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2023届河北省新高考数学复习
专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．
2．（2022·河北张家口·统考一模）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.
3．（2022·河北邯郸·统考一模）已知抛物线的焦点在轴上，过且垂直于轴的直线交于（点在第一象限），两点，且.
(1)求的标准方程.
(2)已知为的准线，过的直线交于，（，异于，）两点，证明：直线，和相交于一点.
4．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围.
5．（2022·河北秦皇岛·统考二模）已知双曲线的左 右焦点分别为，，虚轴长为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知，若的外心的横坐标为0，求直线的方程.
6．（2022·河北衡水·统考二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左 右焦点为，离心率为.过点作直线与椭圆相交于两点.若是椭圆的短轴端点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断是否存在直线，使得，，成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
7．（2022·河北张家口·统考三模）已知，点，，动点P满足，点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相切，与曲线交于M N两点，且（O为坐标原点），求曲线E的离心率.
8．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.
(1)求点轨迹的方程；
(2)过点的直线与交于 两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.
9．（2022·河北沧州·统考二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
10．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．
11．（2022·河北邯郸·统考二模）已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．
12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，点为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且倾斜角为钝角的直线与椭圆交于两点（其中点在轴下方），为的中点，为原点，求当最大时，的面积.
13．（2022·河北·校联考模拟预测）已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值.
14．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线：和椭圆：有共同的焦点F
(1)求抛物线C的方程，并写出它的准线方程
(2)过F作直线交抛物线C于P， Q两点，交椭圆E于M， N两点，证明：当且仅当轴时，取得最小值
15．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.
16．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的离心率小于.点P在椭圆C上，，且面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点M（1，1），A，B是椭圆C上不同的两点，点N在直线l：上，且，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
17．（2022·河北保定·统考一模）直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上．
(1)求证：直线恒过定点，并求出点坐标；
(2)以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．
18．（2022·河北·校联考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．
(1)求C的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．
19．（2022·河北唐山·统考二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．
(1)求的离心率；
(2)如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证：；
②若，求面积的最大值．
20．（2022·河北保定·统考二模）已知抛物线.
(1)直线与交于、两点，为坐标原点.
从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.
①证明：.
②若，求的值；
(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.
21．（2022·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，右顶点为A，M，N是椭圆上关于原点对称且异于顶点的两点，记直线与直线的斜率分别为，且.
(1)求C的方程；
(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线与直线的斜率分别为且，证明：直线l恒过定点.
22．（2022·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，短轴的两个顶点分别为M，N，为等边三角形，且的面积为，
(1)求C的方程；
(2)若圆的方程为，直线l与圆相切并且交C于A，B两点，证明：，并求出的最大值.
23．（2022·河北唐山·统考三模）在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．
24．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值．
25．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．
(1)求的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．
26．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知满足与的斜率之积为.
(1)求的轨迹的方程.
(2)是过内同一点的两条直线，交椭圆于交椭圆于，且共圆，求这两条直线斜率之和.
27．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
28．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.
29．（2022·河北·校联考模拟预测）已知椭圆，椭圆与有相同的离心率，且短轴的一个端点坐标为，O是坐标原点.
(1)求的方程；
(2)若直线l与有且仅有一个公共点，与交于A，B两点，试问的面积是否为定值？若是，求的面积；若不是，请说明理由.
30．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）椭圆的上、下顶点分别为A，B. 在椭圆上任取两点C，D，直线斜率存在且不过A，B. 交于，交于，直线交y轴于R，直线交x轴于，直线交x轴于.
(1)若a，b为已知量，求；
(2)分别作，于E，F，求.2023届河北省新高考数学复习
专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据抛物线的定义以及共线时距离最小即可求解.
（2）联立直线与抛物线方程，进而根据两点斜率公式表达，即可求解.
【详解】（1）设抛物线的焦点为，根据抛物线的定义得，，由于，解得，
则拋物线的方程为
（2）设，将代入抛物线的方程，
整理得所以
，同理，
则,所以 ，
2．（2022·河北张家口·统考一模）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为.
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可.
【详解】（1）依题意得，
解得所以双曲线C的方程是.
（2）证明：设，，，直线l的方程为.
将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，
，
则，.
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
即解得.
由，得，故，
所以.
又，
所以点D的纵坐标为定值.
【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键.
3．（2022·河北邯郸·统考一模）已知抛物线的焦点在轴上，过且垂直于轴的直线交于（点在第一象限），两点，且.
(1)求的标准方程.
(2)已知为的准线，过的直线交于，（，异于，）两点，证明：直线，和相交于一点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线过点且垂直于轴交抛物线于，两点，且，可求出，便可得出抛物线的标准方程.
（2）根据直线与抛物线的交点联立方程，求出，直线方程，代入准线的横坐标，利用，分别与准线相交的纵坐标相等，可知直线，和相交于一点.
【详解】（1）解：设抛物线的标准方程为，则
将代入，可得
所以，则
所以抛物线的标准方程失.
（2）证明：由（1）可知，，
设直线的方程为，
联立则
设，，则，
直线的方程为，即.
令，解得；
直线的方程为，即.
令，解得，
因为，
所以直线，和相交于一点.
4．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知等式，结合平面两点距离公式进行求解即可；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】（1）设，
因为，
所以，
平方化简，得；
（2）直线与双曲线：的方程联立，得
，
设，
所以有且，
所以，，
因为，
所以，
化简，得，
把，代入，得
，化简，得
，因为且，
所以有且，解得，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以点A到直线距离的最大值为，最小值为，
所以点A到直线距离的取值范围为，
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合直角的性质得到等式是解题的关键.
5．（2022·河北秦皇岛·统考二模）已知双曲线的左 右焦点分别为，，虚轴长为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知，若的外心的横坐标为0，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据虚轴长为，离心率为，由求解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，根据外接圆的圆心的横坐标为0，得到判断.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据直线与双曲线的右支交于，两点，求得k的范围，设线段的中点为M，利用弦长公式和求解.
（1）
由题知
因为，所以，
故双曲线的方程为.
（2）
由（1）知.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，.
因为为等腰三角形，且外接圆的圆心的横坐标为0，
所以.
因为，，所以，故此时不合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组得，
由
解得，即或.
设，，则，，
因为，
所以线段的中点为，
且.
设，因为在线段的垂直平分线上，所以，
得，即，故.
因为，且，
所以，
化简得，
得或（舍去），
所以直线的方程为，
即直线的方程为或.
6．（2022·河北衡水·统考二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左 右焦点为，离心率为.过点作直线与椭圆相交于两点.若是椭圆的短轴端点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断是否存在直线，使得，，成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设，由数量积坐标运算可得，结合离心率和椭圆的关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）设，与椭圆方程联立，由可得的范围及韦达定理的形式，进而得到，由可构造方程求得，不符合的范围，则直线不存在.
(1)
由题意知：，即；
当为椭圆的短轴端点时，不妨设，则，，
，
又，，即，解得：，，，
椭圆的标准方程为；
(2)
设，
由得：，
，，
设，，则，，
，
，，
同理可得：，
，
又，，整理得：，
即，解得：，
，不存在直线符合题意.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的存在性问题的求解，求解此问题的基本思路是假设直线存在，与椭圆方程联立后确定的范围；利用韦达定理表示出已知中的等量关系后，通过求解的值来确定是否存在满足题意的直线.
7．（2022·河北张家口·统考三模）已知，点，，动点P满足，点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相切，与曲线交于M N两点，且（O为坐标原点），求曲线E的离心率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；
（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.
（1）
设，由得，整理得即为曲线C；
（2）
与曲线C相切，，即.
设，，
将代入曲线E整理得：，
，，
，.
，，即.
，
，整理得，
，即，，.
故曲线E的离心率为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
8．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.
(1)求点轨迹的方程；
(2)过点的直线与交于 两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点坐标根据题意可得，化简整理；（2）联立方程由韦达定理可得，，由题意可得且代入化简整理．
(1)
设点坐标为，且.
由题意，
整理得
(2)
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB的中点
联立方程得
则，且，
从而，即
设，由于为正三角形，则
，即，即
又∵，，
，
故，即，
即
即，解得，
直线的斜率
9．（2022·河北沧州·统考二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)点在定直线上.
【分析】（1）解方程组可得答案；
（2）设， 的方程与椭圆方程联立利用韦达定理代入，可得直线的方程、直线的方程，联立两直线方程得，由化简可得答案.
（1）
由题意得，解得，
所以椭圆的方程是.
（2）
点是在定直线上，理由如下，
由（1）知，设，
，将的方程与联立消，得，
则，得且，且，
因为，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
联立直线与直线的方程，得，
得，
所以
所以点在定直线上.
10．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.
【详解】（1）设点，由题意可知，
所以，解得．
因为，所以．
所以抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立方程组消去得，
所以．
设，则
，
又因为，
所以，即直线的斜率成等差数列．
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.
11．（2022·河北邯郸·统考二模）已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．
【答案】(1)；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据左右顶点的定义，结合代入法、三角形面积公式进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与椭圆标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式进行求解即可.
（1）
因为△PAB的面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点，
所以有；
（2）
由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为，
与椭圆方程联立为：，
设，
因为，所以，，
直线AG的方程为：，令，
得，即，
同理可得：，
，
因为，
所以有，
于是有，
因此为定值.
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题关键.
12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，点为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且倾斜角为钝角的直线与椭圆交于两点（其中点在轴下方），为的中点，为原点，求当最大时，的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入圆和椭圆方程，可解得，由此可得椭圆方程；
（2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由此可得点坐标，利用，结合基本不等式可知当时，最大，由可求得结果.
(1)
设，，则以为直径的圆为：，
，即，
又，，，椭圆的方程为.
(2)
由题意可设直线，，
由得：，则，
，，
，则，，
；
设直线倾斜角为，直线倾斜角为，，
，
，（当且仅当，即时取等号），
即当时，取得最大值，此时，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题中的三角形面积的求解问题；求解三角形面积的关键是能够利用直线斜率表示出，利用基本不等式确定的最大值，由取等条件确定的取值后即可求解
13．（2022·河北·校联考模拟预测）已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆上的点到两焦点的距离和为2a，可得a的值，再由点在椭圆上，代入方程可求得b的值；
（2）设直线方程，联立直线与椭圆方程消去y，可得 ， ，关于k的代数式，由，转化成求关于k的函数的最值，通过换元法求得.
【详解】（1）∵椭圆上的点到两焦点的距离和为，∴，∴，
∵点在椭圆上.
∴，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，消去得，
设，
∴，解得，
，，
∴
，
令，
∴，
所以当时，△ABE面积最大，最大值为.
14．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线：和椭圆：有共同的焦点F
(1)求抛物线C的方程，并写出它的准线方程
(2)过F作直线交抛物线C于P， Q两点，交椭圆E于M， N两点，证明：当且仅当轴时，取得最小值
【答案】(1)抛物线方程为，准线为.
(2)证明见解析
【分析】(1)根据椭圆中“”的关系求出焦点，根据共焦点即可求解；
(2)利用韦达定理分别表示出，即可证明.
【详解】（1）根据椭圆：可得，所以，
则椭圆的右焦点也为抛物线的焦点，所以，解得，
所以抛物线方程为，准线为.
（2）由题可得，直线的斜率不等于0，所以设，
设，
联立整理得，
所以，
所以，
设，
联立整理得，
所以，
所以
所以,
所以，因为为常数，
所以当，即时，取得最小值，
此时的方程为垂直于轴,所以命题得证.
15．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案;
（2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线，联立双曲线与直线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案.
【详解】（1）因为实轴长为4，即，，
又，所以，，
故C的方程为.
（2）由O，A，N，M四点共圆可知，，
又，即，
故，
即，所以,
设，，，
由题意可知，则直线，直线，
因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，
故M坐标为，所以，
又，由，则，
整理可得，
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线，代入双曲线方程：中，
可得，所以，，
又
，
所以,
故，即，所以点P坐标为.
【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.
16．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的离心率小于.点P在椭圆C上，，且面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点M（1，1），A，B是椭圆C上不同的两点，点N在直线l：上，且，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，分别与椭圆以及直线联立，求得三点坐标间的关系，由此计算出为定值.
(1)
，则，
当为上顶点或下顶点时，的面积最大，，
由解得.
所以椭圆的方程为.
(2)
由于，，所以四点共线，
由（1）得椭圆的方程为，故在椭圆内，
所以直线与椭圆必有两个交点，不妨设在之间，在的延长线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
，即,
，即.
由，得，
所以.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
.
由解得，
由，得，
所以
.
综上所述，为定值，且定值为.
17．（2022·河北保定·统考一模）直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上．
(1)求证：直线恒过定点，并求出点坐标；
(2)以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）设，，，利用点斜式写出直线，的方程，由在两直线上，即可知直线的方程，进而确定定点.
（2）联立抛物线和圆：，由题设及一元二次方程根的个数求参数r的范围，由结合韦达定理得到关于r的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围.
(1)
设，，，则，，
直线为：，同理直线为：，
把代入直线，得：，
∴，都满足直线方程，则为直线的方程，故直线恒过定点．
(2)
如图，设圆的半径为，，，，，
把代入圆：，整理得，
由题意知：关于的一元二次方程有两个不等实根，则，可得．
，
令，由得：，则，
令且，则，
故在上，递增；在上，递减；
所以，又，，故的取值范围是，
综上，的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：第二问，由圆：，联立抛物线方程，结合四边形面积公式得到关于参数r的表达式，再应用函数思想并利用导数求面积的范围.
18．（2022·河北·校联考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．
(1)求C的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，建立关于的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）由题意，设直线的方程为，直线的方程为，点 ，联立，由韦达定理可得，同理可得，由直线的方程可得，同理可得，然后计算即可得证.
【详解】（1）解：由已知可得，解得，
所以双曲线C的方程为；
（2）证明：由题意，设直线的方程为，直线的方程为，点 ，
由，得 ，
则，得，
所以，
同理可得，其中满足，
直线的方程为，令，得,
又，所以，即，
同理可得，
因为，
所以两点关于轴对称.
19．（2022·河北唐山·统考二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．
(1)求的离心率；
(2)如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证：；
②若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明过程见解析；②.
【分析】（1）直接将椭圆转化成标准方程，然后代入离心率公式即可；
（2）分别求出、的中点坐标，得出中点重合即可证明①；对于②，分别求出被椭圆截得的弦长以及到的距离，得出面积表达式，通过变形式子求出最值.
【详解】（1）椭圆的标准方程为：，
则椭圆的离心率为
（2）对于①，设，，，，
直线与联立整理得
则
则的中点坐标
同理可知的中点坐标.
所以与中点重合，故.
对于②，由①知，直线被椭圆截得弦长为
把代入得，
把代入得，
到的距离为，
则面积为：
当时，的面积最大值是.
【点睛】本题考查离心率的求法，考查弦长公式、中点坐标公式、面积公式等几何关系的应用，解析几何解题时应注重几何关系的寻找，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.
20．（2022·河北保定·统考二模）已知抛物线.
(1)直线与交于、两点，为坐标原点.
从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.
①证明：.
②若，求的值；
(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)存在，定值为.
【分析】（1）选①，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用两点间的距离公式以及抛物线的焦点弦长公式、韦达定理可证明等式成立；
选②，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出、，利用平面向量数量积的坐标运算可出关于的等式，即可求得的值；
（2）分析可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合已知条件可得出、所满足的关系式，可求得直线所过定点的坐标，再由，结合直角三角形的性质可知当为线段的中点时，为定值，即可得出结论.
【详解】（1）解：选①：设点、，
联立可得，（*）
当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，，，
则，，
所以
.
因为经过抛物线的焦点，
所以，
故.
选②：设点、，
联立可得，（*）
当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，，，
则，，
.
因为
，
所以，解得.
（2）解：若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立得，，
由韦达定理可得，.
因为，所以，
所以，即.
所以直线的方程为，则直线过定点.
因为，所以当点为的中点时，为定值，
故存在定点，使得为定值.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
21．（2022·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，右顶点为A，M，N是椭圆上关于原点对称且异于顶点的两点，记直线与直线的斜率分别为，且.
(1)求C的方程；
(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线与直线的斜率分别为且，证明：直线l恒过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）设出，由斜率公式表示出，由及在椭圆上得，再结合焦点求出，即可求解；
（2）斜率不存在不合题意，斜率存在时设，联立椭圆方程求得，表示出，由解得或，求出定点坐标即可.
(1)
设，则，又，则，，
又，则，故，又，故，C的方程为；
(2)
当直线l斜率不存在时，易知直线与直线关于轴对称，，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线，联立椭圆方程，
整理得，则，
，又，，
由可得，整理得，
则，整理得，即，
故或，当时，，直线，过定点，不合题意；
当时，由得，直线，过定点，故直线l恒过定点.
22．（2022·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，短轴的两个顶点分别为M，N，为等边三角形，且的面积为，
(1)求C的方程；
(2)若圆的方程为，直线l与圆相切并且交C于A，B两点，证明：，并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）依题意可得，且，即可求出、、，从而得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线方程为，，，又直线与圆相切得到，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，通过计算证明，则，再由弦长公式表示，即可求出最大值；
(1)
解：依题意，，又，且，
解得、、，所以椭圆方程为
(2)
解：若直线的斜率不存在，则，
取代入得，此时，，
所以，即，且；
当直线的斜率存在，设直线方程为，，，
由直线与圆相切，所以，即，即；
由，则，即，
所以，
所以
，
所以，
因为，
所以
所以当，即时
因为，
所以，
所以；
23．（2022·河北唐山·统考三模）在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用两圆内切及直线与圆相切列式，化简即得曲线C的方程.
（2）设出直线l的方程及，求出直线的方程及点P的坐标，联立直线l与曲线C的方程，借助韦达定理求出点B的坐标作答.
【详解】（1）设动圆圆心，半径为r，依题意，，
于是得，化简得，
所以曲线C的方程为.
（2）依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为，
由消去y并整理得，，则有，
直线的斜率存在，设直线的方程为：，由消去y并整理得：
，则有，解得，
切线的方程为，同理可得，切线的方程为，由，解得，即点，
则，
因，即，
即，化简得，，
因此，，于是得点或，直线l的斜率，
所以直线l的方程为或.
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
24．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）先求得椭圆C的离心率，又椭圆C的短轴长为，可得a,b,c的值，即得椭圆C的标准方程；
（2）利用直线上两点的距离公式算得的表达式，可得.
（1）
设椭圆C的半焦距为c．
因为双曲线的离心率，
所以椭圆C的离心率，
又椭圆C的短轴长为，所以，解得．
联立解得，
故椭圆C的方程为．
（2）
设点，易知直线l的斜率一定存在，设直线，
联立消元可得，
由题意，，即且，
整理得．
由过点A的切线是唯一的得，
所以直线，
又直线交于点M，得直线．
联立可得．
所以，
，
即，当且仅当，即时取等号．
故面积的最大值为2．
25．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．
(1)求的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率可得，的关系，再由的周长可得的值，进而求出的值，可得的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的代数式，再由向量的关系，可得的横纵坐标与，的坐标的关系，将的坐标代入椭圆方程，可得参数的值，求出到直线的距离，代入三角形的面积公式可得为定值．
【详解】（1）由题意可得，，可得，，所以，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）证明：设，，，，，，
因为，即有
可得，，
由题意显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，整理可得，因为直线经过焦点，其在椭圆内部，显然，
且，，，
所以，
因为在椭圆上，所以，
可得，整理可得，
可得或（舍，
所以，
点到直线的距离，
所以为定值．
【点睛】结论点睛：圆锥曲线中的弦长公式：弦长，其中为直线与圆锥曲线联立的关于的一元二次方程的二次项系数，
若直线引入的参数为，则弦长，其中为直线与圆锥曲线联立的关于的一元二次方程的二次项系数.
26．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知满足与的斜率之积为.
(1)求的轨迹的方程.
(2)是过内同一点的两条直线，交椭圆于交椭圆于，且共圆，求这两条直线斜率之和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据直线斜率公式，结合已知进行求解即可；
（2）根据四点共圆的性质，结合直线的参数方程进行求解即可.
【详解】（1）因为满足与的斜率之积为，
所以有；
（2）设，因为在内，
所以，
设的参数方程为：，为直线的倾斜角，
把代入中，得
，
，
即，
设直线的倾斜角为，上式用代，
同理可得，
因为是过内同一点的两条直线，交椭圆于交椭圆于，且共圆，
所以由圆的相交弦定理可知：，
因为，所以有，
因为是直线的倾斜角，所以，
所以，
因为是过内同一点的两条直线，
所以，因此由，
设的斜率为，因此有，
即这两条直线斜率之和为.
【点睛】关键点睛：利用直线的参数方程、圆的相交弦定理是解题的关键.
27．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，
（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积，根据不等式即可求解最值.
【详解】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，则
由可得：
直线的方程为，
令可得点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解.
28．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，再根据列出相应的方程，组成方程组解得答案;
（2）设，，从而表示出的周长，分类讨论，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，从而结合基本不等式，求得答案.
【详解】（1）由题意可知，
当点M在x轴上时，，不妨设，
得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设，，
则，
同理，
，
同理，
所以的周长为，
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或.
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为4.
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为.
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，
由直线PQ与圆相切，得，即，
联立得，化简得，
则，易知恒成立，
而，即同号，
当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，
此时的周长为定值.
当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，
此时的周长
，
因为，所以，当且仅当，
即或时取等号.
从而，所以周长的取值范围为（4，8],
综上所述，周长的取值范围为.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时三角形的周长范围问题，综合性很强，难度较大，解答的关键是理清解题的思路，要明确将直线和椭圆方程联立，利用根与系数的关系式进行化简，从而求得三角形周长范围，难点是计算量很大，很繁杂，要十分细心.
29．（2022·河北·校联考模拟预测）已知椭圆，椭圆与有相同的离心率，且短轴的一个端点坐标为，O是坐标原点.
(1)求的方程；
(2)若直线l与有且仅有一个公共点，与交于A，B两点，试问的面积是否为定值？若是，求的面积；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)面积为定值，
【分析】（1）求出，由离心率求出，求出椭圆方程；（2）考虑直线l斜率不存在时的面积，再考虑直线l斜率存在时，设出直线方程，先与联立，用根的判别式得到，进而再与联立，求出弦长，用点到直线距离公式求出高，进而求出的面积，综上求出答案.
(1)
由题意得：，
又的离心率为，所以，
解得：，故的方程为：.
(2)
当直线l斜率不存在时，此时，
不妨令，此时，解得：，
所以，，
当直线l斜率存在时，设直线方程为：，
与联立得：，
由，
解得：，
与联立得：，
设，
则，
则
则点O到直线的距离为，
则，
综上：的面积为定值，为.
【点睛】求解圆锥曲线相关的面积范围或定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立后利用韦达定理求出两根之和，两根之积，结合题干条件列出方程，表达出面积，进行求解，注意直线方程斜率不存在的情况要单独考虑.
30．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）椭圆的上、下顶点分别为A，B. 在椭圆上任取两点C，D，直线斜率存在且不过A，B. 交于，交于，直线交y轴于R，直线交x轴于，直线交x轴于.
(1)若a，b为已知量，求；
(2)分别作，于E，F，求.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）设出直线，联立直线与抛物线，由韦达定理结合向量数量积的坐标表示化简即可.
（2）由（1）结论可求得，由向量数量积几何意义可得，即，结合几何关系可得，则有.
【详解】（1）由题意知，，直线斜率存在且不过A，B，可设为，，，则有.
联立方程得，消y得，，
则，.
直线为，直线为，交于，联立得，解得.
故
.
（2）直线为，直线为，交于，联立得，
则由（1）结论可得.
则有，即，即，故.
又，于E，F，故.
则有，，则有，
故.
【点睛】直线与圆锥曲线问题，往往借助韦达定理去表示所求问题，一般难点在于运算.

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