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专题3 数列的通项公式
【题型1】 观察法
1、数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2、将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
3、如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．
（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
【题型2】 累加法
4、在数列中，已知，，.若，求数列的通项公式.
5、已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
6、已知，，求通项________.
7、在数列中，已知，，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）记，若在数列中，，求实数的取值范围.
【题型3】 累乘法
8、设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________
9、在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10、已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和.
11、记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【题型4】 待定系数法
12、在数列中，，，且满足，则___________.
13、已知数列满足，且前8项和为506，则___________.
14、已知数列中，，求的通项.
15、设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【题型5】 取倒数、对数法
16、已知数列满足，且，则数列__________
17、数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
18、在数列中，，并且对于任意，都有.证明数列为等差数列，并求的通项公式；
19、已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　．
20、已知数列满足，若，则的最大值为　　．
【题型6】 已知通项公式与前项的和关系求通项问题
21、已知数列的前项和为，且满足，.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
22、已知数列的前n项和为，，，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求正整数m．
23、设数列的前n项和为，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
答案解析
1、【答案】C
【解析】将可以写成，
所以的通项公式为；
故选:C
2、【答案】
【解析】数列中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
经检验，数列中的偶数项都是数列中的项.
即，，，256，… 可以写成的形式，观察，归纳可得.
故答案为：.
3、【解析】(1)由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
(2)由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即．
4、【解析】由题意， ，得： ，运用累加法：
，
，即，，
当时，，，
当时，成立，
所以
5、【答案】
【解析】由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
6、【答案】
【解析】解： ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，
而也适合上式，.
故答案为：
7、【解析】(1)由题意， ，得： ，运用累加法：
，
，
，
，n=1时，也成立，∴ ；
(2)由（1） ， ，
由题意 ，即 ，
化简得： ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
即 ；
综上，，.
8、【答案】
【解析】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又满足上式，∴.
故答案为：.
9、【答案】A
【解析】解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故选：A．
10、【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
11、【解析】(1)∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
12、【答案】
【解析】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
13、【答案】
【解析】由题意得：
，即
数列是以为首项，为公比的等比数列，记数列的前项和为
解得：
故答案为：
14、【解析】因为的特征函数为，
则特征方程为，即，
解得，
则，①
.②
则①÷②得，
∴数列是公比为的等比数列，
∴.
∵，∴，
即.
15、【解析】（1）因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
16、【答案】
【解析】解：由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；
故答案为：
17、【答案】C
【解析】由，
故，记，则，
两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，
又，所以，所以，
故.
故选：C.
18、【答案】（1）答案见解析,（2）
,即:
,
数列是首项为,公差为的等差数列.
根据等差数列通项公式可得:
,故:.
19、【解析】解：数列的首项为9，且，
所以：，
所以两边取对数得：，
整理得：（常数），
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以：，
所以：，
由于，所以：，
故：两边取倒数得到：，
所以数列的前项和．
故答案为：
20、【解析】解：数列满足，
．
，
，变形为：，
．
数列是等比数列，首项为，公比为．
．
则．
，只考虑为偶数时，
时，．
时，．
因此（4）取得最大值．最大值为．
故答案为：．
21、【解析】(1)当时，，
∵，∴.
当时，由，得，
两式相减得
即
∴数列，均为公比为4的等比数列
∴，
∴
(2)∵
∴数列的前项和
22、【解析】(1)因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
23、【解析】(1)因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．

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