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第十三讲：三角函数图象及性质
【考点梳理】
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2、的图象与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（）.
对于，
（4）对称轴与对称中心.（）
对于，
（5）单调性.（）
对于，
（6）平移与伸缩
由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
【典型题型讲解】
考点一：三角函数的性质
【典例例题】
例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数，x∈R，则（ ）
A．f(x)的最大值为1 B．直线为其对称轴
C．f(x)在上单调递增 D．点为其对称中心
【答案】BD
【详解】依题意，，的最大值为，A错误；
当时，，则直线为图象的对称轴，B正确；
当，即时，由得，即在上单调递增，
由得，即在上单调递减，C错误；
因，则点为其对称中心，D正确．
故选：BD
例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
B．的图象关于直线对称
C．的表达式可以改写为
D．若函数在的值域为，则m的取值范围是
【答案】BD
【详解】对于A，由函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，所以A选项错误；
对于B，当时，，所以B选项正确；
对于C，，所以C选项错误；
对于D，由得，又函数在的值域为，得，解得，所以D选项正确．
故选：BD
【方法技巧与总结】
研究三角函数的性质，关键式将函数化为与
的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
【变式训练】
1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，则该函数的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，
解得，
所以函数的增区间是.
故选：C.
2.（2022·广东茂名·一模）函数在区间上的最大值为______
【答案】3
【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为.
故答案为：3.
3.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】B
【详解】
因为
，
所以，
所以，所以为偶函数，故A错误，B正确；
又，所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.
故选：B.
4.设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【详解】
由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图象向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
5．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】
由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，则，即,
，
由，得,
，,
取，得,
，,
故选：．
6.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】
，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
7.（2022·广东湛江·一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】由题意知，,，，则,，，
其中，,
当时，，，；当时，，，.
又在区间上有且只有一个极大值点，所以，
得，即，所以.
当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；
当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，
所以的最大值为，
故答案为：
8．（2021·广东佛山·一模）已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)已知，求的值.
【答案】
(1)，单调递增区间为， (2)
(1)
解：若选择条件①；
，
由，
得，
所以的单调递增区间为，
若选择条件②，若，即是的最大值点，是的零点且的最小值为，
设的周期为T，
由此可得，即有，
∴
由，可得，即有
可得或，
再结合，可得，
综上可得：，
(2)
解：，
可得，
∵，
∴，
从而可得，即有，
∵
∴，
由，
可得，
故.
考点二：三角函数的图象
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【详解】．
故选：A.
例2．（多选）（2022·广东中山·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
【答案】AB
【详解】解：由图可知，，
所以，所以，
则，
将点代入得：，
所以，
又，所以，
所以，
对于A，因为，
所以函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B，因为，为最小值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以函数在上不单调递减，故C错误；
对于D，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故D错误.
故选：AB.
【方法技巧与总结】
1.图象变换过程中务必分清式相位变换，还是周期变换.变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
2.已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【变式训练】
1．（2022·广东广东·一模）将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．则图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】正弦函数的对称中心是，若图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，那么对称中心是，，当时，对称中心是
，A符合，其他选项不成立.
故选：A
2．（2022·广东韶关·一模）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象，则平移后函数的对称轴方程为，取可得，，
所以直线为平移后的函数图象的一条对称轴，
故选：B.
3．（2022·广东广州·一模）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是偶函数 B．若，则在区间上单调递减
C．若，则的图象关于点对称 D．若，则在区间上单调递增
【答案】AC
【详解】由题设，，
时，为偶函数，
在上有，递增，故A正确，B错误；
时，，
此时，，即关于点对称，
在上有，不单调，故C正确，D错误.
故选：AC
4．(多选)（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C．当时，在上有4个极值点 D．若在上单调递增，则的最大值为5
【答案】BCD
【详解】∵
∴，且，
∴，即为奇数，
∴为偶函数，故A错.
由上得：为奇数，∴，故B对.
由上得，当时，，,由图象可知在上有4个极值点,故C对，
∵在上单调，所以,解得：，又∵，
∴的最大值为5，故D对
故选：BCD.
5．(多选)（2022·广东东莞·高三期末）已知函数，若且对任意都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称
【答案】BD
【详解】 ，
，又对任意都有，
则为 的最大值，
，
整理得： ，则 ，
所以 ，
因此A选项错误，B正确；
的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
，该函数图象不关于原点对称，故C错误；
的图象向右平移个单位后，得到函数 的图象，
该图象关于y轴对称，故D正确，
故选：BD
6．（多选）（2022·广东清远·高三期末）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数，则（ ）
A．的最小值是 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期是 D．的单调递增区间是
【答案】ACD
【详解】由题意知，，则，的最小值是，最小正周期是，故A，C正确；
令，得，若，则，故B错误；
令，得，即的单调递增区间是，故D正确．
故选：ACD.
7．（多选）（2022·广东惠州·一模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【解析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
【详解】由题意，，∴，又，，又，∴，
∴．
∵，∴不是对称轴，A错；
，∴是对称中心，B正确；
时，，∴在上单调递增，C正确；
，，或，
即或，，又，∴，和为，D正确．
故选：BCD．
9．（2022·广东茂名·二模）已知函数 的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移 个单位得到 的图象，则（　　）
A． ） B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象知，，
∵，
∴，
又，∴，
∴，
∵将函数的图象向左平移个单位得到的图象，
∴，
故选：D．
10．（2022·广东惠州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．在上单调递增 D．为奇函数
【答案】ABD
【详解】由图知，由，得，又因为，所以，
由得，又，所以，所以，
所以.
故，选项A正确；
又，所以为函数的一条对称轴，故选项B正确；
由，得，
由，得，
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
为奇函数，故D正确.
故选：ABD.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知直线是函数的图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【详解】
依题意，直线是函数的图象的一条对称轴，
则，即，
解得，因为，所以，
所以函数．
将的图象，
向右平移个单位长度得．
故选：B．
2．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【详解】
设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
3．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上单调递减
C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数的图象关于对称
【答案】C
【详解】
，
所以函数的最小正周期是，A正确；
当时，，所以单调递减，故B正确；
函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故C错误；
当时，，所以，
所以的图象关于中心对称，D正确.
故选：C
4．如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【详解】
由题图知：，又，，
解得，又，
将向左平移得.
故选：A.
二、多选题
5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．直线为函数f(x)图象的一条对称轴
B．函数f(x)图象横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到
C．函数f(x)在[－，]上单调递增
D．函数的值域为[－2，]
【答案】AD
【详解】
解：对于A：，选项A正确；
对于B：函数f(x)图象横坐标缩短为原来的一半，得到，再向左平移后得到，选项B错误；
对于C：当时，，其中，不妨令为锐角，
当即，时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－，]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：．
因此：可取区间[－，]探究f(x)值域，
当时，，其中，
即：，选项D正确．
故选：AD.
6．设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．在上的最小值为0
【答案】ABC
【详解】
当时，，所以的图象关于点对称，A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，，在上单调递减，故C正确；
当时，，在上的最小值为，D错误.
故选：ABC
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的图象关于原点对称
C．若，则 D．对，，，有成立
【答案】ACD
【详解】
∵函数的周期，所以恒成立，
故A正确；
又，所以，，所以，
所以的图象不关于原点对称，故B错误；
当时，，所以函数在上单调递增，故C正确；
因为 ，所以，故，
，又，即，
所以对有成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减；
【答案】（答案不唯一）
【详解】
对于①，若，则的图象关于中心对称，
对于②，若，则的图象关于对称，
设，则，，
又的图象关于对称，且函数在上单调递减，
则，得
故答案为：（答案不唯一）
9．已知函数的部分图象如图所示，则________．
【答案】
【详解】
解：由知，，由五点法可知，
，即，又，所以
故答案为：
10．已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【详解】
由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
四、解答题
11．已知函数
(1)求的值；
(2)求函数在上的增区间和值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，值域为
【解析】
(1)
解：因为，
所以
，
即，
所以
(2)
解：由（1）可得，
因为，所以，所以，则，
令，解得，即函数在上的单调递增区间为；
12．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．
(1)若，求的面积；
(2)当时，取最大值，求在上的值域.
【答案】(1)若，的面积为，
若，的面积为；
(2)
【解析】
(1)
因为，
所以，即，
或，
由正弦定理可得,又，所以，
若则
所以，
，
当则
所以，
，
(2)
．
因为在处取得最大值，所以，
即．因为，所以，所以．
因为，所以，所以，
在上的值域为.
14．已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．
(1)求时函数的值域；
(2)若函数图象向右平移m个单位长度后与函数的图象重合，求正数m的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
(1)
若选择条件①作为已知：，
时，，
，
故函数的值域为；
若选择条件②作为已知：
时，，，
故函数的值域为；
(2)
若选择条件①作为已知：
函数图象向右平移个单位长度后，
得到函数，即的图象，
∵的图象与函数的图象重合．
∴，，即，，
当为正数时，．
若选择条件②作为已知：
函数图象向右平移个单位长度后，
得到函数，即的图象．
的图象与函数的图象重合．
∴，，即，，
当为正数时，．
15．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
(1)
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)
解：由已知得，
当时，，令，则，
令，则
，，，，
所以，
因为有三个不同的实数根，则，
所以，即，
所以．
15．设.
(1)若，求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)
因为函数为偶函数，
所以，即，
因为，所以
(2)
在（1）成立的条件下，，
因为，所以，
所以
所以
16．（已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数关于点中心对称，求在上的值域．
【答案】(1)最小正周期为，(2)
【解析】
(1)
．∴的最小正周期为，
令，∴的单调递增区间为
(2)
．
∵关于点中心对称，∴，∵，∴．
∴．当∴．第十三讲：三角函数图象及性质
【考点梳理】
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2、的图象与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（）.
对于，
（4）对称轴与对称中心.（）
对于，
（5）单调性.（）
对于，
（6）平移与伸缩
由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
【典型题型讲解】
考点一：三角函数的性质
【典例例题】
例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数，x∈R，则（ ）
A．f(x)的最大值为1 B．直线为其对称轴
C．f(x)在上单调递增 D．点为其对称中心
例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
B．的图象关于直线对称
C．的表达式可以改写为
D．若函数在的值域为，则m的取值范围是
【方法技巧与总结】
研究三角函数的性质，关键式将函数化为与
的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
【变式训练】
1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，则该函数的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·广东茂名·一模）函数在区间上的最大值为______
3.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
4.设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
5．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
7.（2022·广东湛江·一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________.
8．（2021·广东佛山·一模）已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)已知，求的值.
考点二：三角函数的图象
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
例2．（多选）（2022·广东中山·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
【方法技巧与总结】
1.图象变换过程中务必分清式相位变换，还是周期变换.变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
2.已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【变式训练】
1．（2022·广东广东·一模）将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．则图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东韶关·一模）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·一模）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是偶函数 B．若，则在区间上单调递减
C．若，则的图象关于点对称 D．若，则在区间上单调递增
4．(多选)（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C．当时，在上有4个极值点 D．若在上单调递增，则的最大值为5
5．(多选)（2022·广东东莞·高三期末）已知函数，若且对任意都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称
6．（多选）（2022·广东清远·高三期末）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数，则（ ）
A．的最小值是 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期是 D．的单调递增区间是
7．（多选）（2022·广东惠州·一模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
9．（2022·广东茂名·二模）已知函数 的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移 个单位得到 的图象，则（　　）
A． ） B．
C． D．
10．（2022·广东惠州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．在上单调递增 D．为奇函数
【巩固练习】
一、单选题
1．已知直线是函数的图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
3．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上单调递减
C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数的图象关于对称
4．如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
二、多选题
5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．直线为函数f(x)图象的一条对称轴
B．函数f(x)图象横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到
C．函数f(x)在[－，]上单调递增
D．函数的值域为[－2，]
6．设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．在上的最小值为0
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的图象关于原点对称
C．若，则 D．对，，，有成立
三、填空题
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减；
9．已知函数的部分图象如图所示，则________．
10．已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
四、解答题
11．已知函数
(1)求的值；
(2)求函数在上的增区间和值域．
12．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．
(1)若，求的面积；
(2)当时，取最大值，求在上的值域.
14．已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．
(1)求时函数的值域；
(2)若函数图象向右平移m个单位长度后与函数的图象重合，求正数m的最小值．
15．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
16．设.
(1)若，求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当，求的取值范围.
17．（已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数关于点中心对称，求在上的值域．

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