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第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线
【考点梳理】
求曲线的轨迹方程
直接法、定义法、相关点法
椭圆方程
椭圆相关计算
（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义　
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经，最长为。
（3）最大角:是椭圆上一点，当是椭圆的短轴端点时，为最大角。
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）
双曲线
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
抛物线
（1）、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
（2）、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
（3）、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
（5）、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型题型讲解】
考点一：椭圆
【典例例题】
例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（ ）
A．13 B．40 C．5 D．
【答案】．A
【详解】解：因为椭圆的焦距为6，
可知，则，所以，
所以，解得：.
故选：A.
例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．
【答案】21．(1)，离心率为(2)
（1）
由题意可得：，，，
可得，，，
所以椭圆C的方程为，
离心率为．
（2）
当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程，
得：．
设，，则．
因为直线，垂直，斜率之积为，所以，
所以．
将代入，整理化简得：，
所以或．
由直线，当时，直线l经过，与B点重合，舍去，
当时，直线l经过定点，
当直线斜率不存在时，可设，则，，
因为，所以，解得，舍去．
综上所述，直线l经过定点，
而F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，
其，，所以圆心，半径，
所以圆的方程为，即为点H的轨迹方程．
【方法技巧与总结】
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长，短轴长
离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得
C．直线的斜率为 D．平分
【答案】ACD
【详解】令椭圆半焦距为c，则，由得，，椭圆，
，而，则点，
对于A，椭圆C的离心率，A正确；
对于B，设，即有，，
即为锐角，B不正确；
对于C，直线的斜率，C正确；
对于D，直线的方程为，点Q到直线的距离，
即点Q到直线与的距离相等，则平分，D正确.
故选：ACD
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.
【答案】
【详解】
设过的两条直线与圆分别切于点，
由两条切线相互垂直，知：，
又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
所以，即得，所以，
所以椭圆C1的离心率，又，
所以.
故答案为：.
3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围为______．
【答案】
【详解】当点P在椭圆C上运动时，，
故只需，即，
，解得：．
故答案为：.
4．（2022·广东肇庆·二模）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若，直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，由，得，故．
因为直线的斜率为，
所以，所以，
又，所以，，
又，
故，得，
所以.
故选：D．
5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正三角形的边长为，
设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，
设，则有，
由椭圆的定义可知：，
，解得：，，
在中，由余弦定理可知：，
故选：B
6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为
求椭圆的标准方程
若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值
【答案】（1）（2）
【详解】设椭圆的焦距为,则
椭圆的方程化为
由得
由条件知
椭圆的方程为.
由知,过与直线平行的直线方程
由得
设,则
由点是椭圆上一点,得
,当且仅当时,取等号,
的最大值为
7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，(－5,0).
(1)
由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．
∵，
∴
解得从而b2＝a2－c2＝3．
∴椭圆C的方程；
(2)
设直线l的方程为y＝kx＋m，，．
∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由得．
时，，，
∴
．
由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，
故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).
8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在定点，使得为定值
(1)
解：由离心率为，得，及，
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，
且与直线相切，
所以，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为；
(2)
解：假设存在，设，
联立,消整理得，
，
设，
则，
由，
则
，
要使上式为定值，即与无关，
则应，即，
此时为定值，
所以在x轴上存在定点，使得为定值.
9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)
由题知，得，
又因为右焦点为，则，
解得，所以，
所以椭圆的方程为.
(2)
设点的坐标为，则，
所以直线的方程是，
当时，，所以点的坐标为，
所以，，
所以.
因为点在椭圆上，所以，即，
所以
，
又因为和是锐角，
所以.
10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，．
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
(1)
∵在上，∴，
当时，直线的方程为：，
将代入，并整理得，
解得，或，
∴，解得，
∴椭圆的方程为：.
(2)
由题意知，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立得
∴，且，
∴
，
∴，即为定值.
11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆的离心率为，又点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，且.
(1)
解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.
(2)
解：①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，
消去并整理，得，
因为直线和椭圆有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，
，化简并整理，得，
因为直线与垂直，所以直线的方程为，
联立，解得，即点.
，
所以，；
②当切线的斜率为时，直线，过点作直线的垂线为，
即此时或，；
③当切线的斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线为，
即此时或，则.
综上所述，恒为定值．
12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点 若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.
【答案】（1） （2）存在定点P(1,0)
【详解】(1)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是．
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－
由得N(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．
设P(x1,0)，则对满足(*)式的m、k恒成立．
因为＝(－，＝(4－x1,4k＋m)，由，
得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.
故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.
考点二：双曲线
【典例例题】
例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，，则双曲线C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设为双曲线左焦点，连接，，，由平面几何知识可知，根据对称性，四边形为矩形，在中，，所以，，根据双曲线的定义可知.故选:D．
例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(1)
解：因为双曲线C的渐近线方程为，
则可设双曲线的方程为，
将点代入得，解得，
所以双曲线C的方程为；
(2)
解：显然直线的斜率不为零，
设直线为，，
联立，消整理得，
依题意得且，即且，
，
直线的方程为，
令，
得
.
所以直线过定点.
【方法技巧与总结】
1.双曲线的定义：焦点三角形
2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在双曲线中，，，，则、，
因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，
，则为直角三角形，可得，
由双曲线的定义可得，所以，，
可得，
联立，解得，
因此，.
故选：C.
2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】双曲线的渐近线方程为，，，离心率，
故选：D．
3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点作的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的离心率为
【答案】AC
【详解】如图，
延长交于Q，则，因为，所以．因为为的中位线，所以．因为，所以，故双曲线C的渐近线方程为，离心率．
故选：AC.
4.（2022·广东东莞·高三期末）已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.
【答案】
【详解】双曲线：的焦点为
双曲线：的渐近线为
由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线为
则则点到渐近线的距离为
故答案为：4
5.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、、三点，若四边形的面积为，则的离心率为______．
【答案】
【详解】不妨设点为双曲线的右焦点，则，
则以为圆心，且过原点的圆的方程为，
联立，解得或，
不妨设点，由对称性可知点，
由已知可得，即，
即，由已知，解得，
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：.
6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________．
【答案】 4 -15
【详解】设，如图所示：
因为，所以.
所以，，即.
所以，整理得：，
，即，解得或.
因为，所以，即.
设，由题知：，
因为，所以，即，
所以
又因为，
所以，
所以.
故答案为：；.
29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和
(1)
由题意得：
因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：
解得：
因此，双曲线C的方程为：
(2)
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
由可得：
设、，
则由：，
由直线AM方程，令，得点
由直线AN方程，令，得点
则以EF为直径的圆的方程为：
令，有：
将，代入上式，得
可得：
解得：，或
即以EF为直径的圆经过点和；
②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和
综合可得，以EF为直径的圆经过定点和
考点三：抛物线
【典例例题】
例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D
【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.
故选：D.
例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若抛物线与轨迹按顺时针方向依次交于四点（点在第一象限）.
①求证：直线与直线相交于点；
②设的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.
【答案】．(1)（也可写）
(2)①证明见解析；②
(1)
据题意，设，则
即
故为轨迹的方程；（也可写）
(2)
如图：由圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形
不妨设，，在第一象限，，则
联立消去整理得：
（1）
据题意，方程（1）有两相异正实根
故
①证明：依据圆与抛物线的对称性，直线与直线的公共点必在轴上，
要证直线与直线相交于点，
只要证：三点共线；
只要证：
只要证：
只要证：
只要证：
上式显然成立，且各步可逆，
故直线与直线相交于点
②解法一：
当且仅当，即时，，
此时抛物线方程为
解法二：
当且仅当，即时，，此时抛物线方程为
【方法技巧与总结】
1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.
2.抛物线的性质：焦点弦长
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为， ，，，不妨设，则，
所以，解得：，则，解得：，则，
所以，解得：，则直线AB为，
所以当时，即，解得：，则，
联立与得：，则，
所以，其中.
故选：C
2．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
，解得：，代入抛物线方程得，
则，直线的方程式，即，
点到直线的距离.
故选：D
3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ）
A．点P的坐标为（4，4） B． C．
D．过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，所以由抛物线的定义得，得，所以，且点在第一象限，所以坐标为（4，4），则A正确
对于B，的直线方程为：，由与联立得，Q（），由两点距离公式得，则B正确
对于C，方法一：
方法二：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误
对于D，设，由得，，则，MA切线方程为：，即，由得，，把点代入得，
同理，即两点满足方程：，
所以的方程为：，则D正确，
故选：ABD
4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
【答案】BC
【详解】当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，故A错误；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则 ，则 ，
故
，
令 ，则，
令 ，则 ，
当时， ， 递增，当时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则，
即，
故，
，
所以，故C正确；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，
即最小值为16，故D错误；
故选：BC
5．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
【答案】BCD
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
故选:BCD.
6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，
当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，
则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；
当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，
则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，
由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；
所以，当时，抛物线不完整，
所以，，，，
故选：ABD
【巩固练习】
一、单选题
1．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
2．已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知：，因为，
所以，整理得，
所以，得，.
故选：A
3．已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，
设，由椭圆定义得，
由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，
所以，即，
整理得，得，得，所以．
故选：A
4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1） （2） （3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别，设图（1） （2） （3）中椭圆的离心率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆的离心率，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.由，
所以.
故选：B.
5．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，则，从而．设左焦点为，
则，所以B为短轴端点，
所以．
故选:C．
6．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
7．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，，，
由抛物线的定义可得，
又因为的中点到轴的距离是6，所以，
所以，
所以抛物线的方程为：，
设直线的方程，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得，
，
所以，
解得，所以的方程为：，
.
故选：B
8.过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．与p值有关
【答案】C
【详解】如图所示，
由抛物线的焦点为，准线方程为，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：
则，，，
所以，，
所以，即直线l的倾斜角等于，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为，
故选：C．
二、多选题
9．已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，
分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；
②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；
③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；
④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，
故选：AB.
2．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
【解析】若曲线是椭圆则其离心率为；
若曲线是双曲线则其离心率为；
故选：AC
3．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】AC
【解析】由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.
当时，将代入可得，所以的面积为.
当时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得.
因为，
所以，此时的面积为
综上所述，的面积为4或.
故选：.
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；
对于B，由椭圆定义知：，，
的周长为，B错误；
对于C，当为椭圆短轴端点时，，
，，即，
，C正确；
对于D，，，，D正确.
故选：CD.
5．已知抛物线C：，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)
C． D．直线AB的斜率为
【答案】BCD
【详解】解：易知准线方程为，∴，：，故选项A不正确；
抛物线：的焦点为F(0，1)，所以选项B正确；
设直线，代入，得，
当直线与相切时，有，即，
设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，
故.故选项C正确；
设，，其中，.
则：，即.
代入点，得，同理可得，
故：，故. 故选项D正确.
故选：BCD
三、填空题
1．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.
【答案】
【解析】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故答案为：
2．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
【答案】
【解析】依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，
将其代入，得，又因为，所以，．
故答案为：
3．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知、、，
则，，
所以椭圆的方程可以为（只需满足即可）.
故答案为：（只需满足即可）.
4.因为正三角形内角余弦值为，所以有人将离心率为的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：的上下顶点分别为，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若直线的斜率分别为，则为______.
【答案】
【解析】因为椭圆C：，所以上下顶点的坐标分别为，
设，则且，即，
所以.
故答案为：.
5．抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为___________.
【答案】
【详解】抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，
抛物线方程为，而在抛物线上，则，原点为O，即有，
所以M到坐标原点的距离为.
故答案为：
四、解答题
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.
【解析】（1）因为，， ，故，
故，所以即，
而在椭圆上，故，故，解得，
所以，故椭圆方程为：.
（2）设，，故，而，
由可得，同理.
,
因为在椭圆上，故，故即，
而所以，
故是等腰三角形.
2．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．
①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
(1)(2)见解析
（1）由已知，，点在椭圆上，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为：.
（2）选①，则，设，所以消去得：，所以，所以，则，所以，，消去得：，，所以，所以，则，所以，所以，所以直线的方程为：，所以，所以，故直线恒过定点.选②，则，设，所以消去得：，所以，所以， 所以同理：，所以，所以所以直线的方程为：令，则故直线恒过定点.
3．（2022·广东茂名·二模）已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
(1)
(2)存在；或
(1)
由题意知，，
因为△AOF的面积为1，所以．
又直线AF的方程，即，
因为点O到直线AF的距离为，
所以，解得，，，
所以椭圆C的方程为．
(2)
依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；
当直线斜率不为0时，设直线MN方程为，
联立，得，
易知．
设，，则，，
因为轴，轴，所以，，
所以直线QM：①，
直线NE：②，
联立①②解得，
因为，ME与直线平行，
所以，
因为，
所以，
由，得，
解得，
故存在直线l的方程为或，使得△PMN的面积等于．第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线
【考点梳理】
求曲线的轨迹方程
直接法、定义法、相关点法
椭圆方程
椭圆相关计算
（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义　
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经，最长为。
（3）最大角:是椭圆上一点，当是椭圆的短轴端点时，为最大角。
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）
双曲线
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
抛物线
（1）、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
（2）、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
（3）、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
（5）、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型题型讲解】
考点一：椭圆
【典例例题】
例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（ ）
A．13 B．40 C．5 D．
例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．
【方法技巧与总结】
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长，短轴长
离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得
C．直线的斜率为 D．平分
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.
3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围为______．
4．（2022·广东肇庆·二模）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若，直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为
求椭圆的标准方程
若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值
7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：.
10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，．
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值．
11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆的离心率为，又点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.
12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点 若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.
考点二：双曲线
【典例例题】
例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，，则双曲线C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.
【方法技巧与总结】
1.双曲线的定义：焦点三角形
2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点作的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的离心率为
4.（2022·广东东莞·高三期末）已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.
5.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、、三点，若四边形的面积为，则的离心率为______．
6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________．
29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
考点三：抛物线
【典例例题】
例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若抛物线与轨迹按顺时针方向依次交于四点（点在第一象限）.
①求证：直线与直线相交于点；
②设的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.
【方法技巧与总结】
1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.
2.抛物线的性质：焦点弦长
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ）
A．点P的坐标为（4，4） B． C．
D．过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：
4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
5．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（ ）
A． B． C． D．
4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1） （2） （3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别，设图（1） （2） （3）中椭圆的离心率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
8.过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．与p值有关
二、多选题
9．已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
2．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
3．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C． D．
5．已知抛物线C：，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)
C． D．直线AB的斜率为
三、填空题
1．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.
2．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
3．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.
4.因为正三角形内角余弦值为，所以有人将离心率为的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：的上下顶点分别为，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若直线的斜率分别为，则为______.
5．抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为___________.
四、解答题
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.
2．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．
①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
3．（2022·广东茂名·二模）已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
(1)
(2)存在；或

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