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混合数列的前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
知识链接01 公式法
（1）等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.
（2）等比数列的前n项和公式Sn＝
知识链接02 分组或并项求和
知识链接03 裂项相消求和
（1）三种常见的拆项公式
＝－；
＝；
＝－．
（2）基本步骤
（3）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（4）消项规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
知识链接04 错位相减求和
（1）适用条件：
若{an}是公差为d(d≠0)的等差
数列，{bn}是公比为q(q≠1)的
等比数列，求数列{an·bn}的前
n项和Sn；
（2）基本步骤
知识链接05 倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 分组求和与并项求和
（1）求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝________．
（2）已知数列{an}满足an＝(－1)nn2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1＝________．
（3）在数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为________．
（4）设等差{an}的公差为d，等比{bn}的公比为q，且a1＝b1＝1，b4＝64，q＝2d．
（ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（ⅱ）记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn．
典例剖析02 裂项相消求和
（1）已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 020＝________．
（2）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列．
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；（ⅱ）若数列的前n项和为Tn，求Tn.
（3）在①a2，a3，a4－4成等差数列；②S1，S2＋2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{an}中， ．
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（ⅱ）若bn＝(n＋1)log2an，求数列的前n项和Tn．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
典例剖析03 错位相减求和
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)
2．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
3．数列{an}的通项公式为an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝(　　)
4．已知数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前n项和Sn＝ .
5．在数列{an}中a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)
6．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝ .
9．已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n－1＝ .
11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则Sn＝ ，数列的前n项和为 ．
12．已知函数f(x)＝x2cos ，数列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，
则数列{an}的前40项之和S40＝ .
13．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ .
14．(多选)数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则(　　)
A．an＝ B．数列的前100项和为
C．数列的前100项和为 D．数列{an}的第100项为50 050
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为(　　)
A. B． C. D．
16．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
17．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设bn＝(－1)nSn，求{bn}的前n项和Tn.
19．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S4＝10，a5＝5. Tn为数列{bn}的前n项和，满足
Tn＝(4n－1)，n∈N*.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝log2bn＋，若数列{cn}的前n项和Kn＜100，求n的最大值．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
16 混合数列的前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
知识链接01 公式法
（1）等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.
（2）等比数列的前n项和公式Sn＝
知识链接02 分组或并项求和
知识链接03 裂项相消求和
（1）三种常见的拆项公式
＝－；
＝；
＝－．
（2）基本步骤
（3）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（4）消项规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
知识链接04 错位相减求和
（1）适用条件：
若{an}是公差为d(d≠0)的等差
数列，{bn}是公比为q(q≠1)的
等比数列，求数列{an·bn}的前
n项和Sn；
（2）基本步骤
知识链接05 倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 分组求和与并项求和
（1）求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝________．
（2）已知数列{an}满足an＝(－1)nn2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1＝________．
（3）在数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为________．
（4）设等差{an}的公差为d，等比{bn}的公比为q，且a1＝b1＝1，b4＝64，q＝2d．
（ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（ⅱ）记cn＝a2n－1＋b2n，求数列{cn}的前n项和Sn．
【答案】（1）－1 012 （2）－(n＋1)(2n＋1) （3）1 123
【解析】（4）因为b4＝64，所以b1q3＝64，又b1＝1，所以q＝4. 又q＝2d，所以d＝2.
因为a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝4n－1．
∵cn＝a2n－1＋b2n＝4n－3＋42n－1.
所以Sn＝(1＋5＋9＋…＋4n－3)＋(4＋43＋…＋42n－1)
＝＋＝2n2－n＋．
典例剖析02 裂项相消求和
（1）已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 020＝________．
（2）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列．
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；（ⅱ）若数列的前n项和为Tn，求Tn.
（3）在①a2，a3，a4－4成等差数列；②S1，S2＋2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{an}中， ．
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（ⅱ）若bn＝(n＋1)log2an，求数列的前n项和Tn．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）－1
【解析】（2）由a1，a3，a11成等比数列，得a1a11＝a，又S4＝26，
所以又d≠0，所以a1＝2，d＝3.
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
∵Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋，
＝＝＝，
Tn＝＝＝.
【解析】（3）选①：因为a2，a3，a4－4成等差数列，所以2a3＝a2＋a4－4，
所以8a1＝2a1＋8a1－4，解得a1＝2，所以an＝2n；
选②：因为S1，S2＋2，S3成等差数列，所以2(S2＋2)＝S1＋S3，即a2＋4＝a3，
所以2a1＋4＝4a1，解得a1＝2，所以an＝2n.
因为an＝2n，所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，
所以＝＝2，
所以Tn＝2＋2＋…＋2
＝2＝2＝2－.
典例剖析03 错位相减求和
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.
【解析】（1）设数列{an}的公差为d，则由已知得
解得，a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
（2）bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋ … ＋， ①
Tn＝ ＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－，
故Tn＝3－－.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)
【答案】 n＋2n－1
2．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
【答案】 2 021
3．数列{an}的通项公式为an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝(　　)
【答案】 624
4．已知数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前n项和Sn＝ .
【答案】
5．在数列{an}中a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)
【答案】 990
6．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
【答案】 n(2n＋3)
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝______.
【答案】 44.5
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝ .
【答案】 Sn＝＝(－1)nn.
9．已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)
【答案】 1 024
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n－1＝ .
【答案】
11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则Sn＝ ，数列的前n项和为 ．
【答案】 　
12．已知函数f(x)＝x2cos ，数列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，
则数列{an}的前40项之和S40＝ .
【解析】因为f(x)＝x2cos ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，
所以a1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a2＝f(2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，
a3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a4＝f(4)＋f(5)＝16，
a5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a6＝f(6)＋f(7)＝－36，…，
可得数列{an}为－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…，
即数列{an}的前40项之和
S40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)
＋…＋(－1 444－1 444＋1 600＋1 600)
＝24＋56＋88＋…＋312＝×10×(24＋312)＝1 680.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ .
【答案】(n－1)2n＋1＋2
14．(多选)数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则(　　)
A．an＝ B．数列的前100项和为
C．数列的前100项和为 D．数列{an}的第100项为50 050
【答案】选AB　
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】选A　
16．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
【解析】（1）设{an}的公比为q. 由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得q＝(舍去)，q＝2.
由题设得a1＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n.
（2）由题设及（2）知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
17．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
【解析】（1）设{an}的公比为q，由题意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2.
（2）记Sn为{nan}的前n项和．由（1）及题意可得，an＝(－2)n－1.
所以Sn＝1＋2×(－2)＋ … ＋n×(－2)n－1， ①
－2Sn＝ －2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.②
①－②，可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.
所以Sn＝－.
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设bn＝(－1)nSn，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】（2）由题意，得S5＝＝＝5a3＝25，得a3＝5，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝2，
∴an＝a3＋(n－3)·d＝5＋2(n－3)＝2n－1，n∈N*.
则a1＝2×1－1＝1，∴Sn＝＝n2.
（2）由（1）知，bn＝(－1)nSn＝(－1)nn2，
①当n为偶数时，n－1为奇数，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2
＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[n2－(n－1)2]
＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[n＋(n－1)]·[n－(n－1)]
＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＋n＝；
②当n为奇数时，n－1为偶数，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…－(n－2)2＋(n－1)2－n2
＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[(n－1)2－(n－2)2]－n2
＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[(n－1)＋(n－2)][(n－1)－(n－2)]－n2
＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－2)＋(n－1)－n2＝－n2＝－.
综上所述，Tn＝(－1)n.
19．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S4＝10，a5＝5. Tn为数列{bn}的前n项和，满足
Tn＝(4n－1)，n∈N*.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝log2bn＋，若数列{cn}的前n项和Kn＜100，求n的最大值．
【解析】（1）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，设首项为a1，公差为d，
由于满足S4＝10，a5＝5.所以解得
所以an＝1＋(n－1)＝n.
Tn为数列{bn}的前n项和，满足Tn＝(4n－1)，①
当n＝1时，b1＝4，
当n≥2时，Tn－1＝(4n－1－1)，②
①－②得bn＝Tn－Tn－1＝4n，因为b1＝4也适合上式，所以bn＝4n.
（2）由（1）得设cn＝log2bn＋＝log24n＋＝2n＋.
所以Kn＝c1＋c2＋…＋cn＝2(1＋2＋…＋n)＋
＝n(n＋1)＋1－，
数列{cn}的前n项和Kn＜100，所以n(n＋1)＋1－<100，
当n＝9时，K9＜100，当n＝10时，K10＞100.
所以n的最大值为9.

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