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晶体比热的爱因斯坦模型
晶体比热的爱因斯坦模型
(1)晶体中原子的振动是相互独立的；
(2)所有原子都具有同一频率 。
1.模型
设晶体由N个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，共有3N个频率为 的振动。
2.计算
(1)比热表达式
通常用爱因斯坦温度 E代替频率 ，定义为kB E= ，
爱因斯坦比热函数。
爱因斯坦温度 E如何确定呢？
选取合适的 E值，使得在比热显著改变的温度范围内，理论曲线与试验数据相当好的符合。
对于大多数固体材料， E在100　300k的范围内。
高温时，当T>> E时，
(1)
3.高低温极限讨论
(2)低温时，当T<< E时，
但CV比T3趋于零的速度更快。是什么原因使爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合呢
按爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦频率 E大约为1013Hz，处于远红外光频区，相当于长光学波极限。
具体计算表明，在甚低温度下，格波的频率很低，属于长声学波，也就是说，在甚低温度下，晶体的比热主要由长声学波决定。因此爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合。
晶体比热的德拜模型
（1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波；
1.模型:
（2）有一支纵波两支横波；
（3）晶格振动频率在 之间( D为德拜频率)。
2.计算
(1)模式密度表达式
由弹性波的色散关系：
=vq
在波矢空间，等频率面是半径为q的球面，
弹性波有1支纵波、2支横波,共3支格波。所以总的模式密度为：
模式密度为:
(2)比热表达式
D为德拜温度
取
---德拜比热函数
(1)当T>> D时，x<<1，
3.高低温极限情况讨论
高温时与实验规律相吻合。
(2)低温时，当T<< D时，
由上式看出，在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。
解:
例 ：三维晶体，
求
其中c为常量，
qx
qy
在波矢空间，等频率面为球面，球半径为q。

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