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06 双 曲 线
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 F1，F2为双曲线的焦点；|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
注 意：若2a＜|F1F2|，则动点M的轨迹为双曲线；
若2a＝|F1F2|，P点的轨迹是两条射线；
若2a＞|F1F2|，P点不存在．
知识链接02 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴．对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
渐近线 y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
知识链接03 点P(x0，y0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的关系
（1）点P(x0，y0)在双曲线内 －>1．
（2）点P(x0，y0)在双曲线上 －＝1．
（3）点P(x0，y0)在双曲线外 －<1．
知识链接04 常用结论
（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为b．
（2）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率等于．
（4）若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0) ．
（5）与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t (t≠0)．
（6）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a．
（7）AB为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝．
（8）焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 双曲线的定义及应用
（1）已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为________．
（2）已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
（3）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．
（4）设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为. P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________．
（5）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为－的直线与双曲线在第一象限的交点为A，且·＝0，若a＝－1，则F2的坐标为________．
（6）已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
典例剖析02 双曲线的标准方程
（1）已知方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
（2）设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为__．
（3）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
（4）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．
（5）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
（6）若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为___．
（7）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为_______．
（8）经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
（9）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
（10）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为________．
典例剖析03 双曲线的几何性质
（1）若实数k满足0A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
（2）若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为____．
（3）在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且双曲线C经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为________．
（4）已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
（5）以双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F为圆心，|OF|(O为坐标原点)为半径的圆与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为________．
（6）如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是______．
（7）过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为______．
（8）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为________．
（9）已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则y0的取值范围是________．
（10）已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝________．
（11）已知在平面直角坐标系xOy中，点F2为双曲线C：－y2＝1(a＞0)的右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为________．
典例剖析04 直线与双曲线的位置关系
（1）已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
（2）已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
（ⅰ）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（ⅱ）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
（3）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
（ⅰ）求双曲线C的方程；
（ⅱ）若l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（ⅲ）在（ⅱ）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为_________．
2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_________．
3．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A. 若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为_________．
4．已知点F是－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_______．
5．设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为____；渐近线方程为__．
6．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是(　　)
8．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
9．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
10．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．
12．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
13．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.
（1）求椭圆及双曲线的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．
14．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t (O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
（1）求C的离心率；
（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
06 双 曲 线
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 F1，F2为双曲线的焦点；|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
注 意：若2a＜|F1F2|，则动点M的轨迹为双曲线；
若2a＝|F1F2|，P点的轨迹是两条射线；
若2a＞|F1F2|，P点不存在．
知识链接02 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴．对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
渐近线 y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
知识链接03 点P(x0，y0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的关系
（1）点P(x0，y0)在双曲线内 －>1．
（2）点P(x0，y0)在双曲线上 －＝1．
（3）点P(x0，y0)在双曲线外 －<1．
知识链接04 常用结论
（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为b．
（2）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率等于．
（4）若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0) ．
（5）与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t (t≠0)．
（6）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a．
（7）AB为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝．
（8）焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 双曲线的定义及应用
（1）已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为________．
（2）已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
（3）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．
（4）设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为. P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________．
（5）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为－的直线与双曲线在第一象限的交点为A，且·＝0，若a＝－1，则F2的坐标为________．
（6）已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【答案】（1）－＝1(x>0) （2）6 （3）4
（4）1 （5） (2,0) （6）－＝1(x≥)
典例剖析02 双曲线的标准方程
（1）已知方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
（2）设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
（3）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
（4）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．
（5）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
（6）若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为________．
（7）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________．
（8）经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
（9）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
（10）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为________．
【答案】（1）(－∞，－5)∪(－2，＋∞) （2） （3）x2－＝1 （4）－＝1
（5） －＝1 （6）－y2＝1 （7）－＝1 （8）－＝1
（9）x2－＝1(x≤－1) （10）x2－＝1或－y2＝1
典例剖析03 双曲线的几何性质
（1）若实数k满足0A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
（2）若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为____．
（3）在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且双曲线C经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为________．
（4）已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
（5）以双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F为圆心，|OF|(O为坐标原点)为半径的圆与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为________．
（6）如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
（7）过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为______．
（8）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为________．
（9）已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则y0的取值范围是________．
（10）已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝________．
（11）已知在平面直角坐标系xOy中，点F2为双曲线C：－y2＝1(a＞0)的右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为________．
【答案】（1）A　 （2）y＝±x　 （3）4 （4）2 （5）x±y＝0 （6）
（7）2 （8）y＝±x （9） （10） （11）
典例剖析04 直线与双曲线的位置关系
（1）已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
【解析】（1）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．
（2）已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
（ⅰ）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（ⅱ）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解析】（2）（ⅰ）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∴解得－∴双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
（ⅱ）设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，
由（ⅰ）知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∴
当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(2)2，
即()2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又∵－（3）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
（ⅰ）求双曲线C的方程；
（ⅱ）若l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（ⅲ）在（ⅱ）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
【解析】（3）（ⅰ）设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴C的方程为－y2＝1.
（ⅱ）设A(xA，yA)、B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，得，(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得∴当（ⅲ）由（ⅱ）得：xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.
∴AB的中点P的坐标为(，)．
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为_________．
【答案】 y＝±x
2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_________．
【答案】
3．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A. 若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为_________．
【答案】 －＝1
4．已知点F是－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_______．
【答案】 (1,2)
5．设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】　－＝1　y＝±2x
6．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
【答案】　
7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是(　　)
【答案】 ＋1
8．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
【答案】 26
9．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
【答案】　44
10．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】　
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．
【解析】（1）∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.
（2）证明　∵点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．
（3）S△F1MF2＝×4×|m|＝6.
12．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
【解析】（1）－y2＝1.
（2）将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，∴>2，即>0，解得由①②得13．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.
（1）求椭圆及双曲线的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．
【解析】（1）椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
（2）由（1）得A(－5,0)，B(5,0)，|AB|＝10，
设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5,2y0)．
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得
消去y0，得2x－5x0－25＝0. 解之，得x0＝－或x0＝5(舍去)．∴y0＝.
由此可得M(－，)，∴P(－10,3)，直线PA的方程是y＝(x＋5)，
即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.
∴x＝－或－5(舍去)，∴xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．
∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15.
14．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t (O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
【解析】（1）－＝1.
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
所以解得所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．
15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
（1）求C的离心率；
（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
【解析】（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
在－＝1中，当BF⊥AF时，点B的横坐标为c，则B点的纵坐标为y＝±，
因|AF|＝|BF|，所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，
a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.
（2）由（1）知2a＝c，b2＝3a2，所以双曲线方程可化为－＝1.
如图，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，则kAB＝，kBF＝，
设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝＝
＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，
又因为0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.

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