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09 圆锥曲线的综合问题之定值、定点问题
◇ 知 识 链 接 ◇
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
知识链接01 定点问题
（1）参数法：
①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；
②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
知识链接02 定值问题
（1）直接消参求定值（常见处理方法）：
①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；
②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
（2）从特殊到一般求定值：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
常用处理技巧：
①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 引进参数解决圆锥曲线中的定点问题
（1）椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为G，·＝8.
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）设P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．
（2）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（ⅰ）求抛物线C的方程；
（ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
典例剖析02 研究图形特征处理解决圆锥曲线中的定点问题
已知抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点为F(1，0)，点O为坐标原点，A，B是曲线C上异于O的两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．
典例剖析03 引进参数解决圆锥曲线中的定值问题
已知Q(－1,2)，F(1,0), 动点P满足|·|＝||.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线与E交于A，B两点，记直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．
典例剖析04 研究特殊位置处理解决圆锥曲线中的定值问题
（1）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x＝4的距离之比是1∶2，设动点P的轨迹为E.
（ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（ⅱ）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值．
（2）已知点M是椭圆C：＋＝1 (a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.
（ⅰ）求椭圆C的方程；
（ⅱ）设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2,2)，点B在抛物线C上，O为坐标原点，且满足＝－2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l′，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l′与抛物线C交于M，N两点，△OPQ的面积记为S1，△OMN的面积记为S2．
求证：＋为定值．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
09 圆锥曲线的综合问题之定值、定点问题
◇ 知 识 链 接 ◇
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
知识链接01 定点问题
（1）参数法：
①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；
②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
知识链接02 定值问题
（1）直接消参求定值（常见处理方法）：
①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；
②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
（2）从特殊到一般求定值：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
常用处理技巧：
①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 引进参数解决圆锥曲线中的定点问题
（1）椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为G，·＝8.
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）设P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．
【解析】（1）（ⅰ）由题意得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则＝(a,1)，＝(a，－1)．
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3. 所以E的方程为＋y2＝1.
（ⅱ）证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)．
直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．
由于＋y＝1，故y＝－，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①
将x＝my＋n代入＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0.
解得n＝－3(舍去)或n＝.
故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点.
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.
综上，直线CD过定点.
（2）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（ⅰ）求抛物线C的方程；
（ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
【解析】（2）（ⅰ）因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
（ⅱ）证明：
①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0.所以yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，
整理得xAxB＋2yAyB＝0. 即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)． 综上所述，直线AB过定点(8,0)．
典例剖析02 研究图形特征处理解决圆锥曲线中的定点问题
已知抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点为F(1，0)，点O为坐标原点，A，B是曲线C上异于O的两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．
【解析】（1）∵焦点为F(1,0)，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
（2）证明　∵直线OA，OB的斜率之积为－，
∴设直线OA的方程为y＝kx，直线OB的方程为y＝－x.
联立得A，同理B(16k2，－8k)．
由抛物线关于x轴对称可知定点在x轴上，
那么A，B横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标．
令＝16k2，解得k2＝，则＝16k2＝8，点M(8,0)为直线AB过的定点．
下面证明直线AB过M点．
∵＝，＝(16k2－8，－8k)，
由·(－8k)＝(16k2－8)·可知向量与共线，∴直线AB过定点M.
典例剖析03 引进参数解决圆锥曲线中的定值问题
已知Q(－1,2)，F(1,0), 动点P满足|·|＝||.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线与E交于A，B两点，记直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．
【解析】（1）设P(x，y)，则＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)，＝(1－x，－y)．
由|·|＝||知，|－1－x|＝，化简得y2＝4x，
即动点P的轨迹E的方程为y2＝4x.
（2）证明：设过点F(1,0)的直线为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∵k1＋k2＝＋，x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，
∴k1＋k2＝＋＝
＝，
将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4代入上式，得k1＋k2＝＝－2，
故k1＋k2为定值－2.
典例剖析04 研究特殊位置处理解决圆锥曲线中的定值问题
（1）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x＝4的距离之比是1∶2，设动点P的轨迹为E.
（ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（ⅱ）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值．
【解析】（1）（ⅰ）设点P (x，y)，由题意得＝，将两边平方，并化简得＋＝1，
故轨迹E的方程是＋＝1.
（ⅱ）证明：
①当直线AB的斜率不存在时，易求得|AB|＝3，|CD|＝2，则＝4.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意知k≠0，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线CD的方程为y＝kx.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
由整理得x2＝，则|x3－x4|＝ .
|CD|＝×|x3－x4|＝4.
∴＝·＝4. 综合①②知＝4，为定值．
（2）已知点M是椭圆C：＋＝1 (a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.
（ⅰ）求椭圆C的方程；
（ⅱ）设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
【解析】（2）（ⅰ）在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝.
由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°
＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos 60°)，
解得|MF1|＋|MF2|＝4. 从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2.
由|F1F2|＝4，得c＝2，从而b＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
（ⅱ）证明：
当直线l的斜率不存在时，可得A，B，得k1＋k2＝4.
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4.
综上，k1＋k2为定值．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2,2)，点B在抛物线C上，O为坐标原点，且满足＝－2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l′，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l′与抛物线C交于M，N两点，△OPQ的面积记为S1，△OMN的面积记为S2．
求证：＋为定值．
【解析】（1）由＝－2，得＋＝－，即＝，
∴点A为OB的中点，又A(2,2)，∴B(4,4)，又点B在抛物线C上，
将其坐标代入y2＝2px，解得p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
（2）证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则△OPQ的面积S1＝·|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，
△OMN的面积S2＝·|OF|·|y3－y4|＝|y3－y4|.
依题意，设直线l：x＝my＋1(m≠0)，则l′：x＝－y＋1.
将直线l与抛物线的方程联立，得消去x，得y2－4my－4＝0，
∴Δ＝16(m2＋1)＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴|y1－y2|＝＝4.
同理，可得|y3－y4|＝4 ＝.
∴＋＝＋＝，为定值．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
（2）证明：
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·＝0.
∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)
＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx－.
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
故直线l过定点，且该定点的坐标为.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【解析】（1）由题意得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1.
（2）证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，
代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由AM⊥AN知，·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.
于是MN的方程为y＝k－(k≠1)．所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．
由·＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0.解得x1＝2(舍去)，x1＝.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝.
若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．

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