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第十六讲：等差、等比数列
【考点梳理】
1.数列的前项和为与通项公式为
若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）通项公式的推广：．
（3）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
（4）等差数列的性质
在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（5）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ，，成等比数列 ．
（3）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（4）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．5
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差公比或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和或是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．
2．（2022·广东中山·高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列中，，，则数列的通项公式为________．
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.
7.（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．
8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若 ，求数列的前n项和．
在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.
13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，当时，，求数列的前n项和
15．（2022·广东惠州·一模）已知数列满足，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.
.
考点二：等差、等比数列的判定或证明
【典例例题】
例1．（2022·广东·一模）已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【方法技巧与总结】
1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；
2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。
【变式训练】
1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．若，则
2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列为递减数列 B．数列是等差数列
C．，，依次成等差数列 D．若，，则
3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
4.（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
5．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列满足，，且（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．
7．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.
(1)求证：、、成等差数列；
(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.
8.已知数列{an}满足
(1)问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
考点三：等差、等比综合应用
【典例例题】
例1.在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式训练】
1.已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
4．已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
5．已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【巩固练习】
一、选择题：
1．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．是等比数列 B．
C．是等比数列 D．
选择题：
6．若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．
三、填空题：
9．在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
10．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
四、解答题：
11.已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
12.已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
13.已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
14.设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
15.（2022·广东茂名·二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．第十六讲：等差、等比数列
【考点梳理】
1.数列的前项和为与通项公式为
若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）通项公式的推广：．
（3）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
（4）等差数列的性质
在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（5）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ，，成等比数列 ．
（3）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（4）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为 ， ，
故由题意可得： ，，
解得 ， ，
故选：A
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】．B
【详解】A选择中，由即，解得
B选项中，
C选项中，由，，
D选项中，
故选：B
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差公比或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和或是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．
【答案】．2
【详解】由题意知，，
，
解得.
故答案为：
2．（2022·广东中山·高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【详解】因为是正项等比数列，所以，（舍去），
．
故选：C．
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：因为，
所以.
故选：B.
4．（2022·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，由题知，解得，
所以，，，
则，.
故选：D.
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列中，，，则数列的通项公式为________．
【答案】
【详解】由得：，而，
于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，
所以数列的通项公式为：.
故答案为：
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.
【答案】8
【详解】根据韦达定理可得，由等差数列的性质可得，
从而可得.
故答案为：8
7.（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．
【答案】.62
【详解】设数列的公比为，则根据题意得，
又 ，所以计算得.
由等比数列前n项和得，数列的前五项和为，
故答案为：62.
8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．
【答案】.136
【详解】由题意得．
故答案为：136
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．
【答案】．(1) (2)7
【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为，则，解得，
所以数列的通项公式为．
（2），
，
由题得，解得，
因为，所以n的最小值是7．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【答案】．(1)(2)
（1）
设数列的公比为，依题意可得
解得或，又因为数列的各项均为正数，所以.
从而可求得，
所以，.
（2）
，
11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若 ，求数列的前n项和．
在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】．(1)；
(2)若选，；
若选，.
(1)
设等差数列的公差为，由，可得：
；
(2)
若选.
因为，
所以，
因此，
，两个等式相减得：
，
，
；
若选，
因为，
所以，因此有：
.
12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.
【答案】．(1) (2)
（1）
解：设等差数列的公差为，
由题得，即，
整理得，
解得.
所以.
（2）
方法一：由题意可知，的各项为
即，
因为，
且，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
方法二：在数列中，前面（包括）共有项，
令，则，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】．(1)(2)
(1)
设等比数列的公比为q，
，又，∴，，；
(2)
，
①，
②，
①-②得：，
.
14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，当时，，求数列的前n项和
【答案】．(1) (2)
(1)
解：设数列公比为，因为数列正项等比数列，所以，
因为，所以，
又由，所以，即，
解得或(舍去)，所以，
所以数列的通项公式.
(2)
解：由，所以，
当时，可得，且，
所以时，，
当时，，适合，
15．（2022·广东惠州·一模）已知数列满足，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.
【答案】．(1) (2)
(1)
由，故，
可得，，
又∵，，
∴，，
∵数列是等差数列，
∴数列的公差，
∴，
∴；
(2)
由(1)得，，
∴，
可得，
∴为奇数时，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，
又，
∴为偶数时，
由得，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，
∴.
考点二：等差、等比数列的判定或证明
【典例例题】
例1．（2022·广东·一模）已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
【答案】．(1)证明见解析，；
(1)
依题意，正项数列中，，即，当时，，即，
整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，因为是正项数列，即，
所以.
(2)
不存在，
当时，，又，即，都有，
则，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，即，
两边同时平方，得，即，
整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在满足要求的连续三项.
例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【答案】．(1)，，证明见解析 (2)，
(1)
∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
(2)
由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
【方法技巧与总结】
1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；
2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。
【变式训练】
1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．若，则
【答案】．AD
【详解】A选项，设，则，所以为等比数列，A正确；
B选项，若，则没意义，故B错误；
C选项，当时，，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；
D选项，由题意得，，
由得，，，即，
所以，故D正确；
故选：AD.
2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列为递减数列 B．数列是等差数列
C．，，依次成等差数列 D．若，，则
【答案】.BD
【详解】由题意可知数列是等差数列，且递减，
则 ，
不妨举例如：
则 ，这三项不构成递减数列，故A错；
而 ,这三项不构成等差数列，说明C错；
对于B， ，是关于n的一次函数，
因此是等差数列，故B正确；
对于D， ，则 ，
，则 ，
故 ，故D正确，
故选：BD.
3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】．ABD
【详解】因为数列中，，
所以，
则是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以，
由累加法得，
所以，
当n为奇数时，是递增数列，所以，
当n为偶数时，是递减数列，所以，
所以，是以1为首项，以为公比的等比数列，
又，所以，
故选：ABD
4.（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.
（1）当时，，即 由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则
（2）所以
5．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析 (2)
（1）
由，得，
又，故，
故，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）
由（1）可知，所以，
所以．
6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列满足，，且（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．
【答案】．(1)证明见解析 (2)
(1)
解：因为，
所以，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(2)
解：由（1），得，
所以，，…，（），
所以
（），
经检验当时，，亦满足，
所以()，
所以，
因为任意，均有，
所以() ，
又因为 ()，
所以，即实数的最小值为.
7．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.
(1)求证：、、成等差数列；
(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.
【答案】．(1)证明见解析；(2)当或时，取得最大值.
(1)
解：设等比数列的公比为.
当时，则，则，故，
由已知可得，得，整理得，
即，因为，可得，
故，，所以，，
因此，、、成等差数列.
(2)
解：，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，显然，令，解得，
故当或时，取最大值，且.
8.已知数列{an}满足
(1)问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
【解析】(1)由，解得：，，，，∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴，
∴数列{an}不是等差数列.
又∵，，∴，∴数列{an}也不是等比数列.
(2)证明：∵对任意正整数n，为偶数，所以，∴，即，其中，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
从而对 n∈N*，，则.
∴数列的通项公式是 (n∈N*).
考点三：等差、等比综合应用
【典例例题】
例1.在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，则，
因为，且成等比数列，
所以，解得：或（舍），
所以．
(2)选择①：设等比数列的公比为q，
因为，所以，
又，即，所以或（舍），
所以．
选择②：设等比数列的公比为q，
因为，，即，可得或（舍），
所以．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式训练】
1.已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，
即，
故选：B
2.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
3．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
4．已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
【解析】(1)解：因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
，
；
(2)．
当时，，
当时，，则，
所以，
.
5．已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
【巩固练习】
一、选择题：
1．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；
故选：B
2．已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，所以，所以，
，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即，，构成等比数列，所以，
解得，（舍去），所以.
故选：A.
3．已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，
当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以，
所以
故选：C
4．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．是等比数列 B．
C．是等比数列 D．
【答案】B
【解析】对于A：当是奇数时，，
所以，
又因为，所以，
所以当是奇数时，，即．
即是以首项为，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B：由A知：当是奇数时，，
所以，
即选项B错误；
对于C：当为偶数时，，即，
又因为，所以，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D：
，即选项D正确．
故选：B.
选择题：
6．若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】AD
【解析】设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题设，若的公差和首项分别为，而，
∴，整理得，又公差和首项都不等于0，
∴，故D正确，C错误；
∵，
∴，故A正确，B错误.
故选：AD
8．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．
【答案】ABD
【解析】依题意，
当时，，
当时，，
，所以，
所以，
所以.
当时，；当时，符合上式，所以.
，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
三、填空题：
9．在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
【答案】１或.
【解析】解：当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时.
综上所述：公比的值为：１或.
故答案为：１或.
10．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∵，
∴，，
将代入，可得.
故答案为：
四、解答题：
11.已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】(1)设等比数列的公比为 ,由，，
可得，即得，
解得或（舍去），
故，
由数列的前n项和为，可得，
当时，，适合该式，
故；
(2)若，则，
故，即，
即为常数列，则数列的前n项和为2n.
12.已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由题意可得：
∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列
则，即
因此{}的通项公式为
(2)由（1）知，令则
所以．
．
综上．
13.已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
【解析】(1)当时，，从而是等差数列，
，所以是等比数列
又，则
所以
(2)是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为q，
由，可得，则（定值）
则数列为等差数列，设其首项为，公差为d，
由数列的前项和，
可得方程组 整理得
解得，则
由，可得，则
则数列的通项公式为；数列的通项公式为．
14.设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【解析】(1)解：设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列的通项公式为，.
(2)解：数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
则，
.
则所求的数列的前项和为.
15.（2022·广东茂名·二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解析】(1)设等差数列的通项公式为d（d≠0），
由，所以，
又，得，.
(2)∵，
∴，
.

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