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陕西省部分名校2022-2023学年高二上学期期末考试
数学试卷（文科）
考生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2. 请将各题答案填写在答题卡上.
3. 本试卷主要考试内容：北师大版必修5占30%，选修1-1占70%.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆C：的长轴为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
3. 已知p：，；q：，.则下列命题中，真命题是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，则（ ）
A. －12 B. －3 C. 3 D. 12
5. 已知等比数列的前n项乘积为，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，且，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 16 C. 11 D. 26
8. 已知数列满足，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 函数的最小值是（ ）
A. B. 4 C. D. 3
10. 设，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
11. 已知P为抛物线C：上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知双曲线C：的焦距为10，则______.
14. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______.
15. 已知函数的零点恰好是的极值点，则______.
16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上的一点，若，则______.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数满足.
（1）求的值；
（2）求的图象在处的切线方程.
18.（12分）
已知抛物线C：，是抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为，求直线l的方程.
19.（12分）
已知数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
20.（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）设，当的值最大时，求的面积.
21.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：当时，在上存在唯一零点.
22.（12分）
已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值.
高二数学试卷参考答案（文科）
1. D 椭圆C：的长轴为4.
2. A 由余弦定理可得，所以.
3. C 由题意可得p为真命题，q为假命题.故为真命题.
4. B 因为，所以.
5. A 因为，所以.因为，所以.
6. C 因为的渐近线方程为，所以，.
7. C 记抛物线C的准线为l，作于T，当P，Q，T共线时，有最小值，最小值为.
8. C 因为，所以或，故“”是“”的必要不充分条件.
9. C 由题意可得，令，，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是.
10. A ，当且仅当，即时，等号成立.
11. A 如图，设点P的坐标为，准线与y轴的交点为A，则，，所以的周长为.设函数，则为减函数，因为，所以的解为.
12. A 设函数，，则，
所以在上单调递减，从而，
即，则.
13. ，解得或（舍去）.
14. －1 作出可行域（图略），当直线经过点时，取最小值，最小值为－1.
15. －1 设是的零点，也是的极值点，则，所以，解得，.
16. 3 因为
，所以.
17. 解：（1）因为，所以，解得.
（2）由（1）可得，，
则，.
故所求切线的方程为，即.
18. 解：（1）因为，
所以，
故抛物线C的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，
则，
两式相减得，整理得.
因为MN的中点为，所以，
所以直线l的方程为，即.
19. 解：（1）当时，.
当时，，
所以，
因为也满足，所以通项公式为.
（2）因为，
所以.
20. 解：（1）三角形的性质和正弦定理可知，其中，所以，
因为，所以，故，.
（2）由正弦定理有，
且，
其中，
所以当时，有最大值，此时，，
所以，
由正弦定理有，故，
所以.
21.（1）解：当时，.
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：，
令，得，因为，所以.
当时，，在上单调递减；
当时，，在单调递增.
而，
且，
又因为在上单调递增，
所以在上有唯一零点.
当时，恒有，无零点.
综上，当时，在上存在唯一零点.
22.（1）解：由题意知.
因为双曲线C的渐近线方程为，所以.
因为，所以，，
故双曲线C的标准方程为.
（2）证明：设，.
①当直线l的斜率存在时，设l的方程为，
联立方程组，化简得，
则，即，
且.
因为，
所以，
化简得，
所以或，且均满足.
当时，直线l的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，直线l的方程为，过定点.
②当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
联立方程组，得（舍去）或，此时直线l也过定点.
因为，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，为该圆半径.
故存在定点，使为定值6.

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