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数列的通项公式的求法
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数) 累加法
an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1
知识链接02 形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数) 累乘法
an＝··…···a1
知识链接03 利用an＝求通项
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
知识链接04 形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型
（1）若c＝1，数列{an}为等差数列；
（2）若d＝0，数列{an}为等比数列；
（3）若c≠1且d≠0，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，
与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝(c≠1)，
所以an＋＝c(n≥2)，
即构成以a1＋为首项，以c为公比的等比数列．
知识链接05 形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型
方法如下：等式两边同时除以pn＋1，即得－＝q，则数列为等差数列．
知识链接06 形如an＋1＝pan＋q·rn＋1(p≠0,1，p≠r，q≠0)型
方法如下：设an＋1＋λ·rn＋1＝c(an＋λ·rn)，求λ转化成则数列为等比数列．
知识链接07 形如an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)型
方法如下：等式两边同时取倒数变形构造出an＋1＝Aan＋B(A，B是常数)，进而求解．
知识链接08 形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型
方法如下：设an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，则x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根．
若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，
若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 （1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．
（2）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是 ．
（3）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．
（4）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．
（5）设Sn是{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是___．
①an＝ ②an＝③Sn＝－ ④数列是等差数列
典例剖析02 （1）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则通项公式an＝________．
（2）已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．
（3）若{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，
则an＝____________．
（4）已知{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝_____．
典例剖析03 （1）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公式．
（2）已知正项数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n＋1，求{an}的通项公式．
（3）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通项公式．
典例剖析03 （1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求{an}的通项公式．
（2）在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通项公式．
（3）在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求{an}的通项公式．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝ ．
2．若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则an＝ ．
3．已知数列a1＝2，an＝1－(n≥2)．则a2 022＝＝ ．
4．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*.则通项公式an＝ .
5．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.
6．在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝ ．
7．已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
15 数列的通项公式的求法
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数) 累加法
an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1
知识链接02 形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数) 累乘法
an＝··…···a1
知识链接03 利用an＝求通项
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
知识链接04 形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型
（1）若c＝1，数列{an}为等差数列；
（2）若d＝0，数列{an}为等比数列；
（3）若c≠1且d≠0，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，
与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝(c≠1)，
所以an＋＝c(n≥2)，
即构成以a1＋为首项，以c为公比的等比数列．
知识链接05 形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型
方法如下：等式两边同时除以pn＋1，即得－＝q，则数列为等差数列．
知识链接06 形如an＋1＝pan＋q·rn＋1(p≠0,1，p≠r，q≠0)型
方法如下：设an＋1＋λ·rn＋1＝c(an＋λ·rn)，求λ转化成则数列为等比数列．
知识链接07 形如an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)型
方法如下：等式两边同时取倒数变形构造出an＋1＝Aan＋B(A，B是常数)，进而求解．
知识链接08 形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型
方法如下：设an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，则x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根．
若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，
若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 （1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．
（2）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是 ．
（3）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．
（4）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．
（5）设Sn是{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是___．
①an＝ ②an＝③Sn＝－ ④数列是等差数列
【答案】（1）2n＋1 （2）an＝（3）－2n－1 （4） （5）②③④
典例剖析02 （1）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则通项公式an＝________．
（2）已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．
（3）若{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，
则an＝____________．
（4）已知{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝_____．
【答案】（1）2＋ln n （2） （3）n·2n－1 （4）
典例剖析03 （1）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公式．
（2）已知正项数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n＋1，求{an}的通项公式．
（3）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通项公式．
【解析】（1）∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
又a1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为4，公比q＝2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3．
【解析】（2）∵an＋1＝2an＋2n＋1，∴＝＋1，即－＝1，
又∵＝＝2，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝(n＋1)·2n．
【解析】（3）∵an＋1＝2an＋3n，∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，
即an＋1＝2an－λ·3n，∴λ＝－1，即an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，
又a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴an＝3n－2n．
典例剖析03 （1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求{an}的通项公式．
（2）在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通项公式．
（3）在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求{an}的通项公式．
【解析】（1）∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，
又a1＝1，则＝1，∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，∴an＝(n∈N*)．
【解析】（2）对bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝，即＝2·＋3，
因此＋3＝2·，＋3＝2，
故是以2为首项、2为公比的等比数列，
于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝(n∈N*)．
【解析】（3）an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a2－a1＝2，
∴{an－an－1}为首项为2，公比也为2的等比数列，an－an－1＝2n－1(n>1)，
n>1时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，∴an＝2n－1．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝ ．
【答案】　
2．若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则an＝ ．
【解析】 an＝2n＋n－2．
3．已知数列a1＝2，an＝1－(n≥2)．则a2 022＝＝ ．
【解析】 数列{an}满足an＝an＋3，所以a2 022＝a3＝－1.
4．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*.则通项公式an＝ .
【解析】 因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，＝2.
因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，故an＝2n－1(n∈N*)．
5．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.
【解析】 ∵＝3·＋1，∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝3n－1，∴＝3n－1－，∴an＝(n∈N*)．
6．在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝ ．
【解析】两边同时除以3n＋1，得到＝－·＋1.
令bn＝，则bn＋1＝－bn＋1.显然有bn＋1－＝－，b1－＝－，
故是以－为首项，－为公比的等比数列．
因此bn－＝－·n－1，可得an＝－·(－2)n－1＋·3n＋1(n∈N*)．
7．已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
【解析】 ∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，{an＋an－1}形成首项为7，公比为3的等比数列，
则an＋an－1＝7×3n－2，①
又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13，
∴{an－3an－1}形成首项为－13，公比为－1的等比数列，
则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，②
①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，∴an＝×3n－1＋(－1)n－1．

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