资源简介

04 直线与圆、圆与圆的位置关系
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 直线与圆的位置关系
相离 相切 相交
图形
代数法 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何法 d＞r d＝r d＜r
知识链接02 圆与圆的位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
图形
几何法： 圆心距d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
代数法： 联立两圆方程组成方程组的解的情况 无解 一组 实数解 两组不同的实数解 一组 实数解 无解
知识链接03 常用结论
1．两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
2．圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
（2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
3．直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋2．
4．两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，
即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．
5．圆系方程
（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ（Ax＋By＋C）＝0．
（2）经过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆为：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1 ＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（不包含C2）．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 直线与圆的位置关系
（1）直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相切，则m＝________．
（2）直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
（3）若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)(　　)
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
（4）若过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
（5）已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
①试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
②求直线l被圆C截得的最短弦长．
典例剖析02 圆的切线问题
（1）已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
①与直线l1：x＋y－4＝0平行的圆的切线方程____________________；
②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直的圆的切线方程___________________；
③过切点A(4，－1) 的圆的切线方程____________________________．
（2）过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________．
（3）已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点
A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝__________．
典例剖析03 圆的弦长问题
（1）设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为____________________________．
（2）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是________．
（3）过点(1,2)的直线被圆x2＋y2－6x＝0所截得的弦的长度的最小值为________．
（4）已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞1)与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝________．
典例剖析04 圆与圆的位置关系
（1）圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为________．
（2）已知圆O1：(x－m)2＋(y－2)2＝4与圆O2：(x＋2)2＋(y＋2m)2＝9有3条公切线，则m＝________．
（3）已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．
（4）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．
（5）已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为___________________．
（6）如图，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心在直线l：y＝2x－4上．
①若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
②若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于________．
3．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
4．若直线：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝________．
5．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
6．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)内切，则ab的最大值为________．
7．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为(　　)
8．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______．
9．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．
10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为___________________．
11．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是______________．
12．已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝时，·等于______．
13．已知P是函数f(x)＝x2图象上的一点，过P作圆x2＋y2－4y＋3＝0的两条切线，切点分别为A，B，则·的最小值为__________．
14．(多选)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直线l：y＝kx. 则下列选项中正确的是(　　)
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
15．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
（1）求圆C的方程；
（2）过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
04 直线与圆、圆与圆的位置关系
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 直线与圆的位置关系
相离 相切 相交
图形
代数法 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何法 d＞r d＝r d＜r
知识链接02 圆与圆的位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
图形
几何法： 圆心距d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
代数法： 联立两圆方程组成方程组的解的情况 无解 一组 实数解 两组不同的实数解 一组 实数解 无解
知识链接03 常用结论
1．两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
2．圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
（2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
3．直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋2．
4．两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，
即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．
5．圆系方程
（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ（Ax＋By＋C）＝0．
（2）经过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆为：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1 ＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（不包含C2）．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 直线与圆的位置关系
（1）直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相切，则m＝________．
（2）直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
（3）若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)(　　)
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
（4）若过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
（5）已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
①试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
②求直线l被圆C截得的最短弦长．
【答案】（1）m＝15或m＝－5 （2） （3）B （4） （5）①略 ②2．
典例剖析02 圆的切线问题
（1）已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
①与直线l1：x＋y－4＝0平行的圆的切线方程____________________；
②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直的圆的切线方程___________________；
③过切点A(4，－1) 的圆的切线方程____________________________．
（2）过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________．
（3）已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点
A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝__________．
【答案】（1）①x＋y＋1±2＝0 ②2x＋y±5＝0 ③3x＋y－11＝0
（2）x＝2或4x－3y＋4＝0
（3）4
典例剖析03 圆的弦长问题
（1）设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为____________________________．
（2）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是________．
（3）过点(1,2)的直线被圆x2＋y2－6x＝0所截得的弦的长度的最小值为________．
（4）已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞1)与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝________．
【答案】（1）3x＋4y－12＝0或x＝0 （2）－ （3）2 （4）2
典例剖析04 圆与圆的位置关系
（1）圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为________．
（2）已知圆O1：(x－m)2＋(y－2)2＝4与圆O2：(x＋2)2＋(y＋2m)2＝9有3条公切线，则m＝________．
（3）已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．
（4）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．
【答案】（1）内切 （2）1或－ （3）x－2y＋4＝0
（4）根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.
因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．
因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
（5）已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为___________________．
【答案】（5）由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，①得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．
如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，
欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，
即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，
所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，
此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.
由得所以P(－1,0)．
易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋2＝2，
即x2＋y2－y－1＝0，　②
由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
（6）如图，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心在直线l：y＝2x－4上．
①若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
②若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】（6）①由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，
于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
②因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以＝2 ，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．
【答案】 4
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于________．
【答案】 9
3．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
【答案】 0或6
4．若直线：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝________．
【答案】 1
5．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
【答案】 x＋y－3＝0
6．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)内切，则ab的最大值为________．
【答案】 2
7．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为(　　)
【答案】 2
8．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______．
【答案】 2x＋y－3＝0
9．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．
【答案】 3
10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为___________________．
【解析】 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，
所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0. 圆心O1到直线AB的距离d＝，
由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.
11．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是______________．
【解析】
12．已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝时，·等于______．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝，
从而·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－1－＋b2＝－1＝1.
13．已知P是函数f(x)＝x2图象上的一点，过P作圆x2＋y2－4y＋3＝0的两条切线，切点分别为A，B，则·的最小值为__________．
【解析】 圆x2＋y2－4y＋3＝0可化为x2＋(y－2)2＝1.设点P(x，y)，则y＝x2.
设圆x2＋y2－4y＋3＝0的圆心为C，则C(0,2)，如图，连接PC，AC，
则|PA|2＝|PC|2－1＝y＋y2－4y＋4－1＝y2－3y＋3.
设∠CPA＝∠CPB＝θ，则∠APB＝2θ.
sin2θ＝＝，cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
设t＝y2－3y＋4＝2＋≥，则·＝||2cos 2θ＝(t－1)·＝t＋－3.
由对勾函数的性质知，函数y＝t＋－3在上单调递增，
所以·的最小值为＋－3＝－．
14．(多选)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直线l：y＝kx. 则下列选项中正确的是(　　)
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
【解析】选AC　
圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过原点O(0,0)，所以A正确；
圆心M(－cos θ，sin θ)到直线l的距离为d，d＝＝|sin(θ＋φ)|≤1，
∴对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以选项C正确，选项B不正确；
圆上的点到直线l距离最大值为d＋1≤2，所以选项D不正确．故选A、C．
15．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
【解析】选A　计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，
故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
（1）求圆C的方程；
（2）过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设圆心C(a,0). 则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
（2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，即＋＝0，
则＋＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
亦即－＋2t＝0，解得t＝4，
所以当点N坐标为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立，即x轴平分∠ANB.

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