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晶体的比热
3.6.1 晶体比热的一般理论
本节主要内容：
3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型
3.6.3 晶体比热的德拜模型
3.6 晶体的比热
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。
晶体比热的实验规律
(1)在高温时，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个数, kB=1.38 10-23J K-1为玻尔兹曼常量) ；
(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。
晶体的定容比热定义为：
3.6.1 晶体比热的一般理论
---晶体的平均内能
晶格振动比热
晶体电子比热
通常情况下， 本节只讨论晶格振动比热。
1.杜隆--珀替定律(经典理论)
根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶体有N个原子，则总自由度为： 3N。
低温时经典理论不再适用。
它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆--珀替定律。
2.晶格振动的量子理论
晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中
原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的能量都是量子化的。
第i个谐振子的能量为：
ni是频率为 i的谐振子的平均声子数：
第i个谐振子的能量为：
晶体由N个原子组成，晶体中包含3N个简谐振动，总振动能为
对于宏观晶体,原胞数目N很大，波矢q在简约布里渊区中有N个取值，所以波矢q近似为准连续的，频率也是准连续的。
上式可以用积分来表示：
间的振动模式数。
表示在
3.频率分布函数(模式密度)
设晶体有N个原子,则
(1)定义:
其中 m是最高频率，又称截止频率。
(2)计算
因为频率是波矢的函数，所以我们可以在波矢空间内求出模式密度的表达式。
包含在 内的振动模式数为：
单位频率间隔内的振动模式数。
波矢密度
两个等频率面间的体积
每一支格波的振动模式数
每一支格波的模式密度
晶格总的模式密度
两个等频率面间的波矢数
qy
qx
体积元：
dq：两等频面间的垂直距离,
ds：面积元。
体积元包含的波矢数目：
由梯度定义知:
代入上式得
证明：(法一)
例1：证明由N个质量为m、相距为a的原子组成的一维单原子链的模式密度
一维单原子链
共有N个值
dq间隔内的振动模式数为:
间隔内的振动模式数为：
(因子2是因为一个 对应于正负两个波矢q，即一个 对应两个振动模式。)
(式中 m为截止频率)
(法二)
一维单原子链只有一支格波，且
对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为

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