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第七讲：函数图像、函数与方程
【考点梳理】
1、函数的图象
(1)平移变换：
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：
(4)翻折变换：
2、函数与方程
(1)判断二次函数在上的零点个数，一般由对应的二次方程的判别式来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数在上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又，则在区间内有唯一零点．
【典型题型讲解】
考点一：函数的图像
【典例例题】
例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
依题意，当时，函数图象与y轴交点在点上方，排除B，C，
而，因此，在上递减，且x<0时，0当时，函数图象与y轴交点在原点上方，点下方，排除A，D，
而，因此，f(x)在上递增，且x>0时，0所以给定函数的图象可能是AC.
故选：AC
【方法技巧与总结】
1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法
2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换
【变式训练】
1.已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分，
然后将轴左侧图象翻折到轴右侧，轴左侧图象不变得来的，
∴图②中的图象对应的函数可能是.
故选：C.
2.已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于函数，
可得，
由，得或，由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在时有极大值2，在时有极小值，
作出函数与直线的图象，
3.若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数（且）在R上为减函数.
所以 .
因为函数，定义域为，故排除A、B.
当时，函数在上单调递减.
当时, 函数在单调递增.
故选:D.
由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.
故选：D.
4.函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
将函数的图象作以轴为对称轴的翻折变换，得到函数的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数的图象．
故选：D．
考点二：求函数的零点或零点所在区间判断
【典例例题】
例1.已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
例2.函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式训练】
1.已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
2．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
3.（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
【答案】9
【详解】
由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故答案为：9
4．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
【答案】
【详解】
依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
故答案为：
6.函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
为上的递增函数，
，
，
，
则函数的零点所在的区间为
故选：B
考点三：函数零点个数的判断
【典例例题】
例1.函数的零点个数为___________.
【答案】2
【详解】
当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
例2.定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵，
∴函数关于直线对称，又为定义在R上的偶函数，
故函数关于直线对称，
作出函数与直线的图象，
要使关于x的方程恰有5个解，则函数与直线有5个交点，
∴，即.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
【变式训练】
1.已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
【答案】10
【解析】
【分析】
根据函数满足，得到函数图象关于对称，再结合奇偶性得到函数的周期性，作出函数和函数在区间，上的图象，把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题解决．
【详解】
函数是偶函数，①，
②，的图象关于对称，
由①②得，，即，
∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数和函数在区间，上的图象，
方程在区间，上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．
2.已知函数f（x）＝和函数g（x）＝，则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是________．
【答案】3
【详解】
在同一直角坐标系中，作出与的图象如图，
由可得，，即函数的零点为图象交点的横坐标，
由图知与的图象有3个交点，即有3个零点．
故答案为：3
3.已知函数若函数有6个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，作出函数的大致图象，如图所示，
则函数有6个零点等价于在上有两个不同的实数根，
则解得.
故选：D.
4.已知函数，若函数有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.
【答案】
【详解】
因为有4个零点，
所以方程有4个实数根，
画出的图像，以及，
则两函数的图象有4个公共点．其中直线经过定点，斜率为
当直线与相切时，联立，，可求出，由图可知，当时，方程有4个交点，故的取值范围为
故答案为.
5.已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得 时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案.
【详解】
设，则有四个不同的解，
因为，
所以为偶函数，且当时，为增函数，
所以当时，为减函数，
所以，即，
当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
又，
作出时的图象，如图所示：
所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，
作出图象，如下图所示：
此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.
综上实数m的取值范围为.
故选：A
6.已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
0-=，看【详解】
因为 s0zkol，所以，
当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，
故的大致图象如图所示：
关于的方程等价于，
即或，
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故选:C.
【巩固练习】
一、单选题
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
依题意，，，
故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项可排除B；
而，结合选项可排除C，D．
故选：A．
2．声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．己知刻画某声音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：令，
求导得
，
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
由于，
所以，时，，且单调区间变化不具有对称的性质，
所以，只有C选项满足.
故选：C
3．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
故选：B
4．已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
当 时， ，，
当时，，当时，，
故时， ；
当时， ，
当时，有极大值，当时，，
作出的大致图象如图：
函数与的图象恰有5个不同公共点，
即方程有5个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论有解情况如下：
令,
(1当 在和上各有一个解时，
即 ，解得 ，
（2）当在和上各有一个解时，
，解得，
（3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为 ，不合题意；
（4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知：，
故选：A
二、多选题
5．设函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
B．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
C．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
【答案】AD
【详解】
解：对于A：作出的图像如下：
若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，
则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，
所以，，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故B错误；
对于C：方程的实数根的个数，即可函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，
当与相切时，设切点为，
即，所以，解得，所以，所以，
所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，
若有4个实数根，即有4个交点，
当时由图可知只有3个交点，当时，令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故C错误；
对于D：，
所以，
所以或，
由图可知，当时，的交点个数为2，
当，0时，的交点个数为3，
当时，的交点个数为4，
当时，的交点个数为1，
所以若时，则，交点的个数为个，
若时，则，交点的个数为3个，
若，则，交点有个，
若且时，则且，交点有个，
若，交点有1个，
综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正确；
故选：AD．
6．已知为常数，函数，若函数恰有四个零点，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】
由题意，函数，
当时，可得，此时是函数的一个零点；
当时，令转化为，
其中，要是使得有三个零点，
只需和的图象有三个不同的交点，
作出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得当或.
结合选项，实数的值可以是和.
故选：AC.
7．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.
则解得.
故选：BCD
8．已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
函数在同一坐标系中的图象如下：
所以，
所以
所以
所以，
故选：BD
三、填空题
9．已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有___________个根.
【答案】10
【详解】
由可知，函数周期为，
作出函数与，
由图象可知，与有10个交点，
所以方程有10个根.
故答案为：10
10．对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】
因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
11．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】
当时，，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
在时的极大值为，当时，
画出函数图像，如图所示：
函数有三个零点，即有三个交点，故
故答案为：.第七讲：函数图像、函数与方程
【考点梳理】
1、函数的图象
(1)平移变换：
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：
(4)翻折变换：
2、函数与方程
(1)判断二次函数在上的零点个数，一般由对应的二次方程的判别式来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数在上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又，则在区间内有唯一零点．
【典型题型讲解】
考点一：函数的图像
【典例例题】
例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法
2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换
【变式训练】
1.已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
4.函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
考点二：求函数的零点或零点所在区间判断
【典例例题】
例1.已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（ ）
A． B．
C． D．
例2.函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式训练】
1.已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
3.函数的所有零点之和为__________．
4．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
5.函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
考点三：函数零点个数的判断
【典例例题】
例1.函数的零点个数为___________.
例2.定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
【变式训练】
1.已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
2.已知函数f（x）＝和函数g（x）＝，则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是________．
3.已知函数若函数有6个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，若函数有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.
5.已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．己知刻画某声音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．设函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
B．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
C．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
6．已知为常数，函数，若函数恰有四个零点，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有___________个根.
10．对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
11．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．

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