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第四讲：函数概念及其表示
【考点梳理】
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
【典型题型讲解】
考点一：函数的概念
【典例例题】
例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【方法技巧与总结】
函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.
【变式训练】
1.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
2.已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．
x 0 1 2
0 1 2
考点二：具体函数的定义域
【典例例题】
例1.函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
例2.函数的定义域为___________.
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成区间的形式.
【变式训练】
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.函数的定义域是_______．
3．函数的定义域为___________.
考点三：抽象函数定义域
【典例例题】
例1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
【变式训练】
1.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
考四：函数的解析式求法
【典例例题】
例1.（待定系数法）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
例2.（换元法或配凑法（适用于了型））已知，则（ ）
A． B．
C． D．
例3.已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
【变式训练】
1.设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且成等比数列，则等于（ ）
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
2.已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
考点五：分段函数
【典例例题】
例1.已知函数若，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
例2．（2022·广东东莞·高三期末）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．关于的方程的所有根之和为 D．关于的方程的所有根之积小于
【方法技巧与总结】
1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练】
1.已知，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
2．己知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设函数，则（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
4．已知函数，则___________；若，则实数___________.
【巩固练习】
一.单选题
1．下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
2．若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f（2）＝（　　）
A． B．e
C． D．－1
3．设全集，集合，则（ ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
4．已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
5．若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝，g(x)＝
8．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
三、填空题
9．已知函数，则____________．
10.若定义在的函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________.第四讲：函数概念及其表示
【考点梳理】
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
【典型题型讲解】
考点一：函数的概念
【典例例题】
例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【答案】ABD
【详解】
对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；
对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.
【变式训练】
1.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【详解】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
2.已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．
x 0 1 2
0 1 2
【答案】
解：由表可知，.
故答案为：.
考点二：具体函数的定义域
【典例例题】
例1.函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：，故，解得：，
故选：B
例2.函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】
由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此，求解可得或．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成区间的形式.
【变式训练】
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数有意义，必有，即，于是得，而，
所以.
故选：C
2.函数的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
3．函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】
解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
考点三：抽象函数定义域
【典例例题】
例1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
【变式训练】
1.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.
【答案】
【详解】
的定义域是，则，
即函数的定义域为，
令，解得.
则函数的定义域为.
故答案为：.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，得，
所以，所以．
故选：B．
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
解：∵函数的定义域为
∴，
∴函数中，
∴
所以函数的定义域为[]．
故选：D
考四：函数的解析式求法
【典例例题】
例1.（待定系数法）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
例2.（换元法或配凑法（适用于了型））已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因，则设，有，而，则有，
于是得，
所以，
故选：C
例3.已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令为，则，
与联立可解得，．
故选：D．
【方法技巧与总结】
求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
【变式训练】
1.设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且成等比数列，则等于（ ）
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
【答案】A
【详解】
由已知，假设，
，．
成等比数列，
且．
，，成等比数列，即，
，从而解得（舍去），，
.
故选：A．
2.已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
令，则 ，
所以，
所以，
故选：A.
3．已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数满足，
设，则，由知，
故原函数可转化为，，
即的解析式为.
故选：A.
考点五：分段函数
【典例例题】
例1.已知函数若，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【详解】
∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
例2．（2022·广东东莞·高三期末）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．关于的方程的所有根之和为 D．关于的方程的所有根之积小于
【答案】．ACD
【详解】，，A正确；
当时，，关于，
当时，，
（，表示不超过的整数）
所以B错，
的根为，，
的根为，，
的根为，，
所有根的和为：，C正确；
由，累加可得
所以所有根之积小于，D正确.
故选:ACD.
【方法技巧与总结】
1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练】
1.已知，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
【详解】
∵，，
∴必有，
∴，
解得或（舍去），
∴.
故选：B.
2．己知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
由题意，得，.
故选：B．
3．设函数，则（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】
解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
4．已知函数，则___________；若，则实数___________.
【答案】 1
【详解】
因为，所以.
，，
当时，， 当时，，
所以当即时，，不符合；
当即时，，符合；
当即时，，无解，不符合.
所以实数.
故答案为：1；
【巩固练习】
一.单选题
1．下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：A中，B中，C中，D中
2．若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f（2）＝（　　）
A． B．e
C． D．－1
【答案】B
【详解】
由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.
故选：B
3．设全集，集合，则（ ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
【答案】D
【详解】
，，
所以，
故选：D.
4．已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【详解】
由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C
5．若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
二、多选题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
，
化简得
两式相加得，解得
故，A正确，B错误；
又，则，C正确，D错误；
故选：AC
7．下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝，g(x)＝
【答案】BD
【详解】
对于A，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于B，、的定义域都为，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于D，、的定义域都为，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数
故选：BD
8．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
【答案】BCD
【详解】
由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
三、填空题
9．已知函数，则____________．
【答案】1
【详解】
因为函数，所以函数，所以.
故答案为：1
10.若定义在的函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________.
【答案】
【详解】
由题意，定义在的函数，满足，
可得，
即，
将代入可得，
可得，所以，可得，
又由，所以曲线在点处的切线方程为，
即切线方程为.故答案为：.

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