高二数学人教A版(2019)选择性必修一 同步复习讲义 05 椭圆

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高二数学人教A版(2019)选择性必修一 同步复习讲义 05 椭圆

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05 椭 圆
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2 M点的轨迹为椭圆 F1,F2为椭圆的焦点;|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|+|MF2|=2a
2a>|F1F2|
注 意:若a>c,则动点M的轨迹为椭圆;
若a=c,则动点M的轨迹为线段F1F2;
若a知识链接02 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
图形
性质 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴  对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|=2c
离心率 e=∈(0,1)
a,b,c的关系 c2=a2-b2
知识链接03 点P(x0,y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内 +<1.
(2)点P(x0,y0)在椭圆上 +=1.
(3)点P(x0,y0)在椭圆外 +>1.
知识链接04 常用结论
(1)若点P在椭圆上,F为椭圆的一个焦点,则:
①b≤|OP|≤a; ②a-c≤|PF|≤a+c.
(2)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则直线AB的斜率kAB=-.
(3)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,
则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①△PF1F2的周长为2(a+c);
②S=b2tan=c|y0|,
当|y0|=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc;
③当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大.
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 椭圆的定义及应用
(1)平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是________.
(2)若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是____________.
(3)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(  )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(4)设椭圆C:+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是________.
(5)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|=________.
(6)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为________.
(7)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF1F2的面积为________.
(8)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为________.
典例剖析02 椭圆的标准方程
(1)若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
(2)椭圆+=1的焦距为4,则m等于________.
(3)椭圆+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,
则m=________.
(4)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,
则C的方程是________.
(5)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点,则椭圆方程为________.
(6)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为________________.
(7)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且过两点P1(,1)、P2(-,-),则椭圆的方程为________.
(8)已知椭圆的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,
若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是________.
(9)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____.
(10)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_________.
典例剖析03 椭圆的几何性质
(1)曲线+=1与曲线+=1(k<9)的(  )
A.长轴长相等  B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
(2)椭圆C:+=1的点到焦点距离的最大、最小值分别为________.
(3)已知椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.
(4)已知点F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点M是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是________.
(5)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.
(6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.
(7)设M是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,以M为圆心的圆与x轴相切,切点为椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于不同的两点P,Q,若△PMQ为等边三角形,则椭圆C的离心率为________.
(8)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=上存在一点P满足(+)·=0,则椭圆的离心率的取值范围为________.
典例剖析04 直线与椭圆的位置关系
(1)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(ⅰ)有两个不重合的公共点; (ⅱ)有且只有一个公共点.
(2)斜率为的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.若|AB|=,求直线l的方程.
(3)过椭圆E:+=1的左焦点F1的直线交椭圆于A,B两点.若直线AB的斜率为,求△ABF2的面积.
(4)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是________.
(5)已知椭圆:+y2=1,过点P的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为________.
(6)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点.如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,则直线l的方程为________.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为_________.
       
2.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是_________.
3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为_________.
4.(多选)设椭圆+=1的右焦点为F,直线y=m(0A.|AF|+|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m=时,△ABF为直角三角形
D.当m=1时,△ABF的面积为
5.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=_________.
6.已知直线l:y=k(x-1)与C:+y2=1交于不同的两点A,B,AB中点横坐标为,则k=____.
7.一个中心为原点,焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是______________.
8.直线x-y+=0经过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于C点,若=2,则该椭圆的离心率是_________.
9.椭圆Г:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使
=,则椭圆的离心率的取值范围为______.
11.椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________.
12.已知点A(0,2)及椭圆+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值是________.
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.
14.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
15.已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称,求实数m的取值范围.
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
05 椭 圆
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2 M点的轨迹为椭圆 F1,F2为椭圆的焦点;|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|+|MF2|=2a
2a>|F1F2|
注 意:若a>c,则动点M的轨迹为椭圆;
若a=c,则动点M的轨迹为线段F1F2;
若a知识链接02 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
图形
性质 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴  对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|=2c
离心率 e=∈(0,1)
a,b,c的关系 c2=a2-b2
知识链接03 点P(x0,y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内 +<1.
(2)点P(x0,y0)在椭圆上 +=1.
(3)点P(x0,y0)在椭圆外 +>1.
知识链接04 常用结论
(1)若点P在椭圆上,F为椭圆的一个焦点,则:
①b≤|OP|≤a; ②a-c≤|PF|≤a+c.
(2)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则直线AB的斜率kAB=-.
(3)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,
则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①△PF1F2的周长为2(a+c);
②S=b2tan=c|y0|,
当|y0|=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc;
③当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大.
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 椭圆的定义及应用
(1)平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是________.
(2)若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是____________.
(3)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(  )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(4)设椭圆C:+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是________.
(5)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|=________.
(6)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为________.
(7)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF1F2的面积为________.
(8)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为________.
【答案】(1)线段F1F2 (2)+=1 (3)B (4)4
(5)5 (6) (7)7 (8)
典例剖析02 椭圆的标准方程
(1)若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
(2)椭圆+=1的焦距为4,则m等于________.
(3)椭圆+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,
则m=________.
(4)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,
则C的方程是________.
(5)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点,则椭圆方程为________.
(6)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为________________.
(7)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且过两点P1(,1)、P2(-,-),则椭圆的方程为________.
(8)已知椭圆的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,
若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是________.
(9)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____.
(10)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_________.
【答案】(1)(3,4)∪(4,5) (2)4或8 (3) (4)+=1 (5)+=1
(6)+y2=1或+=1 (7)+=1
(8)+=1 (9)+=1 (10)+=1
典例剖析03 椭圆的几何性质
(1)曲线+=1与曲线+=1(k<9)的(  )
A.长轴长相等  B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
(2)椭圆C:+=1的点到焦点距离的最大、最小值分别为________.
(3)已知椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.
(4)已知点F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点M是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是________.
(5)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.
(6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.
(7)设M是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,以M为圆心的圆与x轴相切,切点为椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于不同的两点P,Q,若△PMQ为等边三角形,则椭圆C的离心率为________.
(8)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=上存在一点P满足(+)·=0,则椭圆的离心率的取值范围为________.
【答案】(1)D (2)3,1 (3)-1 (4)8 (5)6 (6) (7) (8)
【解析】(8)取AP的中点Q,则=(+),所以(+)·=2·=0,
所以FQ⊥AP,所以△AFP为等腰三角形,即|FA|=|FP|,且|FA|==a.
因为点P在直线x=上,所以|FP|≥-c,即a≥-c,所以≥-1,
所以e2+e-1≥0,解得e≥或e≤. 又0<e<1,故≤e<1.
典例剖析04 直线与椭圆的位置关系
(1)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(ⅰ)有两个不重合的公共点; (ⅱ)有且只有一个公共点.
(2)斜率为的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.若|AB|=,求直线l的方程.
(3)过椭圆E:+=1的左焦点F1的直线交椭圆于A,B两点.若直线AB的斜率为,求△ABF2的面积.
(4)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是________.
(5)已知椭圆:+y2=1,过点P的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为________.
(6)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点.如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,则直线l的方程为________.
【解析】(1)将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(ⅰ)当Δ>0,即-3(ⅱ)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(2)y=x± (3) (4) (5)x+9y-5=0 (6)6x-5y-28=0.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为_________.
【答案】 相交       
2.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是_________.
【答案】 (1,3)∪(3,+∞)
3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为_________.
【答案】
4.(多选)设椭圆+=1的右焦点为F,直线y=m(0A.|AF|+|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m=时,△ABF为直角三角形
D.当m=1时,△ABF的面积为
【答案】 ACD 
5.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=_________.
【答案】 12
6.已知直线l:y=k(x-1)与C:+y2=1交于不同的两点A,B,AB中点横坐标为,则k=____.
【答案】 ±
7.一个中心为原点,焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是______________.
【答案】 +=1
8.直线x-y+=0经过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于C点,若=2,则该椭圆的离心率是_________.
【答案】 -1
9.椭圆Г:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
【答案】 -1
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使
=,则椭圆的离心率的取值范围为______.
【答案】依题意及正弦定理,得=(注意到P不与F1F2共线),即=,
∴-1=,∴=+1>,即e+1>,∴(e+1)2>2.
又0答案  (2)(-1,1)
11.椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________.
【答案】 (-,)
12.已知点A(0,2)及椭圆+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值是________.
【答案】
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.
【解析】(1)由题意,得解得∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,
Δ=96-8m2>0,∴-2∵x0==-,∴y0=x0+m=,
∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,∴(-)2+()2=1,∴m=±.
14.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
【解析】(1)根据c=及题设知M(c,),=,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).故C的离心率为.
(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
15.已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称,求实数m的取值范围.
【解析】由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.
由消去y,得x2-x+b2-1=0.
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,
所以设A(x1y1),B(x2,y2),由题意,得Δ=-2b2+2+>0.①
将线段AB中点代入直线方程y=mx+解得b=-.②
由①②得m<-或m>.
故实数m的取值范围为∪.

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