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高一数学（沪教版2020必修第二册）
第7章 三角函数
７.2 余弦函数的图像
我们知道，对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的余弦值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作 余弦函数的定义域是实数集R．
1.余弦函数的图像
怎样作余弦函数 的图像呢？
当然，我们可以像对正弦函数 一样，把任意角的余弦值 用角的终边与单位圆的交点的横坐标表示，用描点法作出余弦函数的图像
但是，由于已经知道了正弦函数 的图像，我们可以简便地利用余弦函数与正弦函数的关系来作出余弦函数的图像．事实上，由于 对任意的 都成立，因此余弦函数 与函数 是同一个函数，从而它们的图像相同．由于将正弦函数 的图像向左平移 就得到函数 的图像，即 的图像（图７-２-１）．余弦函数的图像通常称为余弦曲线．
观察余弦函数的图像，并对比正弦曲线，可知余弦曲线在区
间 上的五个关键点的坐标是
2.余弦函数的性质
利用余弦函数 与正弦函数 的关系
，由正弦函数的性质就容易推出余弦函数的性质：
（１）余弦函数 是周期函数， 均
是它的周期，而２π是它的最小正周期
（２）余弦函数 的值域是［－１，１］．
当且仅当 时， 取得最大值１；而当
且仅当 时， 取得最小值－１
（３）余弦函数 是偶函数，其图像关于y轴对称
（４）余弦函数 在区间 上是严
格增函数，而在区间 上是严格减函数．
例１ 求下列函数的最大值与最小值，并求出取得最大值
和最小值时所有 的值：
解 （１）令 ，则
当－１≤t≤１时，有－３≤t－２≤－１，从而 ， 于是
这样，y的最大值是６，此时 即
而y的最小值是－２，此时 即
（２）令 ，则
由 ，有 即 ．
由余弦函数的性质可知， 在区间 上是严
格增函数，而在 上是严格减函数．
又因为
所以y的最大值是１，此时 即 从而 的最
小值是 ，此时 ，即 ， 从而
例２ 求函数 的最小正周期及单调增区间
解 因为
而 的最小正周期是 ， 所以函数
的最小正周期是π．
由余弦函数的单调性可知，当
是严格增 函 数， 即 此 函 数 的 单 调 增 区 间 是
课本练习
练习７．２
１．已知函数 （其中常数ω＞０）的最小正周期为４π，求ω的值．
２．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： 　　
３．求函数 的最小正周期及单调区间．
随堂检测
1、函数y＝－cos x(x>0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
B．(π，1)
C．(0，1) D．(2π，1)
【答案】B；
【解析】用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图像如图所示，
由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)；
2、在(0，2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是
【解析】因为，sin x>|cos x|，所以，sin x>0，所以，x∈(0，π)；
在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，
如图：
3、cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是 (用“>”连接)
【答案】cos 1>cos 2>cos 3
【解析】因为，0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以，cos 1>cos 2>cos 3；
4、函数y＝|cos x|的最小正周期为 ；
【答案】π；
【解析】作出函数y＝|cos x|的图像，如图所示；
观察图像可知此函数的周期是π.
5、利用图像变换作出下列函数的简图：
（1）y＝1－cos x，x∈[0，2π]；
（2）y＝|sin x|，x∈[0，4π]．
【提示】注意：用集合观点理解图像变换；
【解析】（1）首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图，
再作出y＝cos x，x∈[0，2π]的简图关于x轴对称的简图，
即y＝－cos x，x∈[0，2π]的简图，
将y＝－cos x，x∈[0，2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，
x∈[0，2π]的简图，如图所示．
（2）首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0，4π]的简图，再将该
简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0，4π]
的简图，如图所示．
（1）求f(x)的最小正周期T；
（2）求f(x)的单调递增区间．
THANKS
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