资源简介

(共14张PPT)
布洛赫定理
布洛赫定理
1 布洛赫定理
3 布里渊区
2 波矢的取值和范围
本节主要内容:
§5.1 布洛赫定理
5.1.1 布洛赫定理
1.晶格的周期性势场
(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；
(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；
(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)；
(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
其中 为任意格点的位矢。
电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
其中 为电子波矢，
是格矢。
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符
(2)说明:
(3)
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
(1)平移对称算符
(2)
晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。
平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
在直角坐标系中：
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是 的本征函数，那么 也一定是算符 的本征函数。
根据平移特点
(3)
可得到
即
由周期性边界条件
根据上式可得到
同理可得：
这样 的本征值取下列形式
引入矢量
式中 为晶格三个倒格基矢，由于 ,
---布洛赫定理
再证明布洛赫波函数具有如下形式：
可以看出平面波 能满足上式。因此矢量 具有波矢的意义。当波矢增加一个倒格矢 ，平面波 也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
则上式化为
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
另外一种证明方法:
已知:
证明: 设
求证
其中
为待定函数
由定义
由已知
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 的取值和范围
由周期性边界条件

展开更多......

收起↑