资源简介

02 两直线的位置关系
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 两条直线的位置关系
（1）两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，
则有l1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
（2）两条直线的交点
知识链接02 三种距离
类型 条件 距离公式
两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝
点到直线的距离 点P0(x0，y0)到l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
两平行线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离 d＝
知识链接03 两个充要条件 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
（1）l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
（2）l1∥l2或重合 A1B2－A2B1＝0.
知识链接04 直线系方程
（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)；
（3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
知识链接05 四类常用的对称关系
（1）点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)；
（2）点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，
关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
（3）点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，
关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；
（4）点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，
关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 两条直线的位置关系
（1）已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0．
若l1⊥l2，则a＝________．
（2）设直线l1：2x－my－1＝0与l2：(m－1)x－y＋1＝0平行，则m＝________．
（3）已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，
则n＝________．
（4）与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程是________．
（5）经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程是________．
（6）经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
典例剖析02 两条直线的交点与距离问题
（1）若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n＝________．
（2）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
（3）点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为________．
（4）若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
（5）求过P(2，－1)点且与原点距离为2的直线l的方程是________________．
（6）求过P(2，－1)点且与原点距离最大的直线l的方程是________________，且最大距离是________．
（7）如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
典例剖析03 对称问题
（1）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
①点A关于直线l的对称点A′的坐标；
②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
③直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
（2）已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
（3）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于______________．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝________．
2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m＝________．
3．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则m的值可以为(　　)
A． B．－ C．－ D．
4．如果平面直角坐标系内的点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么l的方程为________．
5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
6．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝______；
若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
7．点P(2,5)关于x＋y＝1的对称点的坐标为________．
8．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．
9．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到
直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
.
11．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
12．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别
为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC
的面积的最小值为________．
13．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
14．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
（1）l1与l2相交于点P(m，－1)；
（2）l1∥l2；
（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
02 两直线的位置关系
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 两条直线的位置关系
（1）两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，
则有l1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
（2）两条直线的交点
知识链接02 三种距离
类型 条件 距离公式
两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝
点到直线的距离 点P0(x0，y0)到l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
两平行线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离 d＝
知识链接03 两个充要条件 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
（1）l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
（2）l1∥l2或重合 A1B2－A2B1＝0.
知识链接04 直线系方程
（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)；
（3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
知识链接05 四类常用的对称关系
（1）点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)；
（2）点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，
关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
（3）点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，
关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；
（4）点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，
关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 两条直线的位置关系
（1）已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0．
若l1⊥l2，则a＝________．
（2）设直线l1：2x－my－1＝0与l2：(m－1)x－y＋1＝0平行，则m＝________．
（3）已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，
则n＝________．
（4）与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程是________．
（5）经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程是________．
（6）经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【答案】（1）或－1 （2）2 （3）7
（4）3x＋4y－11＝0 （5）x－2y＝0 （6）4x＋3y－6＝0
典例剖析02 两条直线的交点与距离问题
（1）若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n＝________．
（2）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
（3）点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为________．
（4）若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
（5）求过P(2，－1)点且与原点距离为2的直线l的方程是________________．
（6）求过P(2，－1)点且与原点距离最大的直线l的方程是________________，且最大距离是________．
（7）如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
【答案】（1）－2 （2） （3） （4）－9
（5）x＝2或3x－4y－10＝0 （6）2x－y－5＝0
（7）与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.
又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－.
∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
典例剖析03 对称问题
（1）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
①点A关于直线l的对称点A′的坐标；
②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
③直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
【解析】（1）①设A′(x，y)，再得∴A′(－，)．
②在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则解得M′(，)．
设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
③设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
（2）已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
【解析】（2）设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，所以解得
即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
（3）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于______________．
【解析】（3）建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，
故直线BC的方程为x＋y＝4，
△ABC的重心为，设P(a,0)，其中0则点P关于直线BC的对称点P1(x，y)，满足解得
即P1(4,4－a)，易得P关于y轴的对称点P2(－a,0)，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k＝＝，故直线QR的方程为y＝(x＋a)，
由于直线QR过△ABC的重心(，)，代入化简可得3a2－4a＝0，
解得a＝，或a＝0(舍去)，故P，故AP＝.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝________．
【答案】a＝0或a＝－3
2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m＝________．
【答案】－7
3．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则m的值可以为(　　)
A． B．－ C．－ D．
【答案】ABC　
4．如果平面直角坐标系内的点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么l的方程为________．
【答案】x－y＋1＝0
5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
【解析】C　设P(x,5－3x)，则d＝＝，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
6．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝______；
若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
【答案】－1　 1 　2
7．点P(2,5)关于x＋y＝1的对称点的坐标为________．
【答案】(－4，－1)
8．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．
【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1
9．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
【答案】2
10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到
直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
【解析】A 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对
称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.
11．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.【答案】
12．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别
为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC
的面积的最小值为________．
【解析】 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
设B(a，－2)，C(b,3)．∵AC⊥AB，
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·＝·＝
≥＝6.
13．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【解析】 如图，易知定点A(0,0)，B(1,3)，且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10
(P在以AB为直径的圆上)．所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．答案：5
14．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
（1）l1与l2相交于点P(m，－1)；
（2）l1∥l2；
（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
【解析】（1）由题意得解得
即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．
（2）∵l1∥l2，∴解得或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
（3）当且仅当2m＋8m＝0，即m＝0时，l1⊥l2. 又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
【解析】　依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.

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