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2023届高三数学体育单招-简单方程与不等式的解法学生版
方程与不等式的解法
【知识梳理】
一、一元二次方程
1、定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
2、一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
3、解一元二次方程的方法
（1）直接开方：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）求根公式：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）
二、一元二次不等式的解集
1、一元二次不等式的解法
（1）根据解一元二次方程方法选择方法求根
（2）看二次项系数大于0或小于0，选择图像
（3）根据图像选择取中间还是取两边
2、一元二次不等式（a>0）的图像
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1三、和型绝对值不等式的解法
；
四、分式不等式
【考点分类剖析】
题型一 一元二次方程
【例1】解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【例2】（2021·全国高一课时练习）解下列方程：
（1）； （2）；（3）．
【变式探究】
1.解下列方程
(1) (2) (3)；
(4) (5) (6)
(7) (8)； (9)．
(10) (11) (12)
题型二 一元二次不等式
【例3】（2020·黑龙江）解下列不等式
（1） （2）. （3）
（4） （5） （6）
【变式探究】
1、解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
（7）. （8）. （9）.
（10）.
题型三 绝对值不等式
【例4】（1）（2）；（3）；
【变式探究】
1、解下列不等式
（1）； （2）.（3）； （4）.（5）
题型四 分式不等式
【例5】解下列不等式：
（1）； （2） （3）.
（4）； （5）； （6）．
【变式探究】
1、解下列不等式
（1） （2） （3） （4）(5)； (6)2023届高三数学体育单招-简单方程与不等式的解法教师版
方程与不等式的解法
【知识梳理】
一、一元二次方程
1、定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
2、一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
3、解一元二次方程的方法
（1）直接开方：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）求根公式：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）
二、一元二次不等式的解集
1、一元二次不等式的解法
（1）根据解一元二次方程方法选择方法求根
（2）看二次项系数大于0或小于0，选择图像
（3）根据图像选择取中间还是取两边
2、一元二次不等式（a>0）的图像
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1三、和型绝对值不等式的解法
；
四、分式不等式
【考点分类剖析】
题型一 一元二次方程
【例1】解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1），开平方，得，解得；
（2），移项，得，二次项系数化为1，得，
配方，得，即，开平方，得，
解得；（3），，，即；（4），，分解因式，得，∴或，解得．
【例2】（2021·全国高一课时练习）解下列方程：
（1）； （2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1），，
，即；
（2），，，，
，；
（3），整理，得，，
，，
【变式探究】
1.解下列方程
(1) (2) (3)；
(4) (5) (6)
(7) (8)； (9)．
(10) (11) (12)
【答案】(1)或；(2)或(3)；(4)．
(5)；(6)(7)，(8)，；
(9)，(10)(11)， (12)，
【解析】(1)由可知：∴即或．
(2)由可知：从而可得：∴，．
(3)，，∴，；
(4)，，，，∴，．
(5)解得：
(6)或解得：．
(7)
(8)．．．．
，；
(9)∵，，，∴，
∴．即，．
(10)，解得：．
(11) ∴x+2=0或x-4=0∴，
(12)
∴x-2=0或2x-6=0，．
题型二 一元二次不等式
【例3】（2020·黑龙江）解下列不等式
（1） （2）. （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）
（4）或；（5）；（6）不等式无解
【解析】（1），所以不等式的解集为.
故答案为：
原不等式可化为，由于，
方程的两根为，，∴不等式的解集为.
（3）所以不等式的解集为.
（4）不等式可化为，∴不等式的解是或.
（5）不等式可化为，∴不等式的解是.
（6）不等式可化为．∴不等式无解.
【变式探究】
1、解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
（7）. （8）. （9）.
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（4）或；（5）；（6）或.
（7）或；（8）；（9）或；（10）；
【解析】（1）由题意，不等式，可化为，
所以不不等式的解集为；
（2）由题意，可得，所以不等式的解集为；
（3）由不等式，可化为，即，
所以不等式的解集为或.
（4）不等式即为，解得或，
因此，不等式的解集为或；
（5）不等式即为，解得，
因此，不等式的解集为；
不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.
原不等式等价于，解得不等式的解集为：或；
（8）由于，并且开口向上，故原不等式的解集为空集；
（9）原不等式等价于，即，解得不等式的解集为：或；
（10）由，解得不等式的解集为：；
题型三 绝对值不等式
【例4】（1）（2）；（3）；
【答案】（1）(2)（3）
【解析】（1）因为所以或，或，所以不等式的解集为
（2）或，解得或，所以不等式的解集为；
（3），解得，所以不等式的解集为；
【变式探究】
1、解下列不等式
（1）； （2）.（3）； （4）.（5）
【答案】（1）（2）（3）；（4）（5）或
【解析】（1），，即，
不等式的解集是.
（2）或，
解得或，所以不等式的解集为.
（3）原不等式可化为.解不等式，得.
（4）由得，解得，故原不等式的解集为.
（5）由，可得或，
解得或，解集为或；
题型四 分式不等式
【例5】解下列不等式：
（1）； （2） （3）.
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）（3）或.
（4）（5）（6）
【解析】（1）等价于，解得，
∴原不等式的解集为.
（2）由题意，不等式可转化为或，解得或，所以不等式的解集为.
（3）∵，∴，∴，即.
此不等式等价于且x－≠0，解得或，
∴原不等式的解集为或.
（4）移项、通分，，此不等式与不等式组的解集相同．解不等式组，得．
（5）将原不等式转化为同解的整式不等式，即，所以原不等式解集为．
（6）由，得，即，或，
得或，得或，即不等式的解集为．
【变式探究】
1、解下列不等式
（1） （2） （3） （4）(5)； (6).
【答案】（1） （2）{x|x≤－1或x>3} （3）（4）
(5) 或； (6) 或.
【解析】（1）由题意，原不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为.
（2）不等式可转化成不等式组，解得x≤－1或x>3，原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
（3）解得或
故不等式的解集为
（4） ，即 ，
解得： ，不等式的解集是.
(5)即所以不等式的解集为：或；
(6)即等价于且所以不等式的解集为：
或.

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