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01 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 直线的倾斜角与斜率
（1）定义：
（2）范围： 直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
知识链接02 直线的斜率
条件 公式
直线的倾斜角α，且α≠90° k＝tan_α
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝
直线Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝－
注意：①如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；
如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
②直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
α 0 0＜α＜ ＜α＜π
k 0 k＞0 不存在 k＜0
知识链接03 直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点 且 与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 直线的倾斜角与斜率
（1）直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是________．
（2）直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．
（3）直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
（4）直线l过点P(－1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
典例剖析02 直线的方程
（1）直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为________________．
（2）若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为____________．
（3）经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为_______．
（4）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，
则ABC的边BC上的高所在的直线方程为________________；
ABC的边BC上的高所在的直线方程为________________；
ABC的的平分线所在的直线方程为________________．
典例剖析03 直线方程的综合应用
（1）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
（2）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
（3）当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为________．
（4）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
3．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
4．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为________________．
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
6．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为________________．
8．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ·(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
9．经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________．
10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．
11．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.　
12．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为____________．
13．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列选项正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求的最值．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
01 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 直线的倾斜角与斜率
（1）定义：
（2）范围： 直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
知识链接02 直线的斜率
条件 公式
直线的倾斜角α，且α≠90° k＝tan_α
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝
直线Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝－
注意：①如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；
如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
②直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
α 0 0＜α＜ ＜α＜π
k 0 k＞0 不存在 k＜0
知识链接03 直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点 且 与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 直线的倾斜角与斜率
（1）直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是________．
（2）直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．
（3）直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
（4）直线l过点P(－1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
【答案】（1） （2）∪ （2）(－∞，－ ]∪[1，＋∞) （2）
典例剖析02 直线的方程
（1）直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为________________．
（2）若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为____________．
（3）经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为_______．
（4）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，
则ABC的边BC上的高所在的直线方程为________________；
ABC的边BC上的高所在的直线方程为________________；
ABC的的平分线所在的直线方程为________________．
【答案】（1）x±3y＋4＝0 （2）x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
（3）x－y＋1＝0或x＋y－7＝0 （4）x－y＋2＝0 x－3y＋4＝0 （－1）x－y＋＝0
典例剖析03 直线方程的综合应用
（1）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
（2）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
（3）当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为________．
（4）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0【解析】（1）x＋2y－4＝0 （2） x＋y－3＝0
（3）直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1,0)．由解得y＝，
所以两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为×1×＝，
又k＋≥2 ＝2(当且仅当k＝时取等号)，故三角形面积的最大值为.
（4）由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，四边形的面积最小．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
【答案】m＝1.
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
【答案】4
3．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
【答案】[－，0)∪
4．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为________________．
【答案】3x＋4y－14＝0.
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
【答案】B　
6．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C　
7．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为________________．
【答案】y＝x＋2.
8．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ·(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【答案】BD　
对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；
对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；
对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；
对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．
9．经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________．
【答案】x－4y＝0或x＋y－5＝0
10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．
【解析】设C(x0，y0)，则M，N.
所以由题意知＝0即x0＝－5； ＝0即以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.
11．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.　
【解析】如图，设正方形的对角线的倾斜角为α，则tan α＝2，
则正方形的两个邻边的倾斜角分别为α＋，α－，
所以tan＝＝＝－3，tan＝＝＝，
所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为－3，. 答案：－3　
12．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为____________．
【解析】因为直线l平分平行四边形ABCD的面积，所以直线l过平行四边形对角线BD的中点(3,2)，又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝x.
13．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列选项正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
【解析】BCD　
根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；
当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·＝≥1，所以D正确．
14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求的最值．
【解析】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，
则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，
连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.
易得A(1,1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，
所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.

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