资源简介

05 椭 圆
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 F1，F2为椭圆的焦点；|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a>|F1F2|
注 意：若a>c，则动点M的轨迹为椭圆；
若a＝c，则动点M的轨迹为线段F1F2；
若a知识链接02 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
知识链接03 点P(x0，y0)和椭圆的关系
（1）点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1．
（2）点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1．
（3）点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
知识链接04 常用结论
（1）若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则：
①b≤|OP|≤a； ②a－c≤|PF|≤a＋c．
（2）AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
（3）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，
则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①△PF1F2的周长为2(a＋c)；
②S＝b2tan＝c|y0|，
当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 椭圆的定义及应用
（1）平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
（2）若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是____________．
（3）已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
（4）设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是________．
（5）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________．
（6）设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________．
（7）若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
（8）若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
典例剖析02 椭圆的标准方程
（1）若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
（2）椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于________．
（3）椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，
则m＝________．
（4）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，
则C的方程是________．
（5）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为________．
（6）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________________．
（7）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且过两点P1(，1)、P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
（8）已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，
若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是________．
（9）过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____．
（10）已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________．
典例剖析03 椭圆的几何性质
（1）曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)
A．长轴长相等　 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
（2）椭圆C：＋＝1的点到焦点距离的最大、最小值分别为________．
（3）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
（4）已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是________．
（5）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
（6）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
（7）设M是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
（8）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
典例剖析04 直线与椭圆的位置关系
（1）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（ⅰ）有两个不重合的公共点； （ⅱ）有且只有一个公共点．
（2）斜率为的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．
（3）过椭圆E：＋＝1的左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点．若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
（4）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________．
（5）已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________．
（6）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为________．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为_________．
　　　　　　　
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是_________．
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_________．
4．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
5．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝_________．
6．已知直线l：y＝k(x－1)与C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝____．
7．一个中心为原点，焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是______________．
8．直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率是_________．
9．椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使
＝，则椭圆的离心率的取值范围为______．
11．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
12．已知点A(0,2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________．
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
14．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
15．已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
05 椭 圆
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 F1，F2为椭圆的焦点；|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a>|F1F2|
注 意：若a>c，则动点M的轨迹为椭圆；
若a＝c，则动点M的轨迹为线段F1F2；
若a知识链接02 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
知识链接03 点P(x0，y0)和椭圆的关系
（1）点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1．
（2）点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1．
（3）点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
知识链接04 常用结论
（1）若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则：
①b≤|OP|≤a； ②a－c≤|PF|≤a＋c．
（2）AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
（3）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，
则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①△PF1F2的周长为2(a＋c)；
②S＝b2tan＝c|y0|，
当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 椭圆的定义及应用
（1）平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
（2）若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是____________．
（3）已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
（4）设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是________．
（5）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________．
（6）设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________．
（7）若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
（8）若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
【答案】（1）线段F1F2 （2）＋＝1 （3）B （4）4
（5）5 （6） （7）7 （8）
典例剖析02 椭圆的标准方程
（1）若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
（2）椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于________．
（3）椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，
则m＝________．
（4）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，
则C的方程是________．
（5）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为________．
（6）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________________．
（7）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且过两点P1(，1)、P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
（8）已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，
若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是________．
（9）过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____．
（10）已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________．
【答案】（1）(3,4)∪(4,5) （2）4或8 （3） （4）＋＝1 （5）＋＝1
（6）＋y2＝1或＋＝1 （7）＋＝1
（8）＋＝1 （9）＋＝1 （10）＋＝1
典例剖析03 椭圆的几何性质
（1）曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)
A．长轴长相等　 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
（2）椭圆C：＋＝1的点到焦点距离的最大、最小值分别为________．
（3）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
（4）已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是________．
（5）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
（6）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
（7）设M是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
（8）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】（1）D　（2）3,1　（3）－1 （4）8 （5）6 （6） （7） （8）
【解析】（8）取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.
因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，
所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤. 又0＜e＜1，故≤e＜1．
典例剖析04 直线与椭圆的位置关系
（1）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（ⅰ）有两个不重合的公共点； （ⅱ）有且只有一个公共点．
（2）斜率为的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．
（3）过椭圆E：＋＝1的左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点．若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
（4）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________．
（5）已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________．
（6）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为________．
【解析】（1）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
（ⅰ）当Δ>0，即－3（ⅱ）当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
（2）y＝x± （3） （4） （5）x＋9y－5＝0 （6）6x－5y－28＝0.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为_________．
【答案】 相交　　　　　　　
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是_________．
【答案】 (1,3)∪(3，＋∞)
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_________．
【答案】
4．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
【答案】 ACD　
5．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝_________．
【答案】 12
6．已知直线l：y＝k(x－1)与C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝____．
【答案】 ±
7．一个中心为原点，焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是______________．
【答案】 ＋＝1
8．直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率是_________．
【答案】 －1
9．椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
【答案】 －1
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使
＝，则椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】依题意及正弦定理，得＝(注意到P不与F1F2共线)，即＝，
∴－1＝，∴＝＋1>，即e＋1>，∴(e＋1)2>2.
又0答案　　(2)(－1,1)
11．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
【答案】 (－，)
12．已知点A(0,2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________．
【答案】
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
【解析】（1）由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴(－)2＋()2＝1，∴m＝±.
14．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
【解析】（1）根据c＝及题设知M(c，)，＝，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.
（2）由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
15．已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．
【解析】由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以设A(x1y1)，B(x2，y2)，由题意，得Δ＝－2b2＋2＋＞0.①
将线段AB中点代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②
由①②得m＜－或m＞.
故实数m的取值范围为∪.

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