资源简介

(共20张PPT)
高一数学（沪教版2020必修第二册）
第 7 章 三角函数
７.４正切函数的图像与性质
７．４　　正切函数的图像与性质
由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数 ，只要
，都有唯一确定的正切值 与之对应．按照这
个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为 ．正切
函数的定义域是 ． 下面我们探讨正切函数的
图像和性质
1 正切函数的图像
我们知道，正切值 可以用角a的终边所在直线与直线
的交点的纵坐标表示（图７-４-１）．
类似于作正弦函数图像的方法，利用单位圆并结合描点法我
们可以作出 的大致图像（图７-４-２）．
因为 ，所以函数 当
时 的 图 像 与
…
的图像形状一样，只需将后者图像的位置向右平移
就可得到；同理，函数
时的图像与 的图像
形状也一样，只需将后者图像的位置向左平移π、２π、…就可得
到．这样，就可以得到函数 的整个图像（图７-４-３）．
因为 的定义域是
其图像由无穷多支曲线所组成，它们被直线
所隔开．
正切函数的性质
（１）周期性
由诱导公式 可知，正切函数是周期函数，
均是它的周期，π是它的最小正周期．
（２）值域
由正切函数 的定义可以得到，正切函数
的值域是实数集R，它既没有最大值，也没有最小值．
（３）奇偶性
由诱导公式 可知，正切函数
是奇函数．因此，其图像关于坐标原点对称
（４）单调性
由于正切函数是以π为最小正周期的函数，可以先在区间
上研究正切函数的单调性．
对于区间 中的任意给定的满足 的实数
有
由 易知 于是
且
由上式就有 ，即 从而正
切函数 在区间 上是严格增函数．
又因为正切函数是以π为最小正周期的周期函数，所以
正切函数 在区间 上 是严格增函数．
例１ 求函数 的定义域和单调区间
由正切的定义，该函数的自变量 满足
解
所以，该函数的定义域为
由正切函数的单调性可知，当
时，即 时，函数
是严格增函数
因此，函数 的单调增区间是
例２ 求函数 的最小正周期
解 记 有
可知函数 的一个正周期
此外， 也是函数 的最小正周期．事实上，
令 原来的函数可改写为 ，其以t为自变量
的最小正周期为π．返回到 变量，因 故原来函数
的最小正周期为
课本练习
练习７．４
１．写出满足 的所有α的集合．
２．比较下列各组数的大小，并说明理由：
３．求函数 的定义域，并写出其单调区间
随堂检测
1、求函数f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像。
当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧的图像即为y＝tan x的图像不变；
x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图像为y＝tan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，
如图所示（实线部分）；
2、根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．
【解析】作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
所以，满足此不等式的x的集合为：
3、画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间和奇偶性．
【解析】由函数y＝|tan x|得
根据正切函数图像的特点作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
（2）判断f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性；
又因为，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以，它是奇函数；
5、已知f(x)＝－a tan x(a≠0).
（2）求f(x)的最小正周期；
（3）求f(x)的单调区间；
所以，f(－x)＝－a tan (－x)＝a tan x＝－f(x).
（2）f(x)的最小正周期为π；
f(x)max＝－a，无最小值．所以，f(x)的值域为(－∞，－a].
f(x)min＝－a.无最大值．
所以，f(x)的值域为[－a，＋∞)；
THANKS
“
”

展开更多......

收起↑