资源简介

等比数列及其前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 等比列的有关概念
（1）定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
（2）符号语言：＝q (常数)(n≥2，n∈N*)或＝q(n∈N*，q为非零常数)．
（3）等比中项：若三个数a，G，b成等比数列，
则G叫做a与b的等比中项，且有G2＝ab >0．
知识链接02 等比数列的通项公式
（1）an＝a1qn－1＝·qn；
（2）an＝am·qn－m(m，n∈N*) ；
（3）an＝B·qn．
知识链接03 等比数列公比的求法
（1）q＝＝……＝； （2）qn-m＝ ．
知识链接04 等比数列的单调性
若或则等比{an}递增； 若或则等比{an}递减．
知识链接05 等比数列的前n项和公式
（1）Sn＝；
（2）Sn＝＝－qn＋( q≠1)；
（3）Sn＝－A·qn＋A(其中A＝≠0，q≠1)．
知识链接06 判断数列{an}是等比数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，是同一常数．
（2）中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足an2＝an＋1·an－1.
（3）通项法：对任意n∈N*，都满足an＝B·qn (B，q是不为0的常数)．
（4） Sn 法：对任意n∈N*，都满足Sn＝－A·qn＋A(其中A≠0，q≠1)．
知识链接07 等比数列的性质 已知{an}为等比数列，其公差为d，前n项和为Sn．
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列．
（3）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)也是等比数列且公比为qm．
（4）若Sn＝A·qn＋B，则A＋B＝0．
（5）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 等比数列基本量的运算
（1）设等比{an}的前n项和为Sn，若S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝___．
（2）已知等比{an}的前n项和为Sn，若a2＝，＋＋＝，则S3等于_____．
（3）已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，则k＝________．
（4）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝_____．
（5）已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是_____．
（6）数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于________．
典例剖析02 等比数列的判定与证明
（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．
（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3n－1，bn＝an＋n.
证明：数列{bn}为等比数列．
（3）已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an. 若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
（4）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
（ⅰ）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
（ⅱ）若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
典例剖析03 等比数列的性质及其应用
（1）等比数列{an}中，a3a7a15＝6，a8＝3，则a9＝________．
（2）已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)等于________．
（3）在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，
则＋＋…＋的值为________．
（4）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________．
（5）设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝_____．
（6）在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
则n＝________．
（7）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于________．
（8）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，则其前3项的和S3＝________．
2．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4·a6＝64，则的值是________．
3．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S1＋2S2，且a2＝3，则a5等于________．
4．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且anan＋1＝，则＝________．
6．已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an等于________．
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5－1，则公比q＝________．
8．已知在递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________．
9．已知公比不为1的等比数列{an}，且a＝a7，a6＋2a4＝3a5，则数列的通项公式an＝________．
10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a4，则S5＝________．
11．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 ．
12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则数列{a}的前n项和为(　　)
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝________．
14．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100等于________．
15．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为 ；
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．
16．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则an＝________；
a1＋2＋3＋…＋n＝________．
17．(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝
18．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列是公比为q2的等比数列 B．数列是公比为q的等比数列
C．数列是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列
19．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是(　　)
A．2 B．4 C. D．
20．(多选)已知数列{an}不是常数列，其前n项和为Sn，则下列选项正确的是(　　)
A．若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则{an}为递增数列
B．若数列{an}为等差数列，a1>0，S3＝S10，则Sn的最大值在n＝6或7时取得
C．若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021>0恒成立
D．若数列{an}为等比数列，则{}也为等比数列
21．(多选)在等比{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列选项中正确的是(　　)
A．0＜q＜1 B．a99·a101－1＜0
C．T100的值是Tn中最大的 D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198
22．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列{an－1}的前n项和Tn.
24．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
（2）求T2n.
25．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
（1）设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
26．等差数列{an}(n∈N*)中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的{a1，a2，a3}组合，并求数列{an}的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{an}的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
14 等比数列及其前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 等比列的有关概念
（1）定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
（2）符号语言：＝q (常数)(n≥2，n∈N*)或＝q(n∈N*，q为非零常数)．
（3）等比中项：若三个数a，G，b成等比数列，
则G叫做a与b的等比中项，且有G2＝ab >0．
知识链接02 等比数列的通项公式
（1）an＝a1qn－1＝·qn；
（2）an＝am·qn－m(m，n∈N*) ；
（3）an＝B·qn．
知识链接03 等比数列公比的求法
（1）q＝＝……＝； （2）qn-m＝ ．
知识链接04 等比数列的单调性
若或则等比{an}递增； 若或则等比{an}递减．
知识链接05 等比数列的前n项和公式
（1）Sn＝；
（2）Sn＝＝－qn＋( q≠1)；
（3）Sn＝－A·qn＋A(其中A＝≠0，q≠1)．
知识链接06 判断数列{an}是等比数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，是同一常数．
（2）中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足an2＝an＋1·an－1.
（3）通项法：对任意n∈N*，都满足an＝B·qn (B，q是不为0的常数)．
（4） Sn 法：对任意n∈N*，都满足Sn＝－A·qn＋A(其中A≠0，q≠1)．
知识链接07 等比数列的性质 已知{an}为等比数列，其公差为d，前n项和为Sn．
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列．
（3）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)也是等比数列且公比为qm．
（4）若Sn＝A·qn＋B，则A＋B＝0．
（5）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 等比数列基本量的运算
（1）设等比{an}的前n项和为Sn，若S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝___．
（2）已知等比{an}的前n项和为Sn，若a2＝，＋＋＝，则S3等于_____．
（3）已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，则k＝________．
（4）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝_____．
（5）已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是_____．
（6）数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于________．
【答案】（1）－8 （2） （3）5 （4）2－21－n （5）1或－ （6）4
典例剖析02 等比数列的判定与证明
（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．
（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3n－1，bn＝an＋n.
证明：数列{bn}为等比数列．
【答案】（1）n－1 （2）略
（3）已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an. 若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，
当q＝－时，cn＝0，数列{cn}不是等比数列；
当q≠－时，因为cn≠0，所以＝＝q，所以数列{cn}是等比数列．
（4）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
（ⅰ）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
（ⅱ）若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
【解析】（ⅰ）证明　因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为数列{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
（ⅱ）由（ⅰ）知数列{an＋an＋1}是以a1＋a2为首项，3为公比的等比数列，
且a1＝，a2＝，则an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)，
又因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝·3n－1.
典例剖析03 等比数列的性质及其应用
（1）等比数列{an}中，a3a7a15＝6，a8＝3，则a9＝________．
（2）已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)等于________．
（3）在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，
则＋＋…＋的值为________．
（4）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________．
（5）设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝_____．
（6）在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
则n＝________．
（7）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于________．
（8）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
【答案】（1） （2） （3）2 （4） （5）32 （6）14 （7）60 （8）2
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，则其前3项的和S3＝________．
【答案】 13
2．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4·a6＝64，则的值是________．
【答案】 16
3．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S1＋2S2，且a2＝3，则a5等于________．
【答案】 24
4．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
【答案】 4
5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且anan＋1＝，则＝________．
【答案】
6．已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an等于________．
【答案】
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5－1，则公比q＝________．
【答案】 2或－1
8．已知在递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________．
【答案】
9．已知公比不为1的等比数列{an}，且a＝a7，a6＋2a4＝3a5，则数列的通项公式an＝________．
【答案】 2n＋1
10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a4，则S5＝________．
【答案】
11．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 ．
【答案】
12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则数列{a}的前n项和为(　　)
【答案】
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝________．
【答案】 2
14．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100等于________．
【答案】 ＋50
15．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为 ；
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．
【答案】 an＝4×n－1　 ×
16．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则an＝________；
a1＋2＋3＋…＋n＝________．
【答案】 2n　 2n＋1－2
17．(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝
【答案】 ABD
18．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列是公比为q2的等比数列 B．数列是公比为q的等比数列
C．数列是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列
【解析】选AD　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，若q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选A、D.
19．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是(　　)
A．2 B．4 C. D．
【解析】选ABD　依题意，数列{an}是正项等比数列，∴a3＞0，a7＞0，a5＞0，
∴＝＋≥2 ＝，因为a5＞0，
所以上式可化为a5≥2.故选A、B、D.
20．(多选)已知数列{an}不是常数列，其前n项和为Sn，则下列选项正确的是(　　)
A．若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则{an}为递增数列
B．若数列{an}为等差数列，a1>0，S3＝S10，则Sn的最大值在n＝6或7时取得
C．若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021>0恒成立
D．若数列{an}为等比数列，则{}也为等比数列
【解析】选ABC
对于A，若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则公差d>0，故{an}为递增数列，故A正确；
对于B，若数列{an}为等差数列，a1>0，设公差为d，由S3＝S10，得3a1＋d＝10a1＋d，
即a1＝－6d，故an＝(n－7)d，所以当n≤7时，an≥0，a7＝0，
故Sn的最大值在n＝6或7时取得，故B正确；
对于C，若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021＝·a1·q2 020＝a·q2 020·>0恒成立，故C正确；
对于D，若数列{an}为等比数列，则，所以不是常数，
故{}不是等比数列，故D错误． 故选ABC.
21．(多选)在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列选项中正确的是(　　)
A．0＜q＜1 B．a99·a101－1＜0
C．T100的值是Tn中最大的 D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198
【解析】选ABD　
对于A，∵a99a100－1＞0，∴a·q197＞1，∴(a1·q98)2·q＞1.
∵a1＞1，∴q＞0.又∵＜0，∴a99＞1，且a100＜1.∴0＜q＜1，故A正确；
对于B，∵a＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1，即 a99·a101－1＜0，故B正确；
对于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故C错误；
对于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)·…·(a99·a100)＝(a99·a100)99＞1，
T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正确．故选A、B、D.
22．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
【解析】（1）由条件可得an＋1＝an，
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列{an－1}的前n项和Tn.
【解析】（1）证明　2Sn＝－an＋n，
当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，即an＝an－1＋.
∴an－＝，∴数列为等比数列．
（2）由2S1＝－a1＋1，得a1＝，
由（1）知，数列是以－为首项，为公比的等比数列．
∴an－＝－n－1＝－n，∴an＝－n＋，∴an－1＝－n－，
∴Tn＝－＝－.
24．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
（2）求T2n.
【解析】（1）∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．∴bn＝×n－1＝.
（2）由（1）可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；
a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列．
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.
25．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
（1）设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
【解析】（1）因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．
（1）因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn＝＝<.
因为 n∈N*，Sn≤m恒成立，所以m≥，即实数m的最小值为.
26．等差数列{an}(n∈N*)中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的{a1，a2，a3}组合，并求数列{an}的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{an}的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得a1，ak，Sk＋2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知，有两种组合满足条件：
①a1＝8，a2＝12，a3＝16，此时等差数列{an}，a1＝8，d＝4，
所以其通项公式为an＝8＋(n－1)×4＝4n＋4；
②a1＝2，a2＝4，a3＝6，此时等差数列{an}，a1＝2，d＝2，
所以其通项公式为an＝2n.
（2）若选择①，Sn＝＝2n2＋6n. 则Sk＋2＝2(k＋2)2＋6(k＋2)＝2k2＋14k＋20.
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则a＝a1·Sk＋2，
即(4k＋4)2＝8(2k2＋14k＋20)，整理得5k＝－9，
此方程无正整数解，故不存在正整数k，使a1，ak，Sk＋2成等比数列．
若选择②，Sn＝＝n2＋n，则Sk＋2＝(k＋2)2＋(k＋2)＝k2＋5k＋6，
若a1，ak，Sk＋2成等比数列，则a＝a1·Sk＋2，
即(2k)2＝2(k2＋5k＋6)，整理得k2－5k－6＝0，
因为k为正整数，所以k＝6.
故存在正整数k＝6，使a1，ak，Sk＋2成等比数列．

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