高二数学人教A版(2019)选择性必修二 数列复习讲义 5 混合数列的前n项和

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高二数学人教A版(2019)选择性必修二 数列复习讲义 5 混合数列的前n项和

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混合数列的前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和.
知识链接01 公式法
(1)等差数列的前n项和公式Sn==na1+d.
(2)等比数列的前n项和公式Sn=
知识链接02 分组或并项求和
知识链接03 裂项相消求和
(1)三种常见的拆项公式
=-;
=;
=-.
(2)基本步骤
(3)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
(4)消项规律:
消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
知识链接04 错位相减求和
(1)适用条件:
若{an}是公差为d(d≠0)的等差
数列,{bn}是公比为q(q≠1)的
等比数列,求数列{an·bn}的前
n项和Sn;
(2)基本步骤
知识链接05 倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 分组求和与并项求和
(1)求值:1-3+5-7+9-11+…+2 021-2 023=________.
(2)已知数列{an}满足an=(-1)nn2,则a1+a2+a3+…+a2n+1=________.
(3)在数列{an}中,a1=a2=1,an+2=则数列{an}的前20项和为________.
(4)设等差{an}的公差为d,等比{bn}的公比为q,且a1=b1=1,b4=64,q=2d.
(ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(ⅱ)记cn=a2n-1+b2n,求数列{cn}的前n项和Sn.
典例剖析02 裂项相消求和
(1)已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 020=________.
(2)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=26,a1,a3,a11成等比数列.
(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)若数列的前n项和为Tn,求Tn.
(3)在①a2,a3,a4-4成等差数列;②S1,S2+2,S3成等差数列中任选一个,补充在下列的问题中,并解答.在公比为2的等比数列{an}中, .
(ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(ⅱ)若bn=(n+1)log2an,求数列的前n项和Tn.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
典例剖析03 错位相减求和
已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a3=5,S7=49.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1.数列{1+2n-1}的前n项和为(  )
2.数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为(  )
3.数列{an}的通项公式为an=,若{an}的前n项和为24,则n=(  )
4.已知数列{an}的通项公式an=,则数列{an}的前n项和Sn= .
5.在数列{an}中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为(  )
6.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  )
8.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则数列{an}的前n项和Sn= .
9.已知Tn为数列的前n项和,若m>T10+1 013恒成立,则整数m的最小值为(  )
10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1=(n=1,2,3,…),则S2n-1= .
11.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1+SnSn+1=0,则Sn= ,数列的前n项和为 .
12.已知函数f(x)=x2cos ,数列{an}中,an=f(n)+f(n+1)(n∈N*),
则数列{an}的前40项之和S40= .
13.已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn= .
14.(多选)数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则(  )
A.an= B.数列的前100项和为
C.数列的前100项和为 D.数列{an}的第100项为50 050
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an-Sn=2,记数列的前n项和为Tn,若对于任意n∈N*,不等式k>Tn恒成立,则实数k的取值范围为(  )
A. B. C. D.
16.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
17.设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=9,S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)设bn=(-1)nSn,求{bn}的前n项和Tn.
19.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S4=10,a5=5. Tn为数列{bn}的前n项和,满足
Tn=(4n-1),n∈N*.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=log2bn+,若数列{cn}的前n项和Kn<100,求n的最大值.
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
16 混合数列的前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和.
知识链接01 公式法
(1)等差数列的前n项和公式Sn==na1+d.
(2)等比数列的前n项和公式Sn=
知识链接02 分组或并项求和
知识链接03 裂项相消求和
(1)三种常见的拆项公式
=-;
=;
=-.
(2)基本步骤
(3)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
(4)消项规律:
消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
知识链接04 错位相减求和
(1)适用条件:
若{an}是公差为d(d≠0)的等差
数列,{bn}是公比为q(q≠1)的
等比数列,求数列{an·bn}的前
n项和Sn;
(2)基本步骤
知识链接05 倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 分组求和与并项求和
(1)求值:1-3+5-7+9-11+…+2 021-2 023=________.
(2)已知数列{an}满足an=(-1)nn2,则a1+a2+a3+…+a2n+1=________.
(3)在数列{an}中,a1=a2=1,an+2=则数列{an}的前20项和为________.
(4)设等差{an}的公差为d,等比{bn}的公比为q,且a1=b1=1,b4=64,q=2d.
(ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(ⅱ)记cn=a2n-1+b2n,求数列{cn}的前n项和Sn.
【答案】(1)-1 012 (2)-(n+1)(2n+1) (3)1 123
【解析】(4)因为b4=64,所以b1q3=64,又b1=1,所以q=4. 又q=2d,所以d=2.
因为a1=1,所以an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=4n-1.
∵cn=a2n-1+b2n=4n-3+42n-1.
所以Sn=(1+5+9+…+4n-3)+(4+43+…+42n-1)
=+=2n2-n+.
典例剖析02 裂项相消求和
(1)已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 020=________.
(2)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=26,a1,a3,a11成等比数列.
(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)若数列的前n项和为Tn,求Tn.
(3)在①a2,a3,a4-4成等差数列;②S1,S2+2,S3成等差数列中任选一个,补充在下列的问题中,并解答.在公比为2的等比数列{an}中, .
(ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(ⅱ)若bn=(n+1)log2an,求数列的前n项和Tn.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)-1
【解析】(2)由a1,a3,a11成等比数列,得a1a11=a,又S4=26,
所以又d≠0,所以a1=2,d=3.
所以an=2+3(n-1)=3n-1.
∵Sn=na1+d=2n+=+,
===,
Tn===.
【解析】(3)选①:因为a2,a3,a4-4成等差数列,所以2a3=a2+a4-4,
所以8a1=2a1+8a1-4,解得a1=2,所以an=2n;
选②:因为S1,S2+2,S3成等差数列,所以2(S2+2)=S1+S3,即a2+4=a3,
所以2a1+4=4a1,解得a1=2,所以an=2n.
因为an=2n,所以bn=(n+1)log2an=(n+1)log22n=n(n+1),
所以==2,
所以Tn=2+2+…+2
=2=2=2-.
典例剖析03 错位相减求和
已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a3=5,S7=49.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,则由已知得
解得,a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)bn==,所以Tn=+++ … +, ①
Tn= +++…++,②
①-②,得Tn=++++…+-=--,
故Tn=3--.
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1.数列{1+2n-1}的前n项和为(  )
【答案】 n+2n-1
2.数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为(  )
【答案】 2 021
3.数列{an}的通项公式为an=,若{an}的前n项和为24,则n=(  )
【答案】 624
4.已知数列{an}的通项公式an=,则数列{an}的前n项和Sn= .
【答案】
5.在数列{an}中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为(  )
【答案】 990
6.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  )
【答案】 n(2n+3)
7.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=______.
【答案】 44.5
8.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则数列{an}的前n项和Sn= .
【答案】 Sn==(-1)nn.
9.已知Tn为数列的前n项和,若m>T10+1 013恒成立,则整数m的最小值为(  )
【答案】 1 024
10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1=(n=1,2,3,…),则S2n-1= .
【答案】
11.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1+SnSn+1=0,则Sn= ,数列的前n项和为 .
【答案】  
12.已知函数f(x)=x2cos ,数列{an}中,an=f(n)+f(n+1)(n∈N*),
则数列{an}的前40项之和S40= .
【解析】因为f(x)=x2cos ,且an=f(n)+f(n+1),
所以a1=f(1)+f(2)=0-4=-4,a2=f(2)+f(3)=-4+0=-4,
a3=f(3)+f(4)=0+16=16,a4=f(4)+f(5)=16,
a5=f(5)+f(6)=0-36=-36,a6=f(6)+f(7)=-36,…,
可得数列{an}为-4,-4,16,16,-36,-36,64,64,-100,-100,…,
即数列{an}的前40项之和
S40=(-4-4+16+16)+(-36-36+64+64)+(-100-100+144+144)
+…+(-1 444-1 444+1 600+1 600)
=24+56+88+…+312=×10×(24+312)=1 680.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn= .
【答案】(n-1)2n+1+2
14.(多选)数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则(  )
A.an= B.数列的前100项和为
C.数列的前100项和为 D.数列{an}的第100项为50 050
【答案】选AB 
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an-Sn=2,记数列的前n项和为Tn,若对于任意n∈N*,不等式k>Tn恒成立,则实数k的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
【答案】选A 
16.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
【解析】(1)设{an}的公比为q. 由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8. 解得q=(舍去),q=2.
由题设得a1=2. 所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(2)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.
所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
17.设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
【解析】(1)设{an}的公比为q,由题意得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2. 故{an}的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题意可得,an=(-2)n-1.
所以Sn=1+2×(-2)+ … +n×(-2)n-1, ①
-2Sn= -2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.②
①-②,可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.
所以Sn=-.
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=9,S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)设bn=(-1)nSn,求{bn}的前n项和Tn.
【解析】(2)由题意,得S5===5a3=25,得a3=5,
设等差数列{an}的公差为d,则d===2,
∴an=a3+(n-3)·d=5+2(n-3)=2n-1,n∈N*.
则a1=2×1-1=1,∴Sn==n2.
(2)由(1)知,bn=(-1)nSn=(-1)nn2,
①当n为偶数时,n-1为奇数,
Tn=b1+b2+…+bn=-12+22-32+42-…-(n-1)2+n2
=(22-12)+(42-32)+…+[n2-(n-1)2]
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…+[n+(n-1)]·[n-(n-1)]
=1+2+3+4+…+(n-1)+n=;
②当n为奇数时,n-1为偶数,
Tn=b1+b2+…+bn=-12+22-32+42-…-(n-2)2+(n-1)2-n2
=(22-12)+(42-32)+…+[(n-1)2-(n-2)2]-n2
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…+[(n-1)+(n-2)][(n-1)-(n-2)]-n2
=1+2+3+4+…+(n-2)+(n-1)-n2=-n2=-.
综上所述,Tn=(-1)n.
19.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S4=10,a5=5. Tn为数列{bn}的前n项和,满足
Tn=(4n-1),n∈N*.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=log2bn+,若数列{cn}的前n项和Kn<100,求n的最大值.
【解析】(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,设首项为a1,公差为d,
由于满足S4=10,a5=5.所以解得
所以an=1+(n-1)=n.
Tn为数列{bn}的前n项和,满足Tn=(4n-1),①
当n=1时,b1=4,
当n≥2时,Tn-1=(4n-1-1),②
①-②得bn=Tn-Tn-1=4n,因为b1=4也适合上式,所以bn=4n.
(2)由(1)得设cn=log2bn+=log24n+=2n+.
所以Kn=c1+c2+…+cn=2(1+2+…+n)+
=n(n+1)+1-,
数列{cn}的前n项和Kn<100,所以n(n+1)+1-<100,
当n=9时,K9<100,当n=10时,K10>100.
所以n的最大值为9.

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