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第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用
【考点梳理】
1.法向量的求解
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
第三步：化解方程组令其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；若，即，则．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；若，即，则．
3.平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
5.点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.
(1)证明： ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
【解析】(1)由平面，平面
又 ，E为CD的中点
又
，.
又，平面
平面. 又
.
(2)由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系.
因为三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
CD=12，AC=
.
设平面PAE的一个法向量为
由得，
令则
设直线EF与平面PAE所成的角为
【方法技巧与总结】
设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
【解析】（1）连接EC，则△ABE △BCE △CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，
所以，，
又因为面面BCDE，面面，面ABE，
所以面BCDE，
又因为面BCDE，所以；
（2）由（1）知FB FC FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面ADE的法向量为，，
令，，
平面AFC的法向量为，
设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为，
，
所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为.
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
【解析】若是中点，连接，作，由知：，
因为面ABC，则面ABC，又面ABC，
所以，，
综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
令，，，则，，，
所以，，
若是面的一个法向量，即，令，则，
又是面的一个法向量，则，
所以面面.
(2)由面ABC，面ABED，则面ABED面ABC，故到面ABED的距离，即为△中上的高，因为，，则，故，
所以上的高.
又面ABC，则，而，有，，
所以为直角梯形，令，则，
综上，，故.
由（1）知：，，，，
所以，，
若是面ABED的一个法向量，即，令，则，
而，则，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为.
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点.
(1)是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大.
【解析】（1）
解：由题得,
所以. 所以△是圆的内接三角形，
所以，
由题得.
假设平面，所以.
此时
所以时，平面.
（2）
解：如图所示，建立以点为坐标原点的空间直角坐标系.
设，
所以
设平面的法向量为，
所以，所以.
设直线与面所成的角为，
由题得.
当且仅当时，直线与面所成的角的正弦值最大.
考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明底面；
(2)设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【解析】(1)
由菱形的边长为3，，
可得：，即有
同理，即有
在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：，，．
可得底面
(2)
解法一：如图，以点A为原点，AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．
由第（1）问可得底面，可得：，．
则为二面角的平面角，由题意可得：
考虑，，可得．
利用正弦定理
可得：，可得点T的坐标为．
点，，
设面的法向量为，则有，即：．
令，则有，
则有：
则PC与面PAT所成角的正弦值为．
解法二：由第（1）问可知底面，，
所以，，．
则为二面角的平面角，由题意可得：
考虑，，可得．
利用正弦定理
可得：，即点T为BC上靠近点B的三等分点
所以在中，由余弦定理可得：，
设过点C作平面PAT的垂线，垂足为Q，连接PQ，
所以为PC与面PAT所成角
考虑三棱锥，由于，
，
因为，所以
所以
所以PC与面PAT所成角的正弦值为
解法三：由面，可得：，．
故为二面角的平面角，由题意可得：
因为为锐角，所以
故
过点C作CQ垂直于AT于Q，连接CQ、AC
则
∵，∴
∵面，∴
又因为，，故面PAT
故为与面PAT所成的角，∴
即PC与面PAT所成角的正弦值为
【方法技巧与总结】
设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【解析】（1）
证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ,
所以.
因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,
又因为平面ABE，
所以.
又因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
（2）
由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设，，则,
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，
三棱锥的体积最大,
下面求二面角的余弦值：
法一：
由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.
又因为，，所以平面BEF.
因为平面BEF，所以,所以是二面角的平面角,
由（1）知为直角三角形，则.
故,
所以二面角的余弦值为.
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则.
由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.
设平面BDF的法向量为，由，，
得，即，即，
取，得.
设二面角的平面角为θ,
则，
由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】(1)
证明：连接，因为四边形是菱形，则，
因为，故为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，所以.
因为，所以.
又，且，所以平面，所以平面.
(2)
解：连接，因为，，是的中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
设，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，.
设平面的法向量是，
则，取，可得.
设平面的法向量是，
则，取，可得.
所以，
由图可知，二面角为钝角，因此，二面角的余弦值是.
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证：平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
【解析】(1)
证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，
因为M，F分别为ED和EC的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
(2)
解：如图所示，过E作交AB于O，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，
要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点，
取CD的中点G，连接OG，因为，，所以，
因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直，
以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，
设，所以，
可得，，，则，，
设平面的一个法向量，则，可得，
令，则平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二成角的余弦值为．
4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(2)若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积．
【解析】(1)
连接DM，显然且，
∴四边形BCDM为平行四边形，故且，
∴△是正三角形，故，
又平面ABCD，平面ABCD，则，又，
∴平面PAD，又平面PMN，
∴平面平面PAD．
(2)
（方法一）连接BD，易知，
∴，，又PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，则PD⊥AD，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，，，
平面PAB的法向量为，则，令，得，
而平面ABCD的法向量为，
所以，解得，
所以．
（方法二）连接DM，由M为AB的中点，所以且，
所以BCDM为平行四边形，故，
所以△为等边三角形，在AM上取中点H，连接DH，PH，
所以，则，又平面ABCD，AM平面ABCD，
所以，易知：为的二面角，
所以，又在中，，
所以.
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.
(1)求证：；
(2)点为棱上一点，若，求二面角的余弦值.
【解析】(1)取中点，连结.
因为，则，
由余弦定理可得，
，故，
分别为的中点，则，故.
又为等腰直角三角形，为的中点，则.
又平面，
又面.
（2）由（1）可知，，所以，为直角三角形，
以为原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系
如图所示，
则
因为为的中点，所以则，
设平面的一个法向量为，
则,即
不妨取，则，
由题可知为面的一个法向量
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
所以
所以.
6.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；
（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：
【解析】（1）过点A作直线，交直线BC于点M，则，
，
以点A为原点，直线AM AD AP分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，
则，
设点，，
设平面PEA的一个法向量为，
则，取，得，
设平面PED的一个法向量为，
则，取，得，
若平面平面PED，则，
，解得：或．
故点E是BC中点或与点C重合时，平面平面PED．
（2）平面ADE的一个法向量为，
，
，
均为锐角，
．
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是的中点，且．
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求A到平面的距离．
【解析】解：（1）由已知，
则面，
则
三棱锥的表面积等于，
，，
圆锥的高
则，
对于，
则，
所以，
则，
故三棱锥的表面积为；
（2）因为D是的中点，则A到平面的距离即为B到平面的距离，
过B作垂足为，
因为面，且面
所以面面，又，面面，
则面，
则线段长度即为B到平面的距离，
，
所以A到平面的距离为.
例2.在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
（2）若，求点D到平面AEF的最大距离．
【解析】（1）设平面与平面的交线为，
因为平面，平面平面，平面
所以．
由正方体知，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以
取中点，连接，易知，所以，
又因为为中点，所以为中点．
（2）以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，其中
设平面的法向量为
则有，不妨取，
则
所以，当，即点与点重合时，取等．
所以点D到平面AEF的最大距离为．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形中，，，，， 分别是，的中点，将四边形沿折起，如图②，连结，，.
(1)求证：；
(2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长的最小值.
【解析】(1)
证明：因为四边形是直角梯形，，分别是的，中点，
所以，，，
又，所以平面，
又因平面，所以；
(2)
解：由（1）可知平面，
因为平面，所以，
在中，，
又，
所以，即，
所以，，，
以为原点，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
设，，，
所以，
得：，，，
，
则当时，有最小值，
所以线段长的最小值为.
2.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
【解析】（1）证明：由题知，
因为，所以，
又，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，为中点，于是，
又，所以平面
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以，所以平面，
于是两两垂直
如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系
则
所以
设平面的法向量为，
则，即
令，则
于是
设，则
由于直线与平面所成角的正弦值为
于是，即，整理得，由于，所以
于是
设点到平面的距离为
则
所以点到平面的距离为
3.如图，矩形和梯形，，平面平面，且，过的平面交平面于．
（1）求证：与相交；
（2）当为中点时，求点到平面的距离：
【解析】（1）证明：因为矩形，所以，且
又因为平面，平面，所以平面，
又由过的平面交平面与，
由线面平行的性质定理，可得，
又由，所以，且，
所以直线与相交．
（2）由平面平面，其交线为，
且，平面，所以平面，
又由四边形的矩形，以为原点，以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为，
所以点到平面的距离为．
4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．
【解析】（1）（1）由长方体可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，．所以．
设平面的一个法向量为，
则有，即，令，则，，故，
所以，故与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知，，，所以，假设存在这样的点P，设，由题意可知，所以，因为，则有，所以，又，所以，解得（舍），，所以当时，，此时点到直线的距离为．
【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，，，
则，，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值．
故选：A．
2．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），，．
所以，．
对于①：当E为的中点时，．设平面的一个法向量为，
则，不妨令x=1，则，
所以平面A1BD的一个法向量为．
又因为，所以与不垂直，所以直线平面不成立．故①错误；
对于②：三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
又，高为a，所以．故②错误；
对于③：当E为的中点时，．平面的一个法向量为，
而．
设直线B1E与平面所成的角为，所以．
所以，所以，
即直线与平面所成的角正切值为．故③正确；
对于④：设．因为，，
所以在上得到投影为．
所以点E到直线的距离为．
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为．
当时，截面为等腰梯形．设截面交于F．所以，
高，所以其面积为．
记，
所以，所以在上单调递减函数，
所以，即．
因为，所以
当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为的正三角形，其面积为．
综上所述：．故④正确．
故选：B
二、多选题
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标为
B．若平面的法向量，则直线平面
C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，所以点关于平面对称的点的坐标为，故A正确；
对于B：因为，，所以，因为平面的法向量，所以，所以直线与平面不平行，故B错误；
对于C：因为、，所以，因为，分别为平面，的法向量，所以平面平面，故C正确；
对于D：因为，，所以，所以点到直线的距离，故D正确；
故选：ACD
3．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则（ ）
A．平面 B．与不垂直
C．的取值范围为 D．的最小值为
【答案】AD
【解析】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2
A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确．
B：如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，
设，则，
当时，，当且时与不垂直，故B错误．
C：判断以为直径的球与的交点情况，
如图3，取中点F，则，，
所以以为直径的球与没有交点．所以，故C错误．
D：将面，翻折至与共面，此时点C与重合，所以的最小值为，且，故D正确．
故选：AD
图1图2图3
三、填空题
4．如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：
①；②；③．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
【答案】若，则；若，则．
【解析】如图，建立空间直角坐标系
则
设，则
而
所以以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出两个正确的命题：
若，则
若，则
答案任填其中一个即可
故答案为：若，则（若，则）
5．如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．
【答案】
【解析】在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则，．
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设与平面所成角为，
则．
故答案为：
四、解答题
6．如图，在三棱柱中，，．
（1）证明：平面平面．
（2）设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）设．
在四边形中，∵，，连接，
∴由余弦定理得，即，
∵，
∴．
又∵，
∴，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
（2）取AB中点D，连接CD，∵，∴，
由（1）易知平面，且．
如图，以B为原点，分别以射线BA，为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
则，，，，，．
，，
设平面的法向量为，则，
得，令，则取，
，，
AC与平面所成角的正弦值为．
7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
【解析】（1）取中点，连接，
则，．
再取中点，连接，，易得，，
于是，四边形为平行四边形，得，
从而，，
那么平面，
又平面，
故平面平面．
（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则，
，，，，，
设平面的法向量
，，，
由，得：
，取，得，
所以平面的法向量．
同理可得：平面的法向量，
则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
8.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．
（1）指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）E为的中点．
作图如下：如图，取的中点E，连接DE，．
（2）设在平面内的射影为O，点F在AB上，且．
以O为坐标原点，OF，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，，
所以，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，取．
设平面的法向量为，
则，取．
所以，
由图可知二面角为锐角，故其余弦值为．
9.如图，圆锥PO的母线长为，是⊙的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
（1）证明：；
（2）设点Q满足，其中，且二面角的大小为，求的值．
【解析】（1）∵，，，
∴
∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC平面，平面PBC，，
∴PB⊥平面PAC，又平面PAC，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，，
∵
∴；
（2）在平面ABC内作交BC于M，
以O为坐标原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示：
易知，，
所以，，，，
，，
设平面OBC的法向量，
依题意，即，
不妨令，得，
易知平面OQB的法向量，
由可知，
即，解得
10.如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且．求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为为的中点，，所以，
设到平面的距离为h，则到平面的距离为，
因为，
即，
即，得，即到平面的距离．
（2）因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，
如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则点，，，，．
则，，．
设平面的法向量为，
则由解得．
令，则，于是平面的一个法向量为．
所以直线与平面所成角的正弦值为
．
故直线与平面所成角的正弦值为．第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用
【考点梳理】
1.法向量的求解
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
第三步：化解方程组令其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；若，即，则．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；若，即，则．
3.平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
5.点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.
(1)证明： ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点.
(1)是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大.
考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明底面；
(2)设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【方法技巧与总结】
设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证：平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(2)若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积．
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.
(1)求证：；
(2)点为棱上一点，若，求二面角的余弦值.
6.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；
（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是的中点，且．
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求A到平面的距离．
例2.在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
（2）若，求点D到平面AEF的最大距离．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形中，，，，， 分别是，的中点，将四边形沿折起，如图②，连结，，.
(1)求证：；
(2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长的最小值.
2.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
3.如图，矩形和梯形，，平面平面，且，过的平面交平面于．
（1）求证：与相交；
（2）当为中点时，求点到平面的距离：
4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．
【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标为
B．若平面的法向量，则直线平面
C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
3．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则（ ）
A．平面 B．与不垂直
C．的取值范围为 D．的最小值为
三、填空题
4．如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：
①；②；③．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
5．如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．
四、解答题
6．如图，在三棱柱中，，．
（1）证明：平面平面．
（2）设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．
7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
8.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．
（1）指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；
（2）求二面角的余弦值．
9.如图，圆锥PO的母线长为，是⊙的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
（1）证明：；
（2）设点Q满足，其中，且二面角的大小为，求的值．
10.如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且．求直线与平面所成角的正弦值．

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