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第十四讲：解三角形
【考点梳理】
正弦定理
在中，(为外接圆半径).
变形形式：（1）
余弦定理
①；②；③。
推论：①；②；③
三角形面积公式
重要结论
在中，分别为角的对边，.
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
【典型题型讲解】
考点一：正、余弦定理
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，且，求和的值.
例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
【方法技巧与总结】
在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
2．（2022·广东汕尾·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角B
(2)当b=3时，求的面积的最大值．
3．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.
(1)求证：；
(2)当时，求.
4．（2022·广东·一模）在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：①；②；③.
化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）
论断①：；论断②：或；论断③：；所有可能的真命题有：①③②和①②③.
5．（2022·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
6．（2022·广东广州·一模）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
7．（2022·广东汕头·一模）在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，， ______？.
考点二：正弦、余弦定理在几何中的应用
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
例2．（2022·广东汕头·高三期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC．
(1)求B；
(2)若a=2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
例3．（2022·广东珠海·高三期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【方法技巧与总结】
利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
【变式训练】
1．（2022·广东中山·高三期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）如图，已知，D为的中点，点P在上，且满足，求的面积．
2．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，在平面四边形中，，，.
(1)若，求的面积；
(2)若，，求.
3．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形中，．
(1)求；
(2)求的面积．
4.如图，在中，对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，且，求四边形的面积.
5．（2022·广东梅州·二模）在中，点在上，平分，已知，，
(1)求的长；
(2)求的值.
6．（2022·广东广州·二模）在平面四边形中，．
(1)求的面积；
(2)若，求的值；
【巩固练习】
一、单选题
1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
6．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ）
A．外接圆半径为 B．内切圆半径为
C． D．
三、填空题
7．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．
8．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
四、解答题
9．已知在三角形中，，三角形的面积．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为4，求BC边上的高．
11．在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
12．已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.
(1)求c；
(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.第十四讲：解三角形
【考点梳理】
正弦定理
在中，(为外接圆半径).
变形形式：（1）
余弦定理
①；②；③。
推论：①；②；③
三角形面积公式
重要结论
在中，分别为角的对边，.
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
【典型题型讲解】
考点一：正、余弦定理
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，且，求和的值.
【答案】
(1)
解：在中，因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，即，
，
(2)
解：由余弦定理及三角形面积公式得，即，
因为，所以解得.
例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）选①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，∴.
选②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴.
选③，∵，
由已知结合正弦定理可得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）∵，即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴，周长的最小值为6，此时的面积.
【方法技巧与总结】
在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)；(2).
（1）
解：因为，由正弦定理得，
即，
由，得，因为，所以.
（2）
解：由，，得，解得，
由，即，即.
由，得，
故，所以的周长为.
2．（2022·广东汕尾·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角B
(2)当b=3时，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)
由正弦定理得：，整理得，
所以，
因为，所以
(2)
因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以面积的最大值.
3．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.
(1)求证：；
(2)当时，求.
【答案】
（1）证明：因为所以，所以所以，结合正弦定理，可得，命题得证.
（2）解：由题意知，点是边的中点，则两边平方整理得，即根据余弦定理两式相加得，再由余弦定理
4．（2022·广东·一模）在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：①；②；③.
化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）
论断①：；论断②：或；论断③：；所有可能的真命题有：①③②和①②③.
【详解】论断①中，由余弦定理得：，，.
论断②中，，由正弦定理得：，
，，或，
论断③中，由正弦定理得：，
即，
，
即，
，，，
即，，即，
又，，，解得：
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：
①③②和①②③.
5．（2022·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】．(1)(2)
(1)由正弦定理，得,即，
由余弦定理得，，
又，所以.
(2)由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
6．（2022·广东广州·一模）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).
（1）
由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
（2）
由（1）及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以.
7．（2022·广东汕头·一模）在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，， ______？.
【详解】若选①，则，且,
因为，，
由正弦定理得，则，即,
所以，，
得，
因为，所以，
因为 ，所以角为锐角，
所以，
所以,
所以由正弦定理得,
若选②，则由的面积为，，，得，
所以，
当为锐角时，，此时由余弦定理得
，所以，
当为钝角时，，此时由余弦定理得
，所以，
综上，或，
若选③，由，得，
由正弦定理得，则，
所以三角形不存在
考点二：正弦、余弦定理在几何中的应用
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
【答案】(1) (2)
（1）
解；因为，
所以，
所以，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以；
（2）
在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，
两式相加得②，
由①②得，
所以.
例2．（2022·广东汕头·高三期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC．
(1)求B；
(2)若a=2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
【答案】(1)(2)
(1)
，
由正弦定理得，
因为，所以，
.
(2)
由（1）知，，
由正弦定理：得，
，
或（舍去），
，
，所以由得，
，
．
例3．（2022·广东珠海·高三期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【答案】(1) (2)
(1)
∵，∴，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
(2)
因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，∴，
∴，∴．
【方法技巧与总结】
利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
【变式训练】
1．（2022·广东中山·高三期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）如图，已知，D为的中点，点P在上，且满足，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）由，可得，
又，则．
因为，所以．
由，可得，即，
所以．
由正弦定理可得，
则，
可得，
则或（舍去），所以．
（2）因为，所以．
又因为，所以．
因为，，
两式相加可得，解得．
如图，过点P作，
则．
又因为，
所以．
2．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，在平面四边形中，，，.
(1)若，求的面积；
(2)若，，求.
【答案】(1)1 (2)2
(1)
（1）因为，，，由余弦定理可得
，代值化简得或（舍去），；
(2)
（2）设，在中，由正弦定理可得①，由可得，则，，
在中，由正弦定理可得②，得，整理得，化简得，故.
3．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形中，．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)；(2).
(1)
因为为直角三角形，，
所以．
在中，，
由余弦定理，得，所以．
(2)
由（1）知，，，所以，
所以为直角三角形，且，
所以，
故．
4.如图，在中，对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，且，求四边形的面积.
【答案】．(1).(2).
(1)
解：由正弦定理及已知，得，
，，，
，
又，所以，即；
(2)
解：由A B C D四点共圆得，
设，在三角形中，由余弦定理得
所以，而，
，
，因此.
5．（2022·广东梅州·二模）在中，点在上，平分，已知，，
(1)求的长；
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
(1)
依题意，由余弦定理得：
，
解得：
(2)
依题意，由正弦定理得：，
所以.
因为，所以为锐角，
所以.
因为，
所以，
所以
.
6．（2022·广东广州·二模）在平面四边形中，．
(1)求的面积；
(2)若，求的值；
【答案】．(1)；(2)8.
(1)
解：在中，，所以，
解得（舍去），
所以；
(2)
解：在中，，所以，即，解得，
又，所以，所以，
又，所以，
所以
，
在中，，即，
所以，
所以.
【巩固练习】
一、单选题
1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理得： ，解得：.
因为，所以.
所以.
故选：C
4．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】
对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于③，，所以，，得，进而，
可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意.
故可以选择的条件序号为：①②
故选：B
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
【答案】ABD
【详解】
由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，整理得，
的周长为，C错误；
由上知：，，可得，则的面积为，D正确.
故选：ABD.
6．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ）
A．外接圆半径为 B．内切圆半径为
C． D．
【答案】BCD
【详解】
在中，，所以，
设外接圆半径为，则，则，故A错误；
设内切圆半径为，则，解得，故B正确；
因为，，
所以
，故C正确；
设内切圆与三角形分别切于，则设，
，解得，所以，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．
【答案】
【详解】
解：可令
将上式相加：
由此可解的：
由正弦定理：
又因为：
解得：a=3，b=5，c=7.所以
代入海伦公式解得：S=
故答案为：
8．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
【答案】
【详解】
∵，∴,
由正弦定理得，
∵ ，∴，
由余弦定理得：，∴，
∴ ，
∴，解得，
又∵，∴,
将代入得,
由正弦定理可得，即，解得，
又∵，∴
故答案为：.
四、解答题
9．已知在三角形中，，三角形的面积．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)或
(2)，或，
【解析】
(1)
∵
而
分情况讨论，当C为锐角时，，
∴
当C为钝角时，，
(2)
,
因为，所以，
分情况讨论，当C为锐角时，
由余弦定理，
由正弦定理，，
当C为钝角时，，
由余弦定理，
由正弦定理，，
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为4，求BC边上的高．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)
，即．
，
，
．
又，．
(2)
，．
故由余弦定理可知．
而，
解得，所以BC边上的高为．
11．在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)
，；
，，，解得：.
(2)
是中点，，
又，解得：；
在中，由余弦定理得：，
，则，.
12．已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.
(1)求c；
(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.
【答案】(1)(2)
(1)
由对任意，，都有：，
可得，
设的外接圆半径为R，根据正弦定理，有：
，故：，
所以：
由，故，则，
所以，，即
(2)
如图所示：，，，
由，，得，又
所以，，
则，解得，故有：
所以的面积
故的面积为3.

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