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第十一讲：三角函数概念和诱导公式
【考点梳理】
1．任意角和弧度制、三角函数的概念
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是或．
（2）弧长与扇形面积公式
扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
（3）任意角的三角函数
借助单位圆定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
借助终边上点的坐标：，若取点是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数在各个象限符号记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．同角三角函数的基本关系及诱导公式
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
（3）三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
【典型题型讲解】
考点一：弧长公式，扇形面积公式
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
【方法技巧与总结】
熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制）
【变式训练】
1.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
考点二：三角函数及相关概念：
【典例例题】
例1.已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【方法技巧与总结】
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义
【变式训练】
1.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
3.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
考点三：同角三角函数的基本关系：
【典例例题】
例1.已知是三角形的一个内角，且则这个三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形
例2.（2022·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
熟练掌握商，平方的关系式.
熟练掌握正弦、余弦和差与之积的关系式
【变式训练】
1．（2022·广东茂名·一模）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3.若，则（ ）
A． B．
C． D．
4.若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
考点四：诱导公式
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·广东深圳·高三期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
【变式训练】
1．（2021·广东佛山·一模）（ ）
A． B． C． D．
2.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若则（ ）
A． B． C． D．
4.若，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
5.已知，且，则_____，_____．
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的3倍，，则该曲池的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的大小如图所示，则（ ）
A． B．5 C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，，，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
8．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）．
A．4 B． C．2 D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
三、填空题
11．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
12．已知为第三象限角，且，则______．
四、解答题
13．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
14．已知.
（1）化简；
（2）若角的终边经过点，求.
15．（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②．第十一讲：三角函数概念和诱导公式
【考点梳理】
1．任意角和弧度制、三角函数的概念
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是或．
（2）弧长与扇形面积公式
扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
（3）任意角的三角函数
借助单位圆定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
借助终边上点的坐标：，若取点是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数在各个象限符号记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．同角三角函数的基本关系及诱导公式
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
（3）三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
【典型题型讲解】
考点一：弧长公式，扇形面积公式
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制）
【变式训练】
1.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
【答案】
【详解】
解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以.又，
所以，
所以，
故.
故答案为：
2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，
由题意可得，，，，
所以，
因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，
所以，则，
所以.
故选：D.
考点二：三角函数及相关概念：
【典例例题】
例1.已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】B
【详解】
角的终边上点，则，
于是得，
所以.
故选：B
【方法技巧与总结】
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义
【变式训练】
1.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，故
故选：B
2.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数线的知识.由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
对于A选项：当点在上时，，，故A选项错误；
对于B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；
对于C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；
对于D选项：当点在上且在第三象限时，，故D选项错误.
综上，故选C.
3.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2考点三：同角三角函数的基本关系：
【典例例题】
例1.已知是三角形的一个内角，且则这个三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解法1：主要是判断是钝角、锐角还是直角，又可以等价转化为判断的某一三角函数值的符号.由，将两边平方得，而故为钝角.
解法2：由，若则，从而而，故为钝角.
例2.（2022·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，且，，
所以，，
所以.
故选：A.
【方法技巧与总结】
熟练掌握商，平方的关系式.
熟练掌握正弦、余弦和差与之积的关系式
【变式训练】
1．（2022·广东茂名·一模）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为角的终边与直线平行，即角的终边在直线上
所以；
故选：D
2.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由及，解得，或，.因为，所以，，所以，，
所以，
故选：C.
3.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，所以同号，即，
，，从而，
，所以，
．
故选：C．
4.若，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
解：原式
.
故选：C
考点四：诱导公式
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因，则，而，于是得，
所以.
故选：A
例2．（2022·广东深圳·高三期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，.
故选：D.
【方法技巧与总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
【变式训练】
1．（2021·广东佛山·一模）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D
2.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得：
，
故选：D．
3．若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为，
所以，
故选：B.
4.若，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【详解】
，
分子分母同除以，
，
解得：
故选：C
5.已知，且，则_____，_____．
【答案】
【解析】 .
又 ，由则 ，且，可得
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以，所以
.
故选：D.
【巩固练习】
一、单选题
1．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的3倍，，则该曲池的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，
由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，
所以，.
故该曲池的体积.
故选：D.
2．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据题意，立春是立冬后的第六个节气，
故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了，
所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为.
故选：B
3．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，
解得，
所以，
所以圆锥的体积为
，
故选：C
4．已知角的大小如图所示，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【详解】
由图可知， ，
；
故选：A.
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：
故选：C
6．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
,解得
故选：C
7．已知向量，，，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
【答案】C
【详解】
由题意可得，
即，
即，
故 ，即，
由于，故（舍去），
故选：C
8．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）．
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【详解】
根据题意，可得，
则.
故选：A．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
设扇形的半径为，由，故D正确；
由，
所以，解得，故C正确；
由，则，
所以，
所以，故B正确.
故选：BCD
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
【答案】CD
【详解】
由诱导公式二，知时，，所以A错误．
当（）时，，此时，
当（）时，，此时，所以B错误．
若（），则，所以C正确．
将等式两边平方，得，所以或．
若，则，此时；
若，则，此时，
故，所以D正确．
故选CD
三、填空题
11．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
【答案】
【详解】
角θ的终边过点
，
即
点在第四象限，
解得：（舍去）或
.
故答案为：.
12．已知为第三象限角，且，则______．
【答案】##
【详解】
因为为第三象限角，且，所以，，
所以．
故答案为：.
四、解答题
13．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
【答案】(1)；
(2)，.
【解析】
(1)
解：根据题意，可算得，．
因为，所以，
所以，.
(2)
解：根据题意，可知
，
当时，.
综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.
14．（2022·浙江·高三专题练习）已知.
（1）化简；
（2）若角的终边经过点，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）
.
（2）∵角的终边经过点，
∴.
∴.
15．（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②．
【答案】（1）；；；（2）①；②
【解析】
【详解】
（1）是角终边上一点，
则，
，
.
（2）由，则，
①.
②

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