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10 圆锥曲线的综合问题之最值、范围问题
◇ 知 识 链 接 ◇
圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。
知识链接01 几何转化代数法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．
知识链接02 函数取值法
当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)、常用方法有：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 利用题目中隐藏的已知参数的范围构建目标不等式解最值或范围问题
已知A是椭圆E：＋＝1(t>3)的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M
两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
典例剖析02 利用点在曲线内(外)的充要条件或判别式构建目标不等式解最值或范围问题
已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．
典例剖析03 利用已知条件中的几何关系构建目标不等式解最值或范围问题
设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程及离心率e的值；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
典例剖析04 构建函数模型解最值或范围问题
在平面直角坐标系中O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2.以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l.
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求·＋·的最大值．
3．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若＝3，求m2的取值范围．
4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
（2）若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
10 圆锥曲线的综合问题之最值、范围问题
◇ 知 识 链 接 ◇
圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。
知识链接01 几何转化代数法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．
知识链接02 函数取值法
当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)、常用方法有：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 利用题目中隐藏的已知参数的范围构建目标不等式解最值或范围问题
已知A是椭圆E：＋＝1(t>3)的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M
两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
【解析】（1）由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA，可得直线AM的斜率k为1.
因为t＝4，所以A(－2,0)，所以直线AM的方程为y＝x＋2，
代入椭圆方程＋＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－，
所以M，N，则△AMN的面积为××＝.
（2）由题意知t>3，k>0，A(－，0)，
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0，
设M(x1，y1)，则x1·(－)＝，即x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝.
由t>3，得>3，所以＝<0，即<0.
由此得或解得典例剖析02 利用点在曲线内(外)的充要条件或判别式构建目标不等式解最值或范围问题
已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．
【解析】（1）由题意可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由条件可得a＝2，c＝，则b＝1.
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
（2）法一：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x＋y＝4，4x＋y＝4，
两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得k＝－.
又点P在弦MN的垂直平分线上，
所以y0＝－k＋m，所以m＝y0＋k＝y0. 由点P在线段BB′上
，
所以yB′故m的取值范围为∪.
法二：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x＋y＝4,4x＋y＝4，
两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得y0＝－2k.
又点P在弦MN的垂直平分线上，
所以y0＝－k＋m，所以m＝y0＋k＝－k.
设直线l的方程为y＋2k＝－，即x＝－ky－2k2－，
联立得(4k2＋1)y2＋8k(2k2＋)y＋16k4＋8k2－3＝0，
由Δ>0，得k∈∪，
所以m＝－k∈∪，
即m的取值范围为∪.
典例剖析03 利用已知条件中的几何关系构建目标不等式解最值或范围问题
设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程及离心率e的值；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
【解析】（1）由题意可知|OF|＝c＝ ，又|OA|－|OF|＝1，所以a－＝1，解得a＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e＝＝.
（2）设M(xM，yM)，易知A(2,0)，在△MAO中，∠MOA≤∠MAO |MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1.
设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，联立消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
解得x＝2或x＝. 由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知F(1,0)，设H(0，yH)，则＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，即＋＝0，解得yH＝，
所以直线MH的方程为y＝－x＋.
由消去y，得xM＝.
由xM≥1，得≥1，解得k≤－或k≥，
所以直线l的斜率的取值范围为∪.
典例剖析04 构建函数模型解最值或范围问题
在平面直角坐标系中O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2.以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
【解析】（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1.∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
（2）由于点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ>0，得0≤k2<，从而x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|MN|＝ |x1－x2|＝2·.
∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝，
∴△F2MN的面积S＝|MN|·d＝3.
令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，
∴S＝3 ＝3 ＝3 ＝3 ，
当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±.
∴当直线l的斜率为±时，可使△F2MN的面积最大，其最大值为.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
【解析】（1）由题意知又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m(m≠0)，代入椭圆方程，
整理得：(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由Δ＞0，得4k2－m2＋3＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
于是|AB|＝·＝4··.
又坐标原点O到直线l的距离d＝，
所以△OAB的面积S＝·|AB|·d＝2·|m|·.
因为|m|·＝≤＝，
所以S＝·|AB|·d≤.
当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝t，
同理可求得S＝·|AB|·d＝|t|·≤.
综上，△OAB面积的最大值为.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l.
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求·＋·的最大值．
【解析】（1）由题意可知R是线段PF的中点，
因为RQ⊥PF，所以RQ所在直线为线段PF的垂直平分线，
连接QF，所以|QP|＝|QF|，又PQ⊥l，所以点Q到点F的距离和到直线l的距离相等，
设Q(x，y)，则|x＋1|＝，化简得y2＝4x，
所以动点Q的轨迹E的方程为y2＝4x.
（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，
设直线PF：y＝k(x－1)(k≠0)，则CD：y＝－(x－1)，
联立方程，得消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝1.
因为向量，方向相反，
所以·＝－||||＝－(x1＋1)(x2＋1)＝－(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－.
同理，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，可得·＝－||·||＝－4k2－4，
所以·＋·＝－4－8，
因为k2＋≥2，当且仅当k2＝1，即k＝±1时取等号，
所以·＋·的最大值为－16.
3．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若＝3，求m2的取值范围．
【解析】（1）根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，
∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.
∴椭圆E的方程为x2＋＝1.
（2）根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
由消去y，得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
由＝3，得x1＝－3x2.
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.
∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，∴k2＝.
∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0. 解得1∴m2的取值范围为(1,4).
4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
（2）若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
【解析】设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
（1）由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
（2）易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝·＝·，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．
【解析】（1）由题意得＝，所以a2＝b2，所以椭圆的方程为＋＝1，
将点代入方程得b2＝2，即a2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为(1,0)，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，
则A，B，E(1,1)，F(1，－1)，
所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝.
因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝，
所以|EF|2＝4＝，
所以|AB|·|EF|2＝·＝＝·＝.
因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈.
综上，|AB|·|EF|2的取值范围为.

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