高二数学人教A版(2019)选择性必修一 同步复习讲义 03 圆的方程

资源下载
  1. 二一教育资源

高二数学人教A版(2019)选择性必修一 同步复习讲义 03 圆的方程

资源简介

03 圆的方程
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 圆的定义和圆的方程
(1)
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.
当D2+E2-4F=0时,此方程表示一个点;
当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形.
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为:
(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(4)求圆的方程的2种方法:
几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程
待定系数法 ①根据题意,选择标准方程与一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程
知识链接02 点与圆的位置关系
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 圆的方程
(1)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为______________.
(2)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是为______________.
(3)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________.
(4)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为___.
(5)若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆,则a的值为_______.
(6)已知圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程为___________________.
典例剖析02 与圆有关的最值问题
(1)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
①的最大值和最小值;
②y-x的最小值;
③x2+y2的最大值和最小值.
(2)已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是_________.
(3)设点P(x,y)是圆:(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则的最大值为________.
(4)设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________.
典例剖析03 与圆有关的轨迹问题
(1)已知A(-1,0),B(1,0),C为平面内的一动点,且满足|AC|=|BC|,则点C的轨迹方程为______________.
(2)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
①求线段AP中点的轨迹方程;
②若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
(3)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为______________.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1.“a=1”是“方程x2+y2-2x+2y+a=0表示圆”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是_______.
3.点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25内弦AB的中点,则AB的方程为______________________.
4.若方程x2+y2-2x+2my+2m2-6m+9=0表示圆,则m的取值范围是________;当半径最大时,圆的方程为______________________.
5.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为____________.
6.(多选)设圆A:x2+y2-2x-3=0,则下列选项正确的是(  )
A.圆A的半径为2
B.圆A截y轴所得的弦长为2
C.圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为1
D.圆A与圆B:x2+y2-8x-8y+23=0相离
7.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是________.
8.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,
则+的最小值为___________.
9.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是__________________.
10.已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),则圆C的方程是___________.
11.已知点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是_____.
12.若x2+y2=8,则2x+y的最大值为(  )
13.(多选)已知圆C过点M(1,-2)且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是(  )
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点(2,-1)在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4
14.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家,“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:若动点P与两定点M,N的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹就是圆,事实上,互换该定理中的部分题设和结论,命题依然成立.已知点M(2,0),点P为圆O:x2+y2=16上的点,若存在x轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P均有|PM|=λ|PN|,则λ=(  )
A.1 B. C. D.
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
03 圆的方程
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 圆的定义和圆的方程
(1)
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.
当D2+E2-4F=0时,此方程表示一个点;
当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形.
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为:
(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(4)求圆的方程的2种方法:
几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程
待定系数法 ①根据题意,选择标准方程与一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程
知识链接02 点与圆的位置关系
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 圆的方程
(1)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为______________.
(2)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是为______________.
(3)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________.
(4)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为___.
(5)若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆,则a的值为_______.
(6)已知圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程为___________________.
【答案】(1)4,-6,-3 (2)x2+(y-2)2=1 (3)(x-2)2+y2=10
(4) (5)7 (6)2+2=
典例剖析02 与圆有关的最值问题
(1)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
①的最大值和最小值;
②y-x的最小值;
③x2+y2的最大值和最小值.
(2)已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是_________.
(3)设点P(x,y)是圆:(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则的最大值为________.
(4)设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________.
【解析】(1)①如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.
设=k,即y=kx,
则由=,解得k2=3,∴kmax=,kmin=-.
②设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,截距b取最小值,由点到直线的距离公式,得=,即b=-2±,故(y-x)min=-2-.
③x2+y2是圆上点与原点的距离的平方,故连接OC,与圆交于B,并延长交圆于C′,
则(x2+y2)max=|OC′|2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4.
(2)易知圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),P(t,t)在直线y=x上,A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0),则
|PN|-|PM|≤-=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.
(3)由题意,知=(-x,2-y),=(-x,-2-y),所以+=(-2x,-2y),由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4,故y2=-(x-3)2+4,所以= =2.由圆的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,所以当x=5时,的值最大,最大值为2=10. 答案:10
(4)由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程x2+(y-3)2=1,易知2≤y≤4,所以当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12. 答案: 12
典例剖析03 与圆有关的轨迹问题
(1)已知A(-1,0),B(1,0),C为平面内的一动点,且满足|AC|=|BC|,则点C的轨迹方程为______________.
(2)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
①求线段AP中点的轨迹方程;
②若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
(3)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为______________.
【解析】(1)x2+y2-6x+1=0
(2)①设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知点P坐标为(2x-2,2y).
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
②设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
(3)如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=. 从而.
N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1.“a=1”是“方程x2+y2-2x+2y+a=0表示圆”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是_______.
【答案】 -13.点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25内弦AB的中点,则AB的方程为______________________.
【答案】 x-y-3=0
4.若方程x2+y2-2x+2my+2m2-6m+9=0表示圆,则m的取值范围是________;当半径最大时,圆的方程为______________________.
【答案】 25.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为____________.
【答案】 x2+(y-1)2=1
6.(多选)设圆A:x2+y2-2x-3=0,则下列选项正确的是(  )
A.圆A的半径为2
B.圆A截y轴所得的弦长为2
C.圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为1
D.圆A与圆B:x2+y2-8x-8y+23=0相离
【答案】 ABC 
7.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是________.
【答案】 (-∞,1)
8.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,
则+的最小值为___________.
【答案】 3+2
9.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是__________________.
【答案】 (x-2)2+2=
10.已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),则圆C的方程是___________.
【答案】 (x-3)2+(y-5)2=37
11.已知点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是_____.
【答案】 3-
12.若x2+y2=8,则2x+y的最大值为(  )
【答案】 2
13.(多选)已知圆C过点M(1,-2)且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是(  )
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点(2,-1)在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4
【答案】 ACD 
14.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家,“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:若动点P与两定点M,N的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹就是圆,事实上,互换该定理中的部分题设和结论,命题依然成立.已知点M(2,0),点P为圆O:x2+y2=16上的点,若存在x轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P均有|PM|=λ|PN|,则λ=(  )
A.1 B. C. D.
【答案】 如图所示,由于圆上的任意一点P均有|PM|=λ|PN|,
所以A,B两点也满足该关系式.A(-4,0),B(4,0),M(2,0),N(t,0),
λ====,解得t=8,λ=,故选B.

展开更多......

收起↑

资源预览