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第八讲：导数的概念及运算
【考点梳理】
1．导数的概念
函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，
即．
2．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率，即，相应地切线方程．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（为常数）
（）
（） （）
（） （）
4．导数的运算法则
若函数，均可导，则：
（1）；
（2）；
（3）．
5、切线问题
（1）已知函数，在点的切线方程；
① ②
（2）已知函数，过点的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。
【典型题型讲解】
考点一：导数的几何意义---已知切点求切线方程
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，该函数在处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】对函数求导可得，把代入可得，
则切线方程的斜率.又因为，所以切点为，从而可得切线方程为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
求导，求斜率，用点斜式写切线方程
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
2．（2022·广东广东·一模）已知，则曲线在处的切线方程是______．
【答案】
【详解】，，，
所以曲线在处的切线方程式，
得.
故答案为：
3.已知，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，
故选D
4．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
【典型题型讲解】
考点二：已经切线斜率求切点问题
【典例例题】
例1．（2022·广东潮州·高三期末）曲线与直线相切，则______．
【答案】1
【详解】由题意，函数，可得，
设切点为，则，
因为曲线与直线相切，可得，即，①
又由，即切点为，可得，②
联立①②，可得．
故答案为：1
例2．（2022·广东珠海·高三期末）若函数在处的切线与直线垂直，则______．
【答案】-1
【详解】，，由．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，建立有关斜率和切点有关方程或方程组进行运算.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知曲线在点处的切线方程为，则_________．
【答案】-5
【详解】解：因为，所以，所以所以，所以．
故答案为：
2.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】
解：，，
∴，∴．将代入得，∴．
故选：C．
【典型题型讲解】
考点三：过一点求函数的切线方程
【典例例题】
例1.函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】
由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，求斜率，写切线方程，带已经点到到切线方程
【变式训练】
1.若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
2.曲线过点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
【典型题型讲解】
考点四：公切线问题
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．
【答案】B
【详解】设切点为，又，则切线的斜率
又 ，即有，整理得，
由于过点可作两条直线与函数相切
所以关于的方程有两个不同的正根，设为，则
，得 ，
，故B正确，A错误，
对于C，取，则，所以的最大值不可能为2，故C错误，
对于D，取，则，故D错误.
故选：B.
【方法技巧与总结】
分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程
【变式训练】
1.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以有
因为，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，则，，
设，则，
所以在上为减函数，
则，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：B．
2.已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】
设直线与函数，的图象相切的切点分别为，.
由，有，解得，.
又由，有，解得，，可得，当且仅当，时取“=”.
故选：B
3.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
【巩固练习】
一、单选题
1．若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（ ）
A．1 B． C．2 D．e
【答案】A
【详解】
解：因为曲线，
所以，
又因为曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，
所以，
故选：A
2．设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，
故选：A
3．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】D
【详解】
由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
∵，
∴，
，
∴，
∴y=f(x)在处的切线方程为：，
即．
故选：A．
5．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）
A．0 B． C．3 D．或3
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
则，
所以
所以函数在处的切线方程为，
由得，
由，解得或，
故选：D
6．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围.
7．若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．
【答案】C
【详解】
由和互为反函数可知，
两条公切线和也互为反函数，
即满足，，即，，
设直线与和分别切于点和，
可得切线方程为和，
整理得：和，则，，
由，得，且，
则，所以，
所以
,
故选：C
二、多选题
8．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【详解】
因为函数，所以
A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；
B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误；
C. 因为在曲线上，所以点是切点，则，
所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
三、填空题
9．已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
【答案】
【详解】
解：因为，又，
切线方程为：，即；
故答案为：.
10．若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
【答案】
【详解】
设的切点为，，故，
则切线方程为：，即
圆心到圆的距离为，即，
解得：或（舍去）
所以，则的斜率为
故答案为：
13．已知函数，则__________.
【答案】-2
【详解】
由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2
14．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，，
即，所以，，
因为，则，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故答案为：.第八讲：导数的概念及运算
【考点梳理】
1．导数的概念
函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，
即．
2．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率，即，相应地切线方程．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（为常数）
（）
（） （）
（） （）
4．导数的运算法则
若函数，均可导，则：
（1）；
（2）；
（3）．
5、切线问题
（1）已知函数，在点的切线方程；
① ②
（2）已知函数，过点的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。
【典型题型讲解】
考点一：导数的几何意义---已知切点求切线方程
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，该函数在处的切线方程为__________.
【方法技巧与总结】
求导，求斜率，用点斜式写切线方程
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广东·一模）已知，则曲线在处的切线方程是______．
3.已知，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【典型题型讲解】
考点二：已经切线斜率求切点问题
【典例例题】
例1．（2022·广东潮州·高三期末）曲线与直线相切，则______．
例2．（2022·广东珠海·高三期末）若函数在处的切线与直线垂直，则______．
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，建立有关斜率和切点有关方程或方程组进行运算.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知曲线在点处的切线方程为，则_________．
2.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典型题型讲解】
考点三：过一点求函数的切线方程
【典例例题】
例1.函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C．或 D．或
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，求斜率，写切线方程，带已经点到到切线方程
【变式训练】
1.若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
2.曲线过点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典型题型讲解】
考点四：公切线问题
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．
【方法技巧与总结】
分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程
【变式训练】
1.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（ ）
A．1 B． C．2 D．e
2．设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
5．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）
A．0 B． C．3 D．或3
6．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．
二、多选题
8．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
三、填空题
9．已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
10．若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
13．已知函数，则__________.
14．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.

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