000=42000．
Y2=X2-65000，E（Y2）=E（X2）-65000=41500．
Y3=X3-67000，E（Y3）=E（X3）-67000=43000，
∵E（Y2）＜E（Y1）＜E（Y3），
∴采取方案三利润的均值最大，故方案三较好．;
【解析】
由频率分布表求出，设在未来年里，河流最高水位发生的年数为，则，由此能求出在未来三年，至多有年河流最高水位的概率．
由题设得，用，，分别表示方案一、方案二、方案三的蔬菜销售收入，设三种方案下蔬菜种植户所获得利润分别为，，，则，，，先分别求出，，的分布列和数学期望，从而求出，由此得到采取方案三利润的均值最大，方案三较好．
此题主要考查概率的求法，考查最优方案的判断，考查二项分布、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：（1）由条形统计图可知，李老师这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．
（2）X的所有可能取值为：800，840，880，920.，，，，
∴X的分布列为：
X 800 840 880 920
P
数学期望．;
【解析】
由条形统计图可知数据，求出“健步走”步数的平均数；
的各种取值可能为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
此题主要考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
22.【答案】解：（Ⅰ）设男生的成绩为y，由频率分布直方图得男生的平均成绩为：
=（45×0.005+55×0.015+65×0.02+75×0.025+85×0.025+95×0.001）×10=73．
女生成绩的中位数在区间[80，90）内，设为x，
则（90-x）×0.032+0.02×10=0.5，
解得x=80.625．
∴男生的平均成绩是73，女生成绩的中位数是80.625．
（Ⅱ）女生成绩在[90，100]的人数为0.02×10×25=5，
男生成绩在[90，100]的人数为0.010×10×20=2，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴X的数学期望为：
E（X）==．;
【解析】
Ⅰ由频率分布直方图能求出男生的平均成绩和女生成绩的中位数．
Ⅱ女生成绩在的人数，男生成绩在的人数为，随机变量的所有可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
该题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
购物者获得50元优惠券的概率为：（1.5+2+2.5）×0.1=0.6，
购物者获得100元优惠券的概率为：（1.5+0.5）×0.1=0.2，
购物者获得200元优惠券的概率为：（0.5+0.2）×0.1=0.07．
∴获得优惠券金额的平均数为：50×0.6+100×0.2+200×0.07=64（元）．
（Ⅱ）从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为：0.6+0.2+0.07=0.87，
依题意：X～B（10，0.87），所以E（X）=10×0.87=8.7．;
【解析】
Ⅰ由频率分布直方图能求出获得优惠券金额的平均数．
Ⅱ从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为，依题意：，由此能求出．
此题主要考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

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