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数学（基础模块）下册教学参考书
第6章 数列
第6章 数列
Ⅰ 教学要求
1. 了解数列的概念，理解数列的通项公式，了解数列的递归公式.
2. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差中项的概念.
3. 掌握等差数列的前n项和的公式.
4. 会用等差数列的前n项和的公式或通项公式解决有关实际问题.
5. 理解等比数列的概念; 掌握等比数列的通项公式，了解等比中项的概念.
6. 掌握等比数列的前n项和的公式.
7. 会用等比数列的前n项和的公式或通项公式解决有关实际问题.
Ⅱ 教材分析
本章内容介绍
数列在整个初等数学中占有很重要的地位，数、式、方程、函数等很多数学知识都与数列有着非常密切的联系. 特别是等差数列与等比数列，在实际生活中，有着较为广泛的应用. 学习数列，可以培养和提高学生综合运用知识分析、解决问题的能力.
研究一个数列中的各个数之间有什么内在规律，就可以把握这个数列(不必列出其中的每一个数). 这在实际问题中是很有用的. 对于一个数列，特别是无穷数列，通项公式或递归公式对于把握这个数列的结构是关键的.
本章共分4节.
第1节是数列的概念.
教材首先通过“情景导入”创设情景，接着通过几个实例给出了数列的概念以及与数列有关的一些概念，如：项、首项、项的序号、有穷数列、无穷数列、通项、通项公式、递增数列、递减数列等.
第2节是等差数列.
教材首先通过几个实例给出等差数列的概念，并由等差数列的定义得出了等差数列的通项公式. 然后又由在两数之间插入一个数使这三个数成等差数列，引出等差中项概念和等差中项公式. 最后由求前100个正偶数的和引出如何求一般的等差数列的前n项和的问题，并利用逆序相加的方法推出了等差数列的前n项和公式.
第3节是等比数列.
教材首先通过三个具体例子给出等比数列的概念，并由等比数列的定义利用迭代法，归纳推导出了等比数列的通项公式. 然后又与等差中项相类比，给出了等比中项的概念和等比中项公式. 最后由解决“情景导入”提出的签合同问题引出等比数列的前n项和的问题，并利用错位相减法推出了等比数列的前n项和公式.
第4节是数列的实际应用举例. 教材通过4道例题来讲授相关知识，目的是让学生把所学的数列知识应用到实际生活中去，增强学生对数学学科重要性的认识和理解，提高学生发现问题、分析问题和运用数学知识解决问题的能力.
理解数列、等差数列和等比数列的概念，特别是理解数列的通项和前n项和之间的关系，是学好本章的关键.
本章教学重点
1. 等差数列的通项公式、前n项和公式.
2. 等比数列的通项公式、前n项和公式.
本章教学难点
1. 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
2. 等差数列的前n项和公式.
3. 等比数列的前n项和公式.
4. 等差数列与等比数列在实际中的应用.
本章学时安排如下（仅供参考）
6.1 数列的概念 约2学时
6.2 等差数列 约3学时
6.3 等比数列 约3学时
6.4 数列的实际应用举例 约1学时
本章小结与复习 约1学时
Ⅲ 教学建议和习题答案
6.1 数列的概念
1. 教材中，通过设置情景，让学生回答问题，为数列的学习做好铺垫.
2. 如果知道了一个数列的通项公式，那么可以求出这个数列的任意一项.
3. 如果只知道一个数列的前几项，那么无法确定这个数列后面的项是什么.也就是说，仅仅凭前几项是无法写出通项公式的. 因此我们在教材的例3中，是如下叙述题目的：“推测通项公式”.即，观察所求前5项的规律，推测数列的通项公式， 使它的前5项是所求的5个数. 但是也可能有其他数列的前5项是所求的5个数，我们只要求写出一个数列就可以了.
4. 数列是按照一定次序排成的一列数. 学生往往不易理解什么是“一定次序”. 实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列.
5. 数列与数集是两个不同的概念，数列中的数是有次序的，而数集中的数是无序的；数列中的数可以重复出现，而数集中的数却是互异的.
6. 当给定通项公式时，数列就被唯一确定了，但对于一个给定的数列，其通项公式可能不唯一，比如数列：-1，1，-1，1，-1，1，-1，1，…，也是它的一个通项公式.
7. 可以表示项的符号，这一点很重要，教材中根据例1提出的“思考时刻”意在引起学生对这一点的注意.
8. 把给出的几个数作为数列的前几项，写出数列的一个通项公式是个难点，教师应引导学生注意观察和分析已给项的特点和规律，这有助于培养学生的观察思考和分析归纳等能力.
课堂练习答案
1.
2. (1) 8， 64， ;
(2)
习题6.1答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.2 等差数列
1. 等差数列是一类重要的数列.我们在教材中让学生观察三个数列(都是实际例子)的各项之间有什么关系，由此引出等差数列的的概念.
2. 等差数列的通项公式的推导， 我们在教材中写出的推导过程是既严谨又简明的.有的教材用归纳推理得出等差数列的通项公式，那只能得出猜想，还需经过证明.如果把猜想当作结论，这在思维方式上是不对的.
3. 等差数列的通项公式表示首项a1、公差d、项的序号n与第n项an之间的关系.要想求等差数列的第n项 an，关键是先求出首项a1和公差d，此时通项公式便被确定.
4. 要让学生学会灵活运用等差数列的通项公式解题.
5. 让学生了解等差中项的概念，并且知道a与b的等差中项就是a与b的算术平均数.
6. 教材从计算前100个正偶数和的方法引出等差数列前n项和的计算方法，推导出前n项和的公式.
7. 等差数列前n项和的公式有两种形式.如果知道首项、末项和项数，则用Sn=计算. 如果知道首项和公差d、项数n，则用来计算.后者表明对于一个给定的等差数列，前n项和与项数n遵从二次函数的关系.即
反之，如果数列{}的前n项和的公式形如
那么这个数列是等差数列. 证明方法类似于教材中例11的解法.
8. 要让学生会灵活运用等差数列的前n项和的公式解题关健是要会分析.
9. 在解题的时候，若三个数成等差数列，则常将这三个数设成是从例4可以看到，这样设的好处是这三个数的和正好等于3a，很容易将a求出. 若将这三个数设成计算起来就不如上面那样设简单了.
10. 在一个等差数列中，若m, n, k, l均为正整数，且有那么就一定有，现证明如下：由等差数列的通项公式可得
等差数列的这条性质，可以让学生了解，不必要求学生掌握.
课堂练习6.2.1答案
1.
2.
3. (1) 60; (2)18.
课堂练习6.2.2答案
1. 1 125 750
2.
习题6.2答案
1. 是等差数列.由公式可知即从它的第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数.
这个数列的前5项分别为
2.
3.
4.
5.
6.
7. (1) 900， 495550 (2) 128， 70336 (3)-370
8.
(2) 它的前3项分别为8，18，28，通项公式为
6.3 等比数列
1. 等比数列的学习与等差数列的学习是相通的，教材也从三个实际例子引出等比数列的概念.
2. 教材中对于等比数列的通项公式的推导是严谨而且简明的.
3. 从等比数列的通项公式可以看出，只要知道首项a1和公比q，就可以求出等比数列的任意一项.
4. 要让学生灵活运用等比数列的通项公式解题，关键在于分析.
5. 让学生了解等比中项的概念，并且知道两个正数的等比中项等于这两个正数的几何平均数或者几何平均数的相反数.
6. 等比数列的前n项和的公式是相当有用的.
7. 教材推导等比数列前n项和的公式时，直接对一般的等比数列推导出前n项和的公式，推导过程是严谨而又简明的.
8. 等比数列前n项和的公式有两种形式.常用的是
Sn=
其中q
9. 在解题时，若三个数成等比数列，则将这三个数设成是比较好，从例5可以看到，这样设了以后，这三个数的积正好等于a3，很容易将a求出.
10. 在等比数列中，若m，n，k，l均为自然数，且有，则有等式：. 这是因为若设公比为q，则由等比数列的通项公式与有
这是等比数列的一条很重要的性质，利用这条性质会使计算非常简便，比如，如果我们知道了等比数列的第3项与第10项的乘积，那么也就相当于知道了第1项与第12项的乘积、第2项与第11项的乘积、第4项与第9项的乘积等等. 这条性质教师要理解，可向学生做些简单介绍，但是不要给学生增加过多的应试内容.
课堂练习6.3.1答案
1.
2.
3. 第5项是
4.
课堂练习6.3.2答案
1.
2.
3.
习题6.3答案
1. 是等比数列. 由即从第2项起，以后每项与前一项的比都等于同一常数.
这个数列的前5项分别为
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
6.4 数列的实际应用举例
1. 等差数列的前n项和的公式在计数中起着重要作用.
2. 对于实际问题应当首先分析有关的数列是不是等差数列.
3. 教材的例2可以不用等差数列，直接进行计算:
据题意，每天租金为300元， 行驶每千米的附加费用为0.8元，则行驶200千米的附加费用为2000.8=160元. 因此应当付给租车公司300+160=460元.
4. 等比数列的前n项和公式和通项公式在实际生活中也有许多应用.教材中通过例3、例4来说明.
5. 教材中的例3、例4都是现实生活中的真实问题，我们运用等比数列的理论推导出了相关答案: 这是运用数学理论解决实际问题的例子.
课堂练习答案
1. 是等差数列，公差为
2. 310
3. 约166公顷
4. 256
习题6.4答案
1. 192mm， 168mm， 144mm
2. 边数为6
3. 450元
4. 8年
5. 58.399亿元
6. 约390毫米汞柱
7. 2012年
Ⅳ 复习题6答案
A组
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 是等差数列，首项为2，公差为7.
8. 提示：利用等差数列和等比数列的定义来证.
9. 220.92万
10. 2℃， -24℃
B组
1. 570
2. 约124元
- 1 -
- 10 -
- 11 -数学（基础模块）下册教学参考书
第7章 平面向量（矢量）
第7章 平面向量（矢量）
Ⅰ 教学要求
1. 理解向量的相关概念.
2. 掌握向量的加法、减法与数乘向量的运算.
3. 理解与一个非零向量共线的向量的条件.
4. 理解平面向量的直角坐标的概念.
5. 掌握用坐标进行向量的加法、减法与数乘运算. 掌握向量的坐标与点的坐标之间的关系.
6. 理解向量的内积的概念及其基本性质.
7. 掌握用直角坐标计算向量的内积的公式. 会利用向量的内积判断两个向量是否垂直.
Ⅱ 教材分析
本章内容介绍
向量是中学数学里新增加的内容. 为什么在中学数学里要学习向量？首先，客观世界中存在既有大小又有方向的量，例如，速度，加速度，力，位移等. 因此需要有研究这种量的统一的数学模型——向量. 其次，由于向量兼有直观性强，又易于计算这两方面的优点，因此在许多数学分支的研究中都可以利用向量这一模型，或者借助向量的语言. 例如，平移是平面上（或空间里）每一个点都按照同一个方向移动相同的距离，这完全可以由一个向量a来决定：a的方向表示移动方向，a的大小表示移动的距离. 又如，一条直线可以看成是由一个点和一个方向决定的，向量正好可以用来描述直线的方向，从而可以利用向量的工具来研究解析几何里有关直线和平面的问题. 再如，研究线性方程组的解的情况和解的结构时，借助向量的语言，把一个n元有序数组称为n维向量，这样就可以把研究线性方程组的解的情况和解的结构问题，归纳为研究n维向量空间的子空间的结构问题，使本来是代数的问题“几何化”，使之直观、易懂.
本章主要讲向量的概念，向量的运算, 向量的表示以及向量的内积.
向量是既有大小又有方向的量.
向量有两种表示方式：（1）几何表示. 用有向线段表示一个向量a，长度相等并且方向相同的有向线段表示相等的向量. （2）坐标表示. 在讲了向量的加法与数乘运算后，可以得到平面向量分解定理, 进而引进向量的坐标的概念. 向量的这两种表示使得向量兼有直观性强，又易于计算两方面的优点，从而使向量非常有用. 例如，求线段的中点，求直线的方程以及两条直线平行的条件等方面发挥着很大的作用.
向量有加法、减法以及数乘运算. 它们统称为向量的线性运算. 有两种方式进行向量的线性运算. （1）用有向线段进行运算. 向量的加法有三角形法则，对于不共线的两个向量的加法还有平行四边形法则. 向量的减法通过加法来定义：a－b def a +（－b）. 数乘向量分别对其长度，方向作出规定. （2）用坐标进行运算. 两个向量的和（差）的坐标等于它们的坐标的和（差）. 实数k与向量a的乘积的坐标等于k乘以a的坐标. 向量的加法与数乘运算满足8条运算法则. 这8条运算法则使得在向量的线性运算中可以使用实数运算的去括号，合并同类项，移项等法则.
向量的内积使得可以利用向量统一地研究有关长度，角度，垂直等度量问题. 向量的内积的定义是
a·b def |a| |b|cos< a, b >.
利用直角坐标可以很容易计算两个向量ab的内积：
a·b=
利用向量的内积可以计算向量的长度、两点间的距离、两个非零向量的夹角，判断两个向量是否垂直，从而可以利用向量的内积研究两条直线垂直的条件、两条直线的夹角、点到直线的距离等.
本章教学重点
1. 向量的几何表示（用有向线段表示向量）.
2. 向量的加法、减法、数乘运算.
3. 平面向量的直角坐标；用坐标作向量的线性运算；平面向量的坐标与点的坐标的关系.
4. 向量的内积的概念；用直角坐标计算向量的内积；两个向量是否垂直的判定.
本章教学难点
1. 向量的减法运算.
2. 与一个非零向量共线的向量的条件.
3. 向量的内积的概念.
本章学时安排如下（仅供参考）
7.1 平面向量的概念 约1学时
7.2 平面向量的运算 约3学时
7.3 平面向量的坐标表示 约3学时
7.4 平面向量的内积 约2学时
本章小结与复习 约1学时
Ⅲ 教学建议和习题答案
7.1 平面向量的概念
1. 教材中通过猫追老鼠的例子，让学生体会现实生活中存在既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念. 这使学生初步认识到学习向量的必要性.
2. 我们用带有一个箭头的线段（称为有向线段）来直观地表示向量，其中线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向. 这是向量的几何表示. 我们把有向线段AB记作，其中端点A叫做起点，端点B叫做终点，起点A往终点B的方向就是的方向. 我们把有向线段就叫做向量.
由于向量只有大小和方向两个要素，因此很自然地把大小相等且方向相同的向量叫做相等的向量. 从而长度相等并且方向相同的有向线段表示的向量是相等的向量. 例如，把有向线段平行移动得到，由于它们的长度相等且方向相同，因此向量与向量相等. 注意，作为向量，=. 但是作为有向线段，与显然是不同的有向线段. 因此本书是注意区分向量与有向线段这两个不同概念的，不要混为一谈. 每一条有向线段是一个向量（因为有向线段也是既有大小又有方向的量）. 一个向量a可以用一条有向线段来表示，并且与长度相等并且方向相同的有向线段都可以表示向量a. 因此一个向量a在几何上对应于由长度相等（都等于a的大小）且方向相同（都表示a的方向）的所有有向线段组成的一个集合. 这个集合里的任何一条有向线段都可以作为向量a的一个代表.
3. 一组向量如果用同一起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上. 则称这组向量是共线的，也称这组向量是平行的.
4. 教材中“回忆时刻”答案：只有大小没有方向的量叫做数量.
5. 教材中例2，向量与不相等，向量与也不相等.
课堂练习答案
1. 圆.
2. 与向量相等的非零向量为、;
与向量相反的非零向量为、、;
与向量共线的非零向量为、、、、、和.
习题7.1答案
1. 与向量相等的向量为；
向量的负向量为，.
2. 与向量共线的非零向量为和.
3. (1) 不正确，向量有大小和方向，大小相等，方向不同，向量也不同.
(2) 正确，向量与的大小方向都相同.
(3) 不正确，向量与的大小相同，但是方向相反，向量也不同.
(4) 正确，||=||且方向相同.
4. 相同
5. 与向量相等的向量为，；
与向量共线的非零向量为，，，，；
向量的负向量为，，.
7.2 平面向量的运算
1. 从飞机在天空中飞行的位移的实际例子，自然地引出向量的加法运算. 这使学生感到向量的加法运算不是生硬规定的，而是从实际问题中抽象出来的，从而使学生受到数学的思维方式的熏陶.
2. 向量的加法运算的定义要点是：以第一条有向线段的终点作为第二条有向线段的起点，则从第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段就表示和向量.
3. 不难证明，向量a与b的和，与初始起点的选择无关. 如图7-1所示，如果任选点P，作有向线段表示向量a，接着作有向线段表示向量b，则有向线段必然与教材中图7－10的有向线段表示同一个向量，把这个向量称为a和b的和.
图7-1
证明的思路是：由于有向线段与都表示向量a，因此可以把有向线段平行移动到，这时点P移到了点A处，点Q移到了点B处，由于与表示同一个向量b，因此，点M移到了点C处. 从而有向线段移到了，因此向量=.
4. 从向量加法的三角形法则得出的向量等式
=+
很有用. 从右到左地使用，可以求出和向量；从左到右地使用，可以把一个向量分解成两个向量的和. 在使用此公式时，要注意第一个向量的终点与第二个向量的起点是同一个点，才能用这个公式.
5. 向量的加法满足4条运算法则，其证明如下：
1°情形1 a与b不共线.
从同一起点O作、分别表示a、b，然后以OA、OB为边作平行四边形OACB，如图7-2所示. 据平行四边形法则，得
a+b=.
由于== a，因此据三角形法则，得
b+a=.
从而得出 a+b= b+a.
图7-2
情形2 a与b共线. 这时分为三种情况：a与b中有一个是0；a与b的方向相同；a与b的方向相反. 对于每一种情况都容易证明a+b=b+a.
2°作有向线段、、分别表示a、b、c，如图7-3所示. 则
(a+b)+c=+=，
a+ (b+c) =+=.
图7-3
因此 (a+b)+c=a+ (b+c) .
3°作有向线段表示a，则
a+0=+== a.
据交换律，得
0+ a = a+0= a.
4°作有向线段表示a，则－a=－=.
从而
a +（－a）=+==0.
据交换律，得
（－a）+a = a +（－a）=0.
6. 向量的减法运算的定义是
a－b def a +（－b）.
特别要注意：起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减向量的终点形成的向量. 在画图时不要画错.
7. 例4是用不共线的两个向量表示图形中的其他向量，这是重要的基本功. 这为平面向量分解定理（平面上每一个向量都可表示成给定的不共线的两个向量的线性组合，并且表示方法惟一）作了铺垫.
8. 数乘向量的定义分别从长度、方向来规定. 注意，在规定方向时，有一个前提条件：|a|≠0. 至于|a|=0时，从a的长度的定义中知道，此时必有=0或a=0. 对于这两种特殊情形. 从长度的定义和零向量的定义立即得出
0 a=0， 0=0.
9. 数乘向量满足的4条运算法则，其证明思路是：先证等号两边的向量的长度相等，然后当它们的长度不为0时，去证它们的方向相同. 现在写出证明过程，但是不用给学生讲，仅供教师参考.
5° 1a= a.
证明 若a≠0. 因为|1a|=|1|| a|=|a|，且1 a与a同向，所以1a= a. 若a=0，则10=0.
6°λ(μa)=(λμ) a.
证明 |λ(μa)|=|λ||μa |=|λ||μ||a|=|λμ| |a|=|（λμ）a|.
当λ>0且μ>0时，λμ>0，容易看出，λ(μa)与（λμ）a都与a同向，从而它们的方向相同.
其余三种情况也可证明λ(μa)与（λμ）a的方向相同.
综上所述，得λ(μa)=（λμ）a.
7°（λ+μ）a=λa+μa.
证明 若a=0或者λ，μ中有一个为零时，结论显然成立. 下面设λ，μ都不为零，且a≠0.
情形1 若λ，μ同号，则λa与μa方向相同. 且λa+μa与（λ+μ）a方向相同，此时有
|λa+μa|=|λa|+|μa |=|λ| |a|+|μ||a|
=（|λ|+|μ|）|a|，
又有
|(λ+μ）a|=|λ+μ| |a|=（|λ|+|μ|）|a|，
所以
（λ+μ）a=λa+μa.
情形2 若λ，μ异号，由于λ和μ的地位对称，因此不妨设λ>0，μ<0. 又分以下三种情形：
2.1) 若λ+μ=0，则（λ+μ）a=0 a=0，
λa+μa=λa+（－λ）a=λa+（－1）（λa）
=λa+（－λa）=0.
从而 （λ+μ）a=λa+μa.
2.2) 若λ+μ>0，则λ+μ与－μ同号，从而由情形1得
[（λ+μ）+（－μ）] a=（λ+μ）a+（－μ）a，
即 λa=（λ+μ）a+（－μa）.
从而 （λ+μ）a=λa+μa.
2.3) 若λ+μ<0，此时λ+μ与－λ同号，由情形1得
[（λ+μ）+（－λ）] a=（λ+μ）a+（－λ）a.
从而 （λ+μ）a=λa+μa.
8°λ（a + b）=λa+λb.
证明 若λ=0，或者a、b中有一个为0，则结论显然成立. 下面设≠0且a、b都
不为0.
若a与b平行，则容易看出，有实数μ，使b=μa. 从而
λ（a + b）=λ（1 a+μa）=λ[（1+μ）a]
=（λ+λμ）a=λa+（λμ）a
=λa+λ（μa）=λa+λb.
若a与b不平行，那么当λ>0时，作、分别表示a、b. 于是表示a+b. 再作、分别表示λa、λb. 则△OAB∽△OCD. 从而D必在直线OB上，于是表示λ（a + b）. 又表示λa+λb，所以有
λ（a + b）=λa+λb.
λ<0时可以作类似讨论.
10. 向量的加法与数乘向量满足8条运算法则，它们在形式上很像实数加法与乘法满足的运算法则（但是数乘向量与实数乘法在本质上不同），于是自然可以猜想实数运算中的去括号、合并同类项、移项等法则，在形式上可以搬到向量的加法与数乘向量中来. 这是可以证明的. 例如，去括号法则，以下述为例：
－（3a－b）=－3a+b.
理由如下：从数乘向量的定义容易得出，（－1）a=－a. 于是
－（3a－b）=（－1）[3a+（－b）]=（－1）（3a）+(－1)（－b）
=[（－1）×3] a+（－1）[（－1）b]
=（－3）a+[（－1）（－1）] b
=－3a+1b
=－3a+b.
今后我们可以在向量运算中直接使用去括号、合并同类项、移项等法则，不必像刚才那样写出详细推导过程.
课堂练习7.2.1答案
1. a + b=－2，方向水平向左.
2. .
3. 略
4.（1）； （2）.
5. 60°
课堂练习7.2.2答案
1. (1) ，图略；（2），图略.
2.
课堂练习7.2.3答案
1.
2. (1) 5(a+b)－7(a－3b)=5a+5b－7a+21b=－2a+26b；
(2) 12（a－2b+c）－2(6a+b－3c) = 12a－24b +12c－12a－2b +6c
=－26 b +18 c.
3.
4.
习题7.2答案
1.
2. 略
3.
4.
5.
6.
7. 0
8. 略
7.3 平面向量的坐标表示
1. 用有向线段表示向量（称为向量的几何表示）具有直观性强的优点，但是用有向线段进行向量的加法、减法和数乘运算比较麻烦. 为了简化运算需要引进向量的坐标表示，利用向量的坐标进行向量的线性运算要简便得多.
2. 平面上取定一个直角坐标系[O；、]后，两个向量相等当且仅当它们的坐标相等. 于是平面上所有向量组成的集合与所有有序实数对组成的集合之间有一个一一对应：每个向量对应于它的坐标. 用坐标来表示向量，是向量的代数表示. 用有向线段表示向量是向量的几何表示.
3. 向量的坐标表示使得向量的加法、减法、数乘运算归结为数的运算，从而容易进行.
4. 在讲两个向量的和（差）的坐标，数乘向量的坐标之前，应当先在所有有序实数对组成的集合中规定加法、减法以及数乘运算. 这样就可以得出：
(1) 两个向量的和（差）的坐标等于它们的坐标的和（差）；
(2) 数乘向量的坐标等于这个数乘以该向量的坐标.
向量的坐标求出后，这个向量就确定了. 因此上述结论使我们可以利用向量的坐标进行向量的运算.
5. 同一个向量在不同的坐标系中的坐标是不相等的，向量的坐标依赖于坐标系的选取. 即使取定一个坐标系，虽然平面向量的集合与有序实数对的集合之间存在一一对应，并且这个对应保持加法和数乘运算，从而这两个集合作为向量空间是同构的，但由于这个同构对应依赖于坐标系的选择，因此不是自然同构，从而向量a与它的坐标（x，y）不能等同.
6. 利用向量的坐标判断两向量是否平行，是教学重点，应要求学生熟练掌握.
教材由平行向量基本定理，将其用直角坐标表示得到两个向量平行的充要条件是，相应坐标成比例. 从而将向量平行的条件数量化. 有了用坐标表示的两个向量平行的充要条件，可以使相应的几何问题转化为数量的运算；判断向量平行（共线）的问题转化成看数量关系. 对于学生普遍感到比较大的难题——几何证明题，又有了一种新的证题工具.
7. 用向量平行的充要条件可以证明几何中的三点共线和两直线平行的问题. 教学时，要注意到向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合的情况，向量平行包括共线.
8. 本小节应用向量平行的充要条件的习题有以下几个类型：
(1) 已知两向量的坐标（或向量的起点、终点坐标），证明（或判断）它们平行（或不平行），如7.3.3课堂练习第2题.
(2) 证明三点共线，如7.3.3节中例6.
(3) 已知两向量平行，求其中一个向量的某一个坐标. 如7.3.3节中例5和7.3.3课堂练习第1题.
课堂练习7.3.1答案
1. (1) (-1，3)； (2) (2，-4)； (3) (3，0)； (4) (0，-2).
2. (1) (5，1)； (2) (-1，-7)； (3) (3，-13)； (4) (5，18).
课堂练习7.3.2答案
1.
2. (5，-6)
3.
课堂练习7.3.3答案
1. -12
2. 证明：因为点
所以
又因为0
所以
所以∥
习题7.3答案
1. m=5，n=0
2. a+b=(4,－6) +
a－b=(4,－6) －
2a－3b=2(4,－6) －3
3. a+b+ c=（2，3）+（－1，0）+（－7，8）=（－6，11），
a－b+ c=（2，3）－（－1，0）+（－7，8）=（－4，11），
2a+5b－6c=2（2，3）+5（－1，0）－6（－7，8）=（41,－42）.
4. 因为a=（5 a），所以a的坐标为（20, －5）=（4, －1）.
5. (1) （－4，7）－（－1，2）=（－3，5）；
=－=（3，－5）.
(2)
=－=（－1，0）.
(3)
=－=.
(4) =（－1，－1）－（1，1）=（－2，－2）；
=－=（2，2）.
6. 设点B的坐标为（x，y），则由
=（x，y）－（－1，3）=（2，－5）.
得
解得
7. 设M，N的坐标分别为()、()，则由
所以 ()=（4，3）+（－9，3）=（－5，6），
()=（8，6）+（－9，3）=（－1，9）.
即M、N的坐标分别为（－5，6）、（－1，9）.
8. 设B的坐标为（x，y），依题设有
即（x，y）=（6，3）.
9. 当
10. (1) 由于
又
所以 ∥
又 直线AB、直线AC有公共点A.
所以 A、B、C三点共线.
(2) 由于
又
所以 ∥
又 直线PQ、直线PR有公共点P.
所以 P、Q、R三点共线.
7.4 平面向量的内积
1. 向量的加法、减法与数乘运算不能解决有关长度、角度、垂直等度量问题，为此需要引进向量的内积的概念.
2. 我们从一个人拉小车做的功出发，自然地引出了向量的内积的定义：
def |a| | b|cos< a, b >,
其中< a, b >表示向量a与b的夹角. 当a≠0，b≠0时，作有向线段分别表示
a, b ，射线OA与OB组成的不大于的那个角叫做a与 b的夹角. 0与每一个向量a的夹角可以是任意一个角.
3. 由于向量的内积的概念中涉及长度、角度的概念，因此可以利用向量的内积来计算向量的长度、两个非零向量的夹角，以及判定两个向量是否垂直：
向量的内积的概念可以统一处理长度、角度、垂直等问题，这表明向量的内积是非常有用的概念.
4. 计算向量a在方向b上的分量，可以取a的起点O，方向b上的单位向量，建立一个直角坐标系[O；，]，a在方向b上的分量就是a在方向上的分量，而这等于a的横坐标，这又等于|a|. 因此，a与非零向量b的内积等于a在方向b上的分量与b的长度的乘积. 利用这个结论可以证明内积的线性性质.
5. 向量的内积有4条基本性质：
(1) 对称性 =
(2) 线性性之一 ()
(3) 线性性之二
(4) 正定性 ≥0，等号成立当且仅当=0
性质(1)和(4)的证明都是容易的；而性质（2）和（3）的证明需要利用向量的内积等于a在方向b上的分量与|b|的乘积，而a在方向b上的分量实质上是a的横坐标，再利用坐标作向量的运算，便可证出性质（2）和（3）.
由于向量的内积不是向量的代数运算，因此我们在教材中没有把向量的内积的对称性说成交换律，等等.
6. 已知向量a=，b=，利用向量的内积的性质，可以很容易推导出用向量的直角坐标计算它们的内积的公式：
=
7. 有了用向量的直角坐标计算内积的公式，就可以很容易解决有关长度，距离，角度，垂直等度量问题. 教材中分别讲了用向量的直角坐标计算向量的长度公式，两点间距离公式，两个非零向量的夹角的余弦公式，判断两个向量垂直的充分必要条件. 这些在以后学习平面解析几何的内容时都要用上，应当让学生掌握.
课堂练习7.4.1答案
1. (1) a·b=|a|| b|cos< a，b >=3×2×cos60°=3;
(2) a·b=|a|| b|cos< a，b >=4×7×cos
(3) a·b=|a|| b|cos< a，b >=1×10×cos
2. (1) 因为a·a=
(2) 由a·b=|a|| b|cos< a，b >，得|a|=
课堂练习7.4.2答案
1. (1) =
(2)
2. (1)
(2)
3. (1)
(2)
4. cos<>=
又由于0≤<>≤，因此<>=.
习题7.4答案
1. a·b=|a|| b|cos< a，b >=3×1×cos
=
=
=
所以
2. b·a=|b|| a|cos< b，a >=2×6×cos
=
=
=
=
=
所以
3. (1) cos< a，b >=
(2) cos< a，b >=
4. (1)
(2)
(3)
5.
解得
6. 因为
(1) cos<>=，此时△ABC为钝角三角形.
(2) cos<>=，此时△ABC是以∠BAC为直角的直角三角形.
7.
因为，所以△ABC是以∠BAC为直角的直角三角形.
8. 由=得－=0.
因为为非零向量且.
所以上式化为
同理当
即
Ⅳ 复习题7答案
A组
1. (1)
(2) (17,
(3) 5,().
(4)
(5) 1) 6; 2)
2.
3.
=
=.
4. (1) 因为
(2) 因为
(3) 因为
5.
显然
即四边形APCQ为平行四边形.
6. 证明：因为顶点A、B、C的直角坐标分别为(-4，6)，(2，2)，(2，6)
所以
所以0
所以与垂直，即△ABC是直角三角形.
B组
1. 证明：
=0+0+0=0
2. 船的实际航行速度大小为，方向为北偏西度.
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第8章 直线和圆的方程
第8章 直线和圆的方程
Ⅰ 教学要求
1. 掌握两点间距离和中点坐标公式.
2. 掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程，会根据已知条件选取适当的方法求直线方程.
3. 理解两条直线平行和垂直的条件，会判断两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点.
4. 会根据公式求一个点到一条直线的距离.
5. 掌握圆的标准方程和一般方程.
6. 会判断直线与圆的位置关系.
7. 能够应用直线和圆的方程解决一些实际问题.
Ⅱ 教材分析
本章内容介绍
本章探讨的主要是解析几何知识. 解析几何产生于17世纪初．当时科学和技术的发展提出了许多新的数学问题．例如，德国天文学家开普勒发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆，力学家伽利略发现抛射体运动的轨道是抛物线．这些发现迫切需要对曲线的研究和计算，从而导致了解析几何的产生和发展．法国数学家笛卡儿和费尔马是解析几何的创始人，他们在平面上引进坐标，把平面上的点与实数对(x, y)建立一一对应，然后在点动成线的思想下，将曲线与方程建立一一对应，从而可以通过方程来研究曲线．解析几何的产生在数学史上是一重大进展，它用变量的观点研究曲线，使得数学的研究从常量的观念为中心转变为以变量的观念为中心；同时它又将原来彼此独立发展的代数和几何通过坐标巧妙的结合，开创了用代数方法研究几何问题的新方法，这种思想和方法对几何问题的研究如虎添翼，使人们彻底清楚了直线是一次曲线、圆锥曲线是二次曲线，甚至还把它用于更高次的曲线和曲面的研究．解析几何的产生还为数学的进一步发展——微积分的诞生创造了条件．
本章主要讲解直线和圆的知识. 直线和圆是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线和圆的方程属于平面解析几何范畴，是进一步学习其他曲线方程的基础，同时也是解决许多实际问题的手段. 通过本部分知识学习，可以培养学生应用数学的意识，提高解决实际问题的能力.
本章主要包括两大部分，直线方程和圆的方程. 其中直线方程部分为教学重点，主要包括直线的倾斜角的概念以及斜率的概念和计算方法，直线方程的几种表示方式，要求学生会写直线方程. 此外还介绍了两条直线的位置关系：平行与垂直，及此种情况下斜率有什么特点. 点到直线的距离是以后经常用到的，要求学生熟练掌握. 第二部分圆的方程要求理解圆的方程的两种形式，并会简单的计算. 此外，本章开始还介绍了两点间距离公式及中点坐标公式及其应用，学生应熟练掌握.
学好本章的关键是：理解解析几何的基本思想方法——建立坐标系，用代数方程表示曲线，通过对方程的讨论来研究曲线的性质.
本章教学重点
1. 求直线的斜率.
2. 根据已知条件，选择适当的形式求直线的方程.
3. 判断两条直线的位置关系.
4. 利用公式，求两点间的距离、点到直线的距离.
5. 圆的标准方程和一般方程.
6. 直线与圆的位置关系.
本章教学难点
1. 直线与方程的关系.
2. 根据已知条件，选择适当的形式求直线的方程.
3. 用坐标法解决直线、圆的相关问题.
本章学时安排如下（仅供参考）
8.1 两点间距离公式及中点公式 约2学时
8.2 直线的点斜式和斜截式方程 约2学时
8.3 直线的一般式方程 约2学时
8.4 两条直线的位置关系 约3学时
8.5 点到直线的距离 约1学时
8.6 圆的方程 约2学时
8.7 直线与圆的位置关系 约2学时
8.8 直线的方程与圆的方程应用举例 约2学时
本章小结与复习 约2学时
Ⅲ 教学建议和习题答案
8. 1 两点间距离公式及中点公式
1. 两点间的距离公式应熟记，推导时可以用图作为辅助，以便学生更好地理解. 此外，两点间的距离公式还可以写成 .
2. 教材用从特殊到一般的思想方法推导出中点坐标公式，易于学生理解.
课堂练习8.1.1答案
1.
2.
课堂练习8.1.2答案
(1) (5，3) (2) ()
习题8. 1答案
1. (10，0)或(0，0)
2. －1或11
3. 三条中线的长度分别为3，3，
4. (1)
(2)
(3)
8. 2 直线的点斜式和斜截式方程
1. 教材从实例出发，用图直观地向学生展示倾斜角，在学习了三角函数后，学生就很容易表示出斜率k=tan，在讲课时一定要注意角的旋转方向一定是沿逆时针旋转，否则很容易弄错正负号. 同时=90°时，k是不存在的，这也要注意. 通过画图举例说明，引导学生自己总结出k取不同值时，角的变化以及直线的变化趋势.
2. 学习直线的倾斜角概念时，要强调定义中的三个条件：直线向上的方向、x轴正方向、最小的正角. 由定义可得倾斜角的取值范围是0≤＜. 这个定义保证了任何一条直线都有唯一的倾斜角. 对于基础好的学生，可要求他们根据斜率的定义，自己推出斜率的符号与倾斜角的关系.
3. 只要正确理解了斜率的定义及意义，就很容易计算斜率. 但已知两点求斜率需要一些向量的知识，教师可稍作介绍，已知两点(x1，y1)与(x2，y2)，则过此两点的直线斜率，此处一定要注意x2≠x1，且k也可以写作，即与点的顺序无关.
4. 已知一点及斜率求直线方程称为点斜式，如已知点P（x1，y1），斜率为k，则直线方程为y－y1=k(x－x1)，其实由斜率的定义可以得出，我们已知P是直线上的点，(x，y)也满足要求是直线上的点，则斜率，变形后即为，用此方法求直线方程时一定要注意k必须存在.
5. 斜截式是已知斜率k和直线与y轴的交点（0，b），直线方程写作y=kx+b，其实斜截式是点斜式的特殊情况，点斜式是已知任意一点，而斜截式是已知直线与y轴的截距.
课堂练习8.2.1答案
1. (1)0 (2)k∈(0，+∞) (3)不存在 (4)k∈(－∞，0)
2.
直线倾斜角 30° 45° 60° 120° 135° 150° 180° 270°
斜率k 1 0 不存在
3. (1) 0°，0 (2) 90°，不存在
4. 略
课堂练习8.2.2答案
1. (1) y=－3
(2) x=5
(3) y=4
(4) x=6
2. (1)
课堂练习8.2.3答案
1.
2.
3.
习题8. 2答案
1.
2. a=－4
3. x2=4 y3=－3
4. (1)，图略
(2) y=－5，图略
(3) y=－2x+8，图略
(4) y=x或y=－x，图略.
5. (1)在同一直线上
(2)不在同一直线上
8. 3 直线的一般式方程
1. 直线的一般式方程是本章教学的重点，一般求直线方程都要求是一般式方程. 对于给出直线的一般式方程，当时可化成
这时斜率为，在y轴上的截距为的直线方程. 还要明晰，当A=0，时，方程，表示经过点且平行于x轴的直线；当时，方程为，表示经过点，且平行于y轴的直线.
学生感到困难的是对方程中系数A，B，C的理解，无法将直线的倾斜角、斜率、截距等几何特征与之有机地对应起来，尤其对缺项的方程（如：和等），掌握起来颇有困难. 教学中应根据学生的实际情况，对例题的讨论应讲深讲透，结合图形，体现数形结合的数学思想.
2. 直线方程的一般式为，其也是二元一次方程的一般式，其中A、B不能同时为零，由一般式很容易推导出直线的斜率和y轴的截距.
3. 教材中通过列表给出了一般式方程的斜率和纵截距公式，但是不要求学生记住，理解并能够推导即可.
4. 本节教学时，教师不必重点讲解直线和直线方程的一般式的一一对应，重点让学生熟记一般式的形式，并会将其他形式化为一般式.
课堂练习答案
1.
2.
习题8. 3答案
1.
2. (1) 当B≠0时，；当B=0时，无斜率
(2) 当C=0，A、B不同时为0时，方程表示通过原点的直线
3.
4.
8. 4 两条直线的位置关系
1. 本节重点是运用直线方程研究两条直线的位置关系. 平面上两条直线的位置关系有平行、重合和相交三种情况，通过本节教学，要使学生能够通过两条直线的方程判断两条直线的位置关系，在相交情况下，判断两条直线是否垂直，并能求出交点.
2. 平面内两条相交直线，若相交的角为直角，则两条直线垂直. 若两条直线平行，则直线的斜率相等. 直线与直线平行的充要条件是且b1≠b2，其中b1≠b2是学生最容易遗漏的. 对于倾斜角为90°的情况应特殊考虑. 对于一般式，直线平行的充要条件是.
3. 在直线与直线中，若且时，两条直线重合. 在判断两条直线的位置关系时，应注意此种情况.
4. 对于均有斜率的两条直线垂直时，斜率满足即或.
5. 这部分都要求学生熟练掌握怎样求与已知直线平行或垂直的直线方程.
6. 教材中提到三角形外角定理，其内容为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
7. 在求两条直线的交点之前，首先应判断两条直线是否相交，即分析一次项系数是否对应成比例. 教材应用了充要条件的语言，简明地论证了两条直线的交点坐标就是两直线方程构成的方程组的解. 因此，求这两条直线的交点问题就转化为求方程组的解的问题. 建议教师带领学生回忆二元一次方程组的解法. 这部分内容容易理解，要求学生掌握.
课堂练习8.4.1答案
1. (1)否 (2)是 (3)是 (4)否
2.
课堂练习8.4.2答案
1. 否
2.
3.
、、、
故此三角形不是直角三角形.
课堂练习8.4.3答案
习题8. 4答案
1. (1)平行 (2)平行 (3)垂直
2.
3.
4.
5. (1) 相交，交点为(-2，1)
(2) 相交，交点为(0，0)
(3) 相交，交点为
8. 5 点到直线的距离
1. 点到直线的距离是研究某些问题的重要工具. 本节给出点到直线的距离公式的推导，要求学生理解其定义和计算方法，教师也可以根据实际情况，让学生利用点到直线的距离求两条平行线之间的距离. 下面给出相关例题.
例 求两条平行直线和之间的距离.
分析：根据点到直线距离的定义可以知道：两条平行直线中的一条直线上的每一点到另一条直线的距离都相等.
解 在直线上任取一点，例如取，则点到直线的距离就是两平行线间的距离.
因此
2. 点到直线Ax+By+C=0的距离为，应要求学生熟记.
课堂练习答案
1.
2. 4
习题8.5答案
1. (1) (2)8 (3)1
2. (1)11 (2) (3)8
3. (1)
8. 6 圆的方程
1. 圆可以看作平面内一点到一定点等于定长r的点的集合，由此列方程可得
变形后即为圆的标准方程，其中为圆心，为圆的半径.
2. 了解了圆的标准方程的来源，就很容易根据圆心和半径写出圆的方程.
3. 圆的标准方程展开后变成的二元二次方程，叫做圆的一般方程，要求学生根据圆的一般方程求出圆的圆心、半径.
将圆的一般方程配方后得
①当＞0，其表示以为圆心，为半径的圆；
②当=0，其表示点；
③当＜0，方程无实数解，所以不表示任何图形.
故要表示圆的方程的条件为＞0.
4. 由于方程和都含有3个参变数，因而必须具备3个独立条件，才能确定一个圆. 通常用待定系数法，确定常数a、b、r或D、E、F，然后再写出圆的方程. 学生已经学过待定系数法，在例题的讲解中一般不会有什么困难，但要再次向学生指出它是一种常用的数学方法，不仅可以用来确定圆的方程，还可以用来确定其他一些曲线的方程和解决有关问题.
5. 对于圆的一般方程，要求学生能够通过配方，理解在什么情况下，它的轨迹是一个圆，圆心的坐标是什么，半径是什么，在什么情况下，它的轨迹是点或无轨迹. 这里注意不要让学生死记结果，而是要求学生掌握通过配方求圆心和半径的方法.
课堂练习8.6.1答案
1. 3
2. (0，1)
3. (x+2)2+y2=1，图略
课堂练习8.6.2答案
1. (1)(－10，0)，10
(2)(－2，3)，
(3)(－2，4)，
2.
习题8.6答案
1.
2. (1) 点(0，0)
(2) 表示以点(1，-2)为圆心，为半径的圆
3. (1) 设圆心为
由｜AC｜=｜BC｜得
x0=2，则圆心为(2，4)
半径
∴圆方程为
(2)设圆方程为，将三个点的坐标分别代入得
解得
∴
4.
8.7 直线与圆的位置关系
1. 教材通过让学生回忆初中知识，回忆直线与圆的3种位置关系，引出如何去判断这3种关系的问题.
2. 判断直线与圆的位置关系，有很多种方法. 有一种方法是利用将直线方程和圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线与圆的位置关系.这种方法，理论上讲是很简单的，但是实际操作起来，运算过程很麻烦. 教材中通过利用圆心到直线的距离与半径的关系进行讨论，相对比较简单，应要求学生熟练掌握.
3. 在做本节中的相关习题时，总会遇到求“点到直线的距离”的问题. 因此，在讲解本节内容时，教师应带领学生回忆点到直线的距离公式.
课堂练习答案
(1) 相切
(2) 相交
(3) 相交
习题8.7答案
1. (1) 相交 (2) 相切 (3) 相离
2.
8.8 直线的方程与圆的方程应用举例
1. 直线的方程与圆的方程在实际生活中有着广泛的应用.
2. 教材通过一道例题来说明如何利用直线和圆的方程解决实际问题. 教材中提到的用坐标法解决平面几何问题的步骤，应使学生理解.
课堂练习答案
习题8.8答案
不得超过3.60米
Ⅳ 复习题8答案
A组
1. (1) －1 (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) 1 (8) (－1，2)
2. (1)A (2) A (3) B (4) B
3. 略
4. AB中点D（2，5），则AB边上中线
BC中点E（1，6），则BC边上中线
AC中点F（－1，3），则AC边上中线
5.，在纵轴上的截距b=2(图略)
6.
7. (1, 1)
8. 相交
9. 圆心坐标为(0，4)，半径为2
10.
B组
1.
2. 3.86m
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第9章 立体几何
第9章 立体几何
Ⅰ 教学要求
1. 了解平面的定义.
2. 理解平面的基本性质及推论.
3. 掌握空间两条直线的三种位置关系；理解异面直线判定定理、平行直线公理4及等角定理的内容.
4. 理解异面直线所成角的概念.
5. 了解直线与平面在空间中的三种位置关系.
6. 理解并掌握直线与平面平行的性质定理和判定定理.
7. 理解并掌握直线与平面垂直的性质定理和判定定理.
8. 了解直线与平面所成的角的概念及相关定理.
9. 了解平面与平面的位置关系.
10. 理解两个平面平行的性质定理及两个判定定理.
11. 理解二面角的概念.
12. 掌握平面与平面垂直的性质定理及判定定理.
13. 了解常见的几何体的相关性质，会进行有关面积、体积的计算.
14. 体会几何的美，数学的美，培养学生审美情趣，提高学生学习数学的兴趣.
Ⅱ 教材分析
本章内容介绍
立体几何是在学习平面几何知识的基础上，进一步研究空间中点、线、面关系的学科，而空间中的直线和平面是立体几何基础理论知识的主要内容，是学好立体几何的关键. 本章教学要采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象的教学原则，教师应提供丰富的实物模拟或利用计算机软件呈现空间几何体，并注意引导学生通过实验（亲身做一做、观察等）引出所学知识（概念和定理等），在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问题，提高学生的学习兴趣.
本章分为五部分：第一部分介绍平面及其性质，其中给出的三条公理，即平面的基本性质及推论，奠定了立体几何的理论基础；第二部分介绍了空间两条直线的位置关系，其中空间两条平行直线的性质，是平面几何中关于平行直线知识的拓展.其中异面直线是一种全新的位置关系，对其描述可借助平面几何中角和距离概念；第三部分研究直线与平面的位置关系，此部分要理解和掌握直线与平面平行与垂直的性质定理和判定定理；第四部分介绍了空间中两个平面的位置关系，要求学生掌握两个平面平行的性质与判定定理；两个平面垂直的性质与判定定理.当两个平面相交时，引出二面角这一概念；本章最后一部分介绍了几种简单几何体，即棱柱，棱锥，圆柱、圆锥和球.对于其表面积、全面积和体积的计算，要求学生掌握，在实际生活中可能会用到.
学好本章的关键是：要密切联系生活实际，利用长方体等教具，理解重要概念和掌握重要结论；逐渐学会如何分析问题，逐渐学会逻辑推理；逐步适应用向量的知识进行计算或证明；多画草图，从图中受到启发，培养空间想像能力.
本章教学重点
1. 平面的基本性质.
2. 确定平面的方法.
3. 异面直线的概念和两条异面直线所成角的概念.
4. 直线和平面平行、垂直的性质定理和判定定理.
5. 直线和平面所成角的概念.
6. 两个平面平行、垂直的性质定理和判定定理.
7. 二面角及其平面角的概念.
8. 柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算.
本章教学难点
1. 两条异面直线所成角的概念.
2. 二面角的平面角的概念.
3. 两个平面垂直的性质定理和判定定理.
本章学时安排如下（仅供参考）
9.1 平面的基本性质 约1学时
9.2 空间两条直线的位置关系 约2学时
9.3 空间直线与平面的位置关系 约3学时
9.4 空间平面与平面的位置关系 约3学时
9.5 棱柱、棱锥与棱台 约2学时
9.6 圆柱、圆锥与圆台 约1学时
9.7 球 约1学时
本章小结与复习 约1学时
Ⅲ 教学建议和习题答案
9.1 平面的基本性质
1. 平面是空间图形的最基本元素，往往学生理解的“平面”是不准确的.此处一定要强调平面是平坦而且可以无限延展，它把空间分成若干部分.平面的表示方法很简单，一般用希腊字母α、β、γ来命名，也可以用平行四边形的四个顶点或两个相对的顶点字母来命名，但一定要使学生明白，这个平行四边形并不是平面，只是平面的一部分.
2. 平面基本性质的三个公理是不需任何论证的真理，它是一切推理论证的基础，教学中除了要大量引入实例外，还要充分重视直观模型的作用.
3. 公理1是借助于直线与平面的关系来描述平面的基本性质.如果直线上所有的点都在某一平面内，那么就称直线在这个平面内或说平面经过这条直线，但直线上有无数个点，所以要判定一条直线在某一个平面内几乎是不可能的，而公理1为我们提供了一条捷径，只要直线上有两个点在一个平面内，就可以说直线在这个平面内.
4. 公理2是判定两个平面相交的重要依据，只要两平面有一个公共交点，就可判定这两个平面相交.
5. 公理3是确定平面的条件，不共线的三点决定一个平面.由公理3可直接得到推论1，推论2和推论3的证明.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
证明： 如图9-1所示，设B∈a，C∈a，则点A，B，C确定一个平面 (公理3）.因为直线a在平面内，点A在平面内.即过一条直线和直线外的一点有一个平面（存在性）.
图9-1
如果过直线a和点A还有一个平面，则点A，B，C必在平面内，根据公理3，平面与平面应该重合.即过一条直线和直线外一点只有一个平面（惟一性）.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
证明：如图9-2所示，设a∩b=A，B∈a，C∈b，则不在一条直线上的三点A，B，C确定一个平面(公理3).因为a，b上分别有两个点在平面内，所以直线a，b都在平面内.即过两条相交直线有一个平面(存在性).
图9-2
如果过a，b还有一个平面，则A，B，C三点必在平面内，根据公理3，过不在一直线上的三点有且只有一个平面，所以平面与平面应该重合.即过两条相交直线只有一个平面(惟一性).
推论3 两条平行直线确定一个平面.
证明：如图9-3所示，根据平行线的定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线.因为a∥b，所以过a，b有一个平面 (存在性).
图9-3
如果过a，b还有一个平面，那么在直线a上的任意一点A，必在平面内.这样有两个平面和过点A和直线b，这和推论1相矛盾，所以平面与平面应当重合.即过两条平行直线只有一个平面(惟一性).
6. 本节最后把空间看成点集，把点看成空间的基本元素，把平面、直线看成空间的子集，并说明可借用集合的符号和语言表达它们之间的关系. 尽管把空间看作点的集合，是非常抽象的数学模型，但学生的理解常常停留在直观的层面上，是通过有形的点，有形的平面和直线去理解抽象的点、平面和直线，所以在立体几何中使用几何语言和符号，一般不会发生困难. 语言“点A在直线l上”、“点A属于直线l”与符号A∈l是同义的，它们之间没有什么不同. 开始教学时，可多使用语言叙述，少使用符号，以加深学生对概念的理解，但在书写时要逐步增加符号的使用量，以使学生熟悉符号，了解符号的意义，并知道使用符号表达清晰、简捷的优点.
7. 本节定理和推论较多，建议学生以总结的形式记忆.
课堂练习答案
1. (1) 正确；(2) 不正确；(3) 正确；(4) 正确.
2．(1) (2) (3)
习题9.1答案
1. 略
2. 经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面.
3. 假如有其中三个点共线，则这条直线与第四个点必在同一个平面内. 从而这四点共面与已知条件矛盾.
4. 因为梯形的上、下底所在的直线平行，从而这两条平行直线确定一个平面. 于是梯形的两腰分别有两个点在平面内. 即梯形的四个顶点共面.
5. 不一定，可能异面.
6. 梯形一定是平面图形，证明如第4题所述，菱形也是平面图形.
9.2 空间两条直线的位置关系
1. 本节将两条直线的位置关系由平行与相交扩展到空间，提出异面直线的概念，即两条直线没有公共点，也不同在任何一个平面内，这需要学生具有很好的空间想象能力，教学时可通过引入实例，在直观的模型下来让学生了解异面直线.异面直线是立体几何中的重要概念之一，也是本节的难点.教师可多举一些正误判断类的题目来加深学生的理解.画异面直线要借助一个或两个辅助平面.异面直线判定定理是判断两条直线是否是异面直线的依据，虽然可以不要求证明，也要理解并会应用.
2. 教学时，要强调异面直线夹角的存在性和学习的必要性. 异面直线夹角的范围是0~90°，不含0°.通过课本中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角的概念.
两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况. 应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面.
3. 平行直线在平面几何中已经见过，但此处要补充公理4，平行于同一条直线的两条直线平行.等角定理也有很广的应用，同时，通过图形让学生了解空间四边形的特点.
4. 平面内相交的直线有“形成的夹角”这一概念.在空间中，异面直线虽不能相交，但为了表示其位置关系，给出了两条异面直线所成的角，此处需要用到等角定理.求异面直线的夹角的过程如下：
（1）已知异面直线a、b;
（2）在空间中任取一点O，过点O作直线∥a，∥b，把异面直线的夹角变成平面相交直线的夹角.
（3）一般规定异面直线所成的角不大于直角.为了简便，通常把点O取在其中一条直线上.
5. 由于异面直线比较抽象，初学时，学生可以用笔、尺等代替直线以帮助形成空间图形.
课堂练习9.2.1答案
1. 略
2.（1）平行 （2）垂直相交 （3）异面 （4）异面 （5）异面
课堂练习9.2.2答案
1. 1条
2. 互补
3. 根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可说明.
课堂练习9.2.3答案
1. (1)45° (2)60° (3)60°
2. 两条直线互相垂直，它们不一定相交.
习题9.2答案
1. (1)× (2)√ (3)× (4)×
2. 正确，根据公理4.
3. 是，由题意可得，EH、FG、EF、HG均为中位线，又因为AC=BD，可知EF=FG=HG=EH.
9.3 空间直线与平面的位置关系
1. 直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无穷个公共点;
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点;
（3）直线和平面平行——无公共点.
2. 直线与平面平行的判定及性质定理的理解和应用是本节的重点之一，用反证法证明判定定理如下，供教师参考，不需对学生讲解：
已知：a在平面外，b在平面内，a∥b
求证：a∥.
证明：如图9-4所示.
图9-4
假设直线a与平面交于点A，那么点A在平面内，.
又因为a∥b，
所以a，b确定平面，从而
直线a，直线b均在平面内
因为 直线b在平面内，
所以 b是与的交线.
所以 点A在直线b上.
于是直线a和直线b交于点A.这与a∥b矛盾.
所以直线a和平面交于点A不可能，因此a∥.
3. 直线与平面垂直是由实例引入的，如果由定义证明直线垂直于平面是很难的，所以直线与平面垂直的判定定理显得尤为重要，其证明如下：
已知：直线m，n在平面内，m，n交于点O
求证：l⊥.
证明：设g是平面内的任意一条直线.要证明l⊥，根据定义，就是要证l⊥g.
先证明l，g都通过点O的情况(见图9-5).
图9-5
在直线l上点O的两边分别取点A，，使AO=O.那么直线m，n都是线段AA′的垂直平分线.如果能证明直线g也是线段AA′的垂直平分线，就得到l⊥g.
当g与m或n重合时，根据已知l⊥m，l⊥n，可知l⊥g成立.当g与m，n都不重合时，在内做一直线与m，n，g分别相交于P，Q，R.连结AP，A′P，AQ，A′Q，AR，A′R，则
AP=P，AR=R.
∴△APR≌△PR.
∴∠APQ=∠PQ.
∴△APQ≌△PQ.
∴AQ=Q.
所以g是A的垂直平分线.
∴ l⊥g.
如果l，g中有一条或两条不经过点O，那么过点O可引l，g的平行直线.由于过点O的这样两条直线所成的角就是直线l与g所成的角，同理可证得这两条直线互相垂直，即l⊥g.
综上所述l⊥.
以上证明，仅供教师参考，不需要给学生讲解.
4. 当直线与平面斜交时，引入了斜线段和射影的概念，要求学生知道什么是点到平面的距离，直线到平面的距离，以及直线与平面所成角的概念，这也是衡量直线与平面位置关系的参数，学生要学会相关计算.
5. 三垂线定理及其逆定理是空间垂直关系的精确概括，是研究空间垂直关系的重要定理. 这两个定理教材中没有提到，教师可作为补充内容.
6. 直线与平面垂直的位置关系，涉及到直线与直线垂直的知识；直线与平面平行的位置关系，涉及到直线与直线平行的知识.学习本节内容时，要适当复习一下上一节所学内容.这也体现了知识间的紧密性、连接性.
课堂练习9.3.1答案
(1) AB在平面AC内
(2) 线段A1B1∥平面AC
(3) 相交
课堂练习9.3.2答案
1. 是平行的.因为CD∥AB，AB在桌面所在的平面内，根据直线和平面平行的判定定理可知.
2. (1) × (2) ×
课堂练习9.3.3答案
1. (1) 1 (2) 相交
2. 是. 因为一个圆的两条直径为相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理可证.
3. 由勾股定理的逆定理可知AB⊥BC，AB⊥BD，所以AB⊥地面
4. ∵BA⊥AC
又PA⊥
∴PA⊥AC
∴AC⊥平面PAB
故AC⊥PB.
课堂练习9.3.4答案
1. (1) ［0°，90°］，平行或直线在平面内；垂直；斜交
(2) 无数
2. 直线AB1与平面AC所成角为45°，
直线C1D与平面AC所成角为45°，
直线BD1与平面AC所成角为.
习题9.3答案
1. (1) 平面CDD1C1，平面A1B1C1D1
(2) 平行，因为B1D1∥BD
2. 平面EG∥BD，AC∥平面EG，BD与AC是异面直线.
3. a∥c， b∥c
4. 平行
5. EA=cm， EB=cm， ED=13cm
6. (1) arctan (2) 8.6cm
9.4 空间平面与平面的位置关系
1. 平面与平面的位置关系有平行和相交两种.两个平行平面的性质定理中，一定要注意若两个平面平行，那么一个平面中的任一条直线都平行于另一个平面，但是不能说这条直线平行于另一个平面的任何一条直线，它们也有可能是异面直线.两个平面平行的两个判定定理很有用.判定定理1中一定要强调是相交直线，如果一个平面内两条平行直线与另一平面平行，并不能说这两个平面平行.
2. 两个平面相交时所成的角叫二面角，二面角的平面角是一个重要的概念，它把立体图形转化为平面图形.当二面角为直角时，则称这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的性质及判定定理要使学生深刻理解，其可以用前面所学的内容证明，教师可让学生自己证明.
3. 当两个平面垂直时，其中一个平面内的一条直线若垂直于交线，则这条直线就垂直于另一个平面.这又将面面垂直转化为直线和平面垂直，继续让学生感受知识间的相关性.
课堂练习9.4.1答案
1.略
2. (1) 1
(2) 1
课堂练习9.4.2答案
1. 略
2. (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
3. (1) 平行
(2) cm
课堂练习9.4.3答案
1. (1) ∠D1DB，90°;∠ADB，45°
(2) xOz，zOy；zOy，xOy; xOz，xOy.
2. 根据平面与平面垂直的判定定理分析.
3. 155°，因为二面角与∠BAC互补.
4. AC⊥DE
∵AB⊥l，⊥
∴AB⊥
∴AB⊥DE
又BC⊥DE
∴DE⊥平面ABC
∴DE⊥AC
习题9.4答案
1. 平行
∵∠1+∠2=180°
∴A1B1∥AB
又∠3+∠4=180°
∴B1C1∥BC
∴平面ABC∥平面A1B1C1
2. 平行，因为BD∥B1D1，所以BD∥平面AB1D1，又因为C1D∥AB1，所以C1D∥平面AB1D1，BD与C1D交于点D，所以平面AB1D1与平面C1DB平行.
3. 相等.
4. (1) cm
(2) a
5. m
9.5 棱柱、棱锥与棱台
1. 在日常生活中，我们常见到各种形状不同的物体.若只考虑它们的形状和大小，它们都是几何体.通过举例让学生了解面、棱、顶点，对角线等概念.
2. 本节的重点为棱柱、棱锥的面积与体积的计算.教材中，没有这些计算公式的推导过程，教师要求学生记住即可，不必给予证明.教师可适当举一些生活中的几何体，让学生运用公式去计算，培养学生把数学应用到生活中的意识.
3. 我们把棱柱看成是一个多边形与它在由向量确定的平移下的像围成的几何体,运用这一看法可以立即得出棱柱的下列性质:
(1) 两个底面是全等的多边形;
(2) 平行于底面的截面与底面是全等的多边形;
(3) 侧棱都相等;
(4) 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
4. 正棱柱是底面为正多边形的直棱柱.
5. 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
6. 我们用平移和错切(它们都不改变图形的面积和体积)求出了棱柱的体积公式.这一方法比较直观、易懂.
7. 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,则称这个棱锥是正棱锥.
8. 棱台的面积与体积的相关计算，教材中没有讲解，也不要求学生掌握.
课堂练习9.5.1答案
1. 长与宽分别为8与6.
2.
3. (1)
4.
课堂练习9.5.2答案
1.
2. 15
3.
习题9.5答案
1.
2.
3. 15cm
4. 1056m3
9.6 圆柱、圆锥与圆台
1. 把圆柱，圆锥，圆台统一用旋转体的观点讲述.
2. 圆柱、圆锥的两条性质，课本没有证明. 教学时，适当根据定义以及线、面平行、垂直性质，进行简单说理. 例如，性质1：设平行于底面的截面与轴相交于点C，在截线上任取一点P，说明CP为定值. 性质2可根据定义直接推出.
3. 在研究几何体的性质时，我们常常通过研究它们的特殊截面的性质，来揭示几何体的性质. 在解圆柱、圆锥的有关问题时，常常把问题转化为研究它们的两组特殊截面：轴截面、平行于底面的截面的性质.
4. 圆柱、圆锥侧面只研究它们的展开图. 圆柱的侧面展开图与侧面积计算公式比较简单，学生可自己推出. 圆锥的侧面展开图与侧面积涉及到扇形的有关概念和面积计算，建议教学时先复习扇形的有关知识，然后由学生自己研究它们的侧面积的计算公式.
5. 圆柱、圆锥之间的关系与正棱柱、正棱锥的关系相类似.
课堂练习答案
1. 24
2.
习题9.6答案
1. 200cm2
2. 2000πcm2
3. 1:27
4.
5. 上、下底面半径分别为
9.7 球
1. 球面上两点间的球面距离是指经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧(指不超过半圆的弧)的长度.
2. 公式是基本的,应熟练掌握.
3. 讲授球的定义时，要强调它也是一种旋转体. 也可先启发学生回答它是由什么平面图形旋转而来的，它的旋转轴是什么，然后出示模型演示.
4. 讲授球的定义后，可从轨迹的角度介绍球面的定义.
要强调球面和球的区别，球面仅仅指球的表面，球是几何体，不仅包括球面，也包括球面所包围的空间.
5. “用一个平面去截一个球，截面是圆面”这一点很重要.
球的截面的两个性质是教学的重点，要注意：
(1) 用一个平面从不同位置去截一个球，得到的截面都是圆. 当球心到截面距离时，截面是大圆，当时，截面是小圆.
(2) 对球的截面是圆，可按教材的讲法进行适当的说理. 从说理过程，很自然就可直接推出球的半径、截面半径与球心到截面距离三者之间的关系.
课堂练习答案
1. 9cm.
2.
习题9.7答案
1. 8倍.
2.
3.
4. 6670km.
Ⅳ 复习题9答案
A组
1. (1) (2) (3) (4)
2. 略.
3. PA与BC是异面直线;PB与AC是异面直线;PC与AB是异面直线.
4. 连接BD,交AC于O,连接EO.
因为E为DD1中点,O为BD中点,所以
在△D1DB中,EO
平面ACE.
因此∥平面ACE.
5. 提示：证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面.
6. 略.
7. 提示:
所以二面角
8.
9. 高为
10. (1) 提示:在正方体中,由三垂线定理得.
又
因此对角线
(2) 因为平面,所以
由两平面垂直的判定定理知.
平面.
B组
1. (1) 因为
所以
则有
又
所以
则
(2) 由(1)知
由
所以
即二面角的大小为
(3) 过
在△
即异两直线
2. (1) 正方体
所以
(2) 过角
在正方形
即
(3) 由
又由(2)知AE
又
所以
又
因此平面
(4) S△
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第10章 概率与统计初步
第10章 概率与统计初步
Ⅰ 教学要求
1. 掌握分类、分步计数原理.
2. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，会计算一些等可能事件的概率.
3. 了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
4. 了解直方图与频率分布.
5. 理解总体、样本的概念，了解抽样方法.
6. 理解用样本均值估计总体均值，用样本标准差估计总体标准差.
7. 了解一元线性回归.
Ⅱ 教材分析
本章内容介绍
本章的主要内容是概率和统计. 在现实世界中，随机现象是广泛存在的. 概率与统计是从数量这一侧面研究随机现象规律的学科. 概率论是用数学观点研究随机现象的基本性质；统计是利用搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特征. 本世纪以来，由于生产和科学技术的飞速发展，概率与统计在工农业生产和科学技术中都获得了越来越广泛的应用，成为研究自然现象，处理工程乃至公众事业问题的有力工具. 在现代社会中，虽然还不能确切地预报未来，然而学习本章知识有利于更好地处理各种不确定因素，这对中等职业学校学生毕业后参加工作或进一步学习都有很大帮助.
本章第1节介绍了两种计数原理. 第2~3节介绍随机事件的概率及相关性质. 首先通过一些简单具体的随机现象进行分析，引入了必然事件、不可能事件和随机事件的概念，由分析事件发生的频率的定义与事件发生可能性（概率）的关系，介绍了一般的随机事件，并引入概率的统计定义，用例题介绍了统计概率的应用，接着通过“投掷硬币”和“掷骰子”引出古典概率，并介绍了古典概率的应用. 紧接着研究了互斥事件和概率的加法公式，相互独立事件与概率的乘法公式. 第4节主要介绍了频率分布直方图的画法. 第5~6节介绍的是数理统计的一些初步知识. 数理统计是一门研究随机现象统计规律性的科学. 它以概率论为基础，利用试验或观察到的数据，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和推断. 教材首先联系学生初中学习的统计初步知识，进一步研究了总体和样本的有关概念；接着介绍了用样本均值、标准差估计总体均值、标准差. 第7节简单地介绍了一元线性回归的原理. 回归分析是研究变量之间相互关系的一种重要的数理统计方法，也是一种应用很广泛的数量分析法.
本章教学中需要注意的问题：
(1) 要注意区分样本及样本观测值. 例如，对总体，抽取个个体，，…，构成一个容量为的样本(，，…)的一组数值.
(2) 在画频率直方图时，注意纵轴表示频率与组距的比值，而不是频率.
(3) 总体数字特征的估计，用估计总体均值，用来估计总体标准差，而不是用来估计总体标准差.
(4) 本章的统计计算比较复杂，应学会用计算器来计算.
本章教学重点
1. 事件的概率的定义，以及运用古典概率公式计算等可能事件的概率.
2. 概率的加法公式.
3. 绘制频率分布直方图.
4. 总体与样本的概念.
5. 用样本均值、标准差估计总体均值、总体标准差.
本章教学难点
1. 绘制频率分布直方图.
2. 样本均值、样本标准差的计算.
本章学时安排如下（仅供参考）
10.1 分类、分步计数原理 约2学时
10.2 随机事件和概率 约3学时
10.3 互斥事件与相互独立事件的概率 约2学时
10.4 直方图与频率分布 约1学时
10.5 样本和抽样方法 约2学时
10.6 用样本均值、标准差估计总体均值、标准差 约3学时
10.7 一元线性回归 约1学时
本章小结与复习 约2学时
Ⅲ 教学建议和习题答案
10.1 分类、分步计数原理
1. 分类计数原理：完成一件事，完成它有n类办法：在第1类办法中有种不同的方法；在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法. 那么完成这件事共有种不同的方法.
2. 分步计数原理：完成一件事，完成它有n个步骤：做第1步有种不同的方法；做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法. 那么完成这件事共有种不同的方法.
3. 在解给定的具体问题时，弄清分类计数原理和分步计数原理的根本区别，确定是分类问题，还是分步问题是非常关键的．要做到准确无误，需要对两个原理有全面深刻的认识．
如果完成一件事有几类方法，这几类方法彼此之间是互相独立的，不论用哪一类方法中的哪一种，都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就应用分类计数原理；如果完成一件事要分成几个步骤，各步骤都是不可缺的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种方法，求完成这件事的方法种数，就应用分步计数原理．
需要注意的是：
(1)“做一件事，完成它有n类方法”，这是对能够完成这件事所有方法的分类．分类时，首先要根据这件事的特点确定一个分类的标准，然后在所确定的分类标准下进行分类；其次，分类要满足如下要求：完成这件事的任何一种方法必须包含于某一类之中，且仅包含于该类之中．只有满足这些条件，才能应用分类计数原理．
(2) “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是指完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤．分步时，首先要根据这件事的特点确定一个分步的标准；其次，分步要满足如下要求：完成这件事必须且只需连续完成这n个步骤．只有满足这些条件，才能运用分步计数原理.
4. 讲解例题时要紧扣基本原理. 解这些例题的目的，重点放在加深对基本原理的理解上.
教材中的例1、例2、例3均是分类、分步计数原理的简单应用. 这些例题都是单独应用分类计数原理或分步计数原理就可以解决的问题. 对这类问题要给予高度的重视，学生只有熟练掌握了这类问题，才能进一步解决较复杂的问题.
课堂练习答案
1. 11
2. (1) 12 (2) 60
习题10.1答案
1. 60
2. 42
3. 16,10
4. (1)36 (2)16
10.2 随机事件和概率
1. 为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察，观察的过程称为试验. 概率论里所研究的试验具有以下特点：
(1) 在相同的条件下试验可以重复进行；
(2) 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；
(3) 在每次试验之前不能确定该次试验出现哪一种结果.
在概率论中，将试验的结果称为事件.
2. 在一定的条件下必然要发生的事件叫做必然事件，记作；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件，记作；在一定的条件下随机试验的结果，叫做随机事件. 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性.
3. 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.
4. 记随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有
于是可得：
很显然，必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0.
5. 在实际计算中，即使在重复试验次数n充分大时，频率通常也只能作为概率的近似值，即.
6. 若随机试验模型满足以下两个条件：
(1) 基本事件的总数是有限的；
(2) 每一个基本事件发生的可能性是相等的.
则称此随机试验模型为古典概率.
7. 若基本事件的总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A的概率为. 在利用古典概率讲题时，应重点分析清楚公式中的基本事件总数n、事件A包含的基本事件数m的确定方法.
课堂练习10.2.1答案
1. (1) 必然事件 (2) 随机事件 (3) 不可能事件 (4)必然事件
2. (1) 0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91 (2) 0.9
课堂练习10.2.2答案
习题10.2答案
1. (1) 0.52，0.51，0.52，0.52 (2) 0.52
2. (1) 0.90 (2) 0.64
3. (1) 0.06 (2) 0.04
10.3 互斥事件与相互独立事件的概率
1. 不可能同时发生的事件叫做互斥事件. 如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么则称彼此互斥. 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.
2. 两个事件其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件通常记作. 从集合的角度看，由事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即：P(A+B)=P(A)+P(B)
4. 如果事件彼此互斥，那么事件发生(即中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即互斥事件的概率的加法公式为：P()=P()+P()+…P()
5. 对立事件的概率的和等于1，即，于是则有
6. 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
7. 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
8. 在同一试验下来考虑事件，如果事件相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即相互独立事件的概率的乘法公式为：
9. 本节教学的难点是如何正确地把应用题中“至少……”、至多……”等分解成易求(或已知)其概率的几个事件的和，特别是正确理解与它们意义相同的另外的说法．如向3座互相毗邻的敌军火库发射1枚炮弹．只要射中其中任何l座，这3座军火库就会因连续爆炸而被摧毁．不少学生不能把“3座军火库被摧毁分解成“第一座被摧毁”、“第二座被摧毁”、“第三座被摧毁”三个事件的和. 建议利用学生对“或”字的理解，引导他们先把“至多”“至少”转化为用“或”字连接的几种情况，再用事件的并来解决问题．并提醒学生注意不要遗漏．
10. 两个事件A、B相互独立与互斥是两个不同的概念．前者指两个事件之一是否发生对另一方的概率没有影响. 而后者是指两个事件不可能同时发生．判断两个事件是否互斥. 只考虑它们是否会同时发生，丝毫不涉及它们发生的概率的大小；判断两个事件是否相互独立，就一定要考虑其中一个事件发生对另一个事件发生的概率是否有大小变化的影响．这两个概念虽然没有明显的联系，但在某些条件下，两者也有一定的关系. 例如，当时，如果A、B互斥，则A、B一定不相互独立．事实上有
∵ ∴
∵ ∴
∴
在教学中，可以安排一些鉴别“互斥”与“相互独立”的练习题，使学生通过对比，更好地区别这两个概念.
课堂练习10.3.1答案
1. (1) 0.82 (2) 0.38 (3) 0.24
2. 0.58
课堂练习10.3.2答案
不是相互独立的
习题10.3答案
1. (1) 0.52 (2) 0.29
2. 0.83
3. (1) 0.0001，0.0005，0.001 (2) 0.0016
4.
5. 0.96*0.97=0.9312
6. (1) 0.12 (2) 0.42 (3) 0.58
10.4直方图与频率分布
1. 极差 在一组数据中最大值和最小值的差叫做极差.
2. 组距 组距是指一个小组的两个端点之间的距离.
3. 组数 例如，＝＝，要将数据分成8组.
4. 频数和频率
用选举时唱票的方法，对落在各个小组内的数据的个数进行累计，我们就可以得到落在各个小组内的数据的个数，这个个数叫做各个小组的频数. 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率.
5. 频率分布直方图
在直角坐标系中，以横轴表示身高，纵轴表示频率与组距的比值，画出一系列矩形，矩形以组距为底，以频率与组距之比为高，这就是频率分布直方图.
在统计工作和质量管理中，直方图是一种常用的工具．以频率为高的直方图叫做频率直方图．本节使用频率直方图是因为
于是每一个小矩形的面积恰好等于随机变量落在这个区间的频率，从而便于导出连续型随机变量的概率分布的概念．
存经济管理中使用频数直方图较多，主要原因是在统计数据和作图中使用它比较方便．
在质量管理工作中，通常以质量特征值为横坐标，以频数为纵坐标作直方图，从直方图的形状可以观察出质量特征值的分布状态，从而判断生产过程是否正常，是否稳定．若有异常状态，可根据直方图的形状分析原因，采取措施．
正常的直方图是左右基本对称的，呈中间高，两边低的山峰形状，它一般表示生产过程处于稳定状态.
生产过程若出现异常、不稳定状态，则直方图可能出现各种不正常形状.
课堂练习答案
根据所给数据，列出频率分布表：
分组 频数(m) 频率 累积频率
16.95~17.05 3 0.050 0.050
17.05~17.15 4 0.067 0.117
17.15~17.25 6 0.100 0.217
17.25~17.35 9 0.150 0.367
17.35~17.45 14 0.233 0.600
17.45~17.55 10 0.166 0.766
17.55~17.65 7 0.117 0.883
17.65~17.75 4 0.067 0.950
17.75~17.85 3 0.050 1.000
合计 60 1
在直角坐标系中，以横轴表示长度，纵轴表示频率与组距的比值，画出频率分布直方图：
根据频率分布表，得到累积频率分布图：
习题10.4答案
略
10.5 样本和抽样方法
1. 本节的教学基本要求是会判断总体、个体、样本、样本的容量，会用样本抽样的3种常用方法进行抽样.
2. 在讲解总体、个体、样本、样本的容量时，一定要把它们的内涵及其关系阐述清楚，并举出一些例子加以说明. 总体、个体、样本三者之间的关系是，所有的个体构成了总体，样本取自于总体，因此，样本是总体的一部分，没有个体就没有总体.
3. 用样本的数量特征去估计总体的数量特征是统计的重要思想方法. 在教学中要向学生指出为什么要从总体中抽取样本. 在统计学中，采用抽取样本，用样本的情况去估计总体的情况的原因有两点：
(1) 在很多情况下总体包含的个体数目往往很多，甚至无限，不可能一一考察；
(2) 有些试验带有破坏性.
4. 简单随机抽样、等距抽样、分层抽样是3种常用的抽样方法. 这3种抽样方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性. 其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在等距抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法. 当总体中的个数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个数较多时，常采用分层抽样. 采用不同的方法抽样后，用样本的特性估计总体的准确程度是不同的. 所以应当根据总体情况，适当选择相应的抽样方法，以提高估计总体的特性的准确程度.
课堂练习10.5.1答案
1. 总体指这批零件的直径；个体指每个零件的直径；样本指这25个零件的直径；样本容量是25.
2. 样本容量为3，是小样本.
3. 略
课堂练习10.5.2答案
1. 这10个数据是一个简单随机样本.
2. 略
3. 略
4. 略
习题10.5答案
1. 一般地，把考察对象的全体叫做总体；每一个考察对象叫做个体；从总体中抽出的一部分个体，叫做总体的一个样本；个体的数目叫做样本容量.
一般情况下，总体的量比较大，研究起来有很大的难度，也没有必要，因此，选取具有代表性的样本，通过样本研究总体.
2. 总体是指该学校2005年新生的上网时间；个体是指该学校2005年每个新生的上网时间；样本是指被抽出的20名学生的上网时间；样本容量为20.
3. 采取等距抽样. 将总体(320人)的每一个个体作编号. 在1~16之间取一个随机数字，然后每隔16固定一个，那么被抽到的20个号码，就组成了总体的一个样本.
4. 每名学生被抽到的可能性为5%，高一、高二、高三分别抽取15人，20人，10人.
5. 大型商店、中型商店和小型商店分别抽取2家，4家和15家.
10.6 用样本均值、标准差估计总体均值、标准差
1. 本节主要是讨论用样本均值、标准差估计总体均值、标准差，它是根据样本的信息，对总体的特征做出推断，即统计推断. 统计推断是数理统计的主要内容，概率知识是推断的基础.
2. 均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度. 方差和标准差在比较两组数据波动大小时是等价的. 标准差的优点是其度量单位与原数据的度量单位一致，有时比较方便. 在教学中应向学生指出，样本方差越大，样本的波动就越大. 从一个总体中抽取的样本方差与总体方差有密切的联系. 总体方差可用样本方差来估计，样本容量越大，样本的方差就越接近总体方差，在统计学里常用样本方差来估计总体方差. 平均数、方差和标准差的计算工作量较大，一般采用计算器进行. 这个计算过程也是培养学生计算能力和耐心严谨作风的过程，必须要重视，要让学生动手.
3. 本教材定义的样本方差是
为什么要除以，而不是除以n，这是因为参加求和的n个离差，，…，，受约束条件制约，只有()个量可以自由变化. 它是总体的无偏估计量.
课堂练习答案
1. 该校学生的平均体重为46.7kg.
2. 此距离的均值约为2 808m，标准差约为32.66m.
习题10.6答案
1. 这批钉子的总体均值约为2.124cm，标准差约为17.13.
2. 该地区双职工年平均收入约为6 187元，标准差约为478.
3. 样本均值为13.41mm，样本标准差为0.076mm.
10.7 一元线性回归
1. 对未来事件的预测是经济管理、生产和经营等有关人员制定决策的重要依据，而要进行科学的预测，常常需要根据已知的变量和所要估计的变量之间的相互关系来进行分析，然后才能做出准确可靠的决策. 回归分析和相关分析，可以确定变量之间存在的某种关系，从而可以在某种精度下，用来预测未知变量的值.
回归一词是英国科学家高乐顿（Golton, 1822—1911）于1877年第一次当作统计概念加以应用的. 高乐顿做了一项研究，他统计了大量父母身高对子女身高的关系，其结果表明，高身材父母所生儿童的身高会降到人的平均身高，因而，他选用了Regression（回归）一词，统计学家采用它来描述根据已知变量预测另一变量的方法.
2. 一元线性回归分析和相关分析，是建立在两个变量之间的关系或联系的基础上的. 已知变量叫做独立变量，所要预测的变量是一个随机变量，叫做相关变量.
在回归分析中相关变量只能有一个，但独立变量却可以多于一个. 多个独立变量的回归问题叫做多元回归. 一般来说，增加独立变量可以提高预测的精确度，但计算过程较繁，本教材仅介绍最基本、最常用的一元线性回归.
3. 本教材仅研究两个变量呈现线性关系的情况，为确定两个变量之间是否存在线性关系，第一步是做出散点图. 根据散点图可以直观地看出变量之间相互关系的模式，如果近似地呈现某种线性关系，就可以采用最小二乘法求出回归方程. 如果变量之间不呈现线性关系，而呈现某种其他的曲线关系，就需要采用某种曲线或某种估计公式，去推算这种关系，但这已不属本教材的研究范围. 有时两个变量之间不呈现任何关系，那么根据这种类型的变量资料，就不能预测另一变量的变化趋向.
4. 如果从散点图看出，两个变量之间存在某种线性关系，就可以用最小二乘法求出两个变量之间的数学公式，即回归方程. 计算回归方程的系数a，b比较繁，容易产生计算错误. 如果条件允许，可以先教会学生使用带有统计计算功能的计算器，直接求出等数据，甚至有些计算器还可直接求出系数a，b，可以减少许多不必要的计算. 但在计算开始时也要训练学生按照本节教材例题中所画的表格，列表计算，掌握基本方法是十分必要的. 列表计算，可以使计算过程明确清晰，同时也便于检查.
课堂练习答案
提示：先求回归方程的系数和，进而确定回归方程.
习题10.7答案
提示：先求回归方程的系数和，进而确定回归方程.
Ⅳ 复习题10答案
A组
1. 30，216
2. 0.9
3. 0.1
4.
5. 0.496
6. (1) 略 (2) 略 (3) 略
7. 76
8. 略
B组
1.
2. 1391，28.32
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- 73 -数学（基础模块）下册教学参考书
目 录
目 录
第6章 数列 1
Ⅰ 教学要求 1
Ⅱ 教材分析 1
Ⅲ 教学建议和习题答案 3
6.1 数列的概念 3
6.2 等差数列 5
6.3 等比数列 7
6.4 数列的实际应用举例 9
Ⅳ 复习题6答案 10
第7章 平面向量（矢量） 12
Ⅰ 教学要求 12
Ⅱ 教材分析 12
Ⅲ 教学建议和习题答案 14
7.1 平面向量的概念 14
7.2 平面向量的运算 15
7.3 平面向量的坐标表示 21
7.4 平面向量的内积 25
Ⅳ 复习题7答案 29
第8章 直线和圆的方程 31
Ⅰ 教学要求 31
Ⅱ 教材分析 31
Ⅲ 教学建议和习题答案 33
8.1 两点间距离公式及中点公式 33
8.2 直线的点斜式和斜截式方程 34
8.3 直线的一般式方程 36
8.4 两条直线的位置关系 38
8.5 点到直线的距离 40
8.6 圆的方程 41
8.7 直线与圆的位置关系 43
8.8 直线的方程与圆的方程应用举例 44
Ⅳ 复习题8答案 44
第9章 立体几何 46
Ⅰ 教学要求 46
Ⅱ 教材分析 46
Ⅲ 教学建议和习题答案 48
9.1 平面的基本性质 48
9.2 空间两条直线的位置关系 51
9.3 空间直线与平面的位置关系 53
9.4 空间平面与平面的位置关系 56
9.5 棱柱、棱锥与棱台 58
9.6 圆柱、圆锥与圆台 60
9.7 球 61
Ⅳ 复习题9答案 62
第10章 概率与统计初步 66
Ⅰ 教学要求 66
Ⅱ 教材分析 66
Ⅲ 教学建议和习题答案 68
10.1 分类、分步计数原理 68
10.2 随机事件和概率 69
10.3 互斥事件与相互独立事件的概率 71
10.4 直方图与频率分布 73
10.5 样本和抽样方法 76
10.6 用样本均值、标准差估计总体均值、标准差 77
10.7 一元线性回归 78
Ⅳ 复习题10答案 80
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