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第九讲：导数与函数的单调性
【考点梳理】
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间,有解.
②已知在区间上存在单调减区间,有解.
（3）已知函数在区间上不单调，使得（为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
【典型题型讲解】
考点一：求函数的单调区间（不含参）
【典例例题】
例1.函数的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
例2.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法
【变式训练】
1.函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2.函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
4．函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
5．函数的单调递减区间为__________．
【典型题型讲解】
考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【典例例题】
例1.如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3.函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
【变式训练】
1．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
考点三：含参问题讨论单调性
【典例例题】
例1.已知函数，其中.求函数的单调区间；
例题2．设函数，求的单调区间．
例3.已知函数.
讨论的单调性；
例4.已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
【变式训练】
1.已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在上的函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)对于，若不等式恒成立，求a的取值范围．
3.已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
4．已知函数
讨论f（x）的单调性；
5.已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
6.（2022·广东深圳·一模）已知函数（）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
【巩固练习】
一、单选题
1．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
6．已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
三、填空题
7．写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
四、解答题
8．已知函数
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．
9.已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
10．已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
11．已知函数.讨论的单调性；
12．已知函数.当时，判断的单调性；第九讲：导数与函数的单调性
【考点梳理】
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间,有解.
②已知在区间上存在单调减区间,有解.
（3）已知函数在区间上不单调，使得（为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
【典型题型讲解】
考点一：求函数的单调区间（不含参）
【典例例题】
例1.函数的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：，
则，
由得，
故选：D.
例2.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题得函数的定义域为.
，
令.
所以函数的单调递减区间为.
故选：A
【方法技巧与总结】
函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法
【变式训练】
1.函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，且函数的定义域为（0，+∞）．
由，得，即的单调递减区间是．
故选：B
2.函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于函数，有，可得，
所以，函数的定义域为，，
由，因为，解得.
因此，函数的单调递增区间为.
故选：B.
3.已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【详解】
由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-,0).
故选：A
4．函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
5．函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【详解】
当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，
故答案为：
【典型题型讲解】
考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【典例例题】
例1.如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数，所以，
因为函数在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
所以.
故选:D
例2.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
例3.函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数，
所以，
令，因为函数在上不单调，
即在上有实数根，
当时，显然不成立，
当时，只需，
解得或，
即，它的充分不必要条件即为一个子集.
结合四个选项可知A为其一个子集，
故选：A.
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
【变式训练】
1．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由得，
由于函数在区间内单调递减，
即在上恒成立，即，
即得在恒成立，所以，
故选：D.
2.已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
因为在上为单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，
要满足①，或②，
由①得：，由②得：，
综上：实数m的取值范围是.
故选：D
2．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
3.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵函数在区间上存在单调增区间，
∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，
，
设，
则或，
即或，
得或，
则；
故选：A．
4.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：C.
5．函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【详解】
，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.
故选：B
考点三：含参问题讨论单调性
【典例例题】
例1.已知函数，其中.求函数的单调区间；
【答案】(1)当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为
函数的定义域为
①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为
②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为
综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为
例题2．设函数，求的单调区间．
【答案】
【详解】的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
例3.已知函数.
讨论的单调性；
【解析】
由题意得的定义域为.
，由，得，
①若，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
②若，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例4.已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
【解析】
由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
【方法技巧与总结】
1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3．利用草稿图像辅助说明．
【变式训练】
1.已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【解析】
(1)由题设，且，则，
所以，，故在处的切线方程为.
(2)由且，
当时，即在定义域上递减；
当时，在上，递减，在上，递增，
综上，时递减；时在上递减，上递增.
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在上的函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)对于，若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】
(1)
解：，
①当时，，所以，在上单调递减，即无单调递增区间；
②当时，令，则，所以，在上单调递增，
令，解得，
当时，；当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以，的单调递增区间为，
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，无单调递增区间.
(2)
解：由（1）可知，当时，有最小值，且最小值为，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，故，
即，当且仅当时等号成立，
易知不等式等价于，
当时，须有成立，
令，则，所以，在上单调递增，
又，所以，等价于，
下证当时，，有不等式恒成立.
一方面，，，
所以，，，即，
所以，，，
所以，，，
所以，只需证当时，，有不等式恒成立即可，
另一方面，由，，可得，所以，，
又当时，，显然有，
所以，当时，，显然有不等式恒成立，
所以，当时，，显然不等式恒成立，
综上所述，实数的取值范围为.
3.已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【解析】
(1)当时，
，
故切线方程为：
(2)
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
4．已知函数
讨论f（x）的单调性；
【解析】
(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，令，解得：
∴当时，；当时，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.
5.已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
【解析】
解：由已知可得，故可得．
当时，，故在单调递增；
当时，由，解得，或，
记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．
6.（2022·广东深圳·一模）已知函数（）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
【解析】
(1)
定义域为，，
①当时，有恒成立，是函数的单调增区间，无递减区间；
②当时，由，解得，由，解得，故函数的增区间，减区间是．
综上：当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间，单调减区间是
(2)
（i）由（1）知：当时，在上单调递增，
函数不可能有两个零点；
当时，因为在上递增，在上递减，
因为，故，
设，，
则，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，
故，即取，
则
因此，要使函数且两个零点，只需，
即，化简，得，
令，因为，
所以函数在上是单调递增函数，
又，故不等式的解为，
因此，使求实数a的取值范围是：.
（ii）因为，所以，，
下面先证明，
根据（1）的结果，不妨设，则只需证明，
因为在时单调递增，且，，
于是只需证明，
因为，所以即证，
记，，
，
所以在单调递增，则，
即证得，原命题得证.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
的定义域为，
因为，所以在上单调递减，
所以不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
3．“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为函数是增函数，
所以恒成立，即恒成立，
所以
反之，函数的导数不一定大于0.
故“函数在上是增函数”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以.
故选：A
二、多选题
5．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】BC
【详解】
对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，
对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，
对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，
对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，
故选：BC
6．已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【详解】
令，所以，
因为，，所以，所以在上单调递增，
又，可得的解集为.
故选：CD.
三、填空题
7．写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【详解】
由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义城上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题
8．已知函数
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
(1)
，
（Ⅰ）当，即时，
，在单调递减
（Ⅱ）当，即时，
，在单调递增
（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；
当时，，单调递减
综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减
（Ⅱ）当时，在单调递增
（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减
(2)
由（1）知：当时，
即 ，在无零点
当时，
即，在无零点
当时，在单调递增，在单调递减
，
只需 即可
即 ，
综上所述，
9.已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】
(1)
，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
(2)
由（1）可知．
①若，则，即，可得，
设，在上单调递减
所以至多有一解且，则，
代入解得．
②若，则，即，可得，
结合①可得，
因为，，
所以在存在一个零点．
当时，，
所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意
综上所述：．
10．已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
【答案】答案见解析
【详解】
由题设，，
当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，令 得或，
当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为.
当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；
11．已知函数.讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】
函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
12．已知函数.当时，判断的单调性；
【答案】函数在上单调递增，在上单调递减
【详解】
解：当时，，，
，
令，则在上为减函数，且（1），
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以递增区间为，递减区间为.

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