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晶体的离子习题
2.1 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
计算
1) 平衡间距r0
2) 结合能Eb（单个原子的）
3) 体弹性模量
4) 若取
计算 的值
1) 平衡间距r0的计算
平衡条件
2) 单个原子的结合能
晶体内能
3) 体弹性模量
晶体的体积
—— A为常数，N为原胞数目
晶体内能
体弹性模量
由平衡条件
体弹性模量
4) 若取
计算 的值
2.2 证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数
—— 对一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定
离子数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子
当
—— 一维一价离子
2.3 只计及最近邻间的排斥作用时，一离子晶体离子间的互
作用势为：
式中λ，ρ是常数，R是最近邻距离，求晶体平衡时，
原子间总的互作用势。
解：
总的 相互作用能，
其中
由平衡条件
平衡时总的 相互作用能，
2.4 设离子晶体中，离子间的互作用势为：
(1) 求晶体平衡时，离子间总的相互作用势能U（ R0）
(2) 证明：
其中，μ是马德隆常数，Z为晶体配位数。
解：设离子数目为2N，以rij=ajR表示第j个离子到参考
离子i的距离，总的相互作用能可以表示为：
其中，
由平衡条件
得：
总的相互作用势：
（2）晶体平衡时离子间总的相互作用势可化为：
由此可知
2.5 一维离子链，其上等间距载有正负2N 个离子，设
子间的排斥势只出现在最近邻离子之间，且为b/Rn, b, n
是常数，R是最近邻离子间距，离子电荷为q ,
（1）试证明平衡间距下：
（2）令晶体被压缩，使R0→ R0(1-δ),试证明在晶体被压
缩单位长度的过程中，外力作功的主项为
其中
（3）求原子链被压缩了
时的外力。
解：
设参考离子和第j个离子的距离为rj
aj是一整数，于是离子间总的互作用势能为：
为马德隆常数，由平衡条件：
得到：
在平衡间距下：
（2）将互作用势能在平衡位置展开成级数：
外力作功之主项：
将：
代入：
压缩单位长度的功：
令：
外力作功之主项：
（３）每根弹簧的势能为：
比较每根弹簧的势能公式：
弹簧的弹性常数为：
当每根弹簧压缩量为Rδe时所受的外力为：
2.6 两原子间的相互作用势为：
当 两原子构成一个稳定的分子时，核间距为3 ，结合能为
4 eV，求A和B 。
解：
2.7 lenard-Jones势为：
证明：当
时，势能最小，且
当
说明，ε和σ的物理意义。
This is the van der Waals radius, the distance between the atoms that minimizes their energy.
Substituting back into the Lennard-Jones potential gives the minimum energy:
Distance
Energy has a minimum value of - at the van der Waals radius
*2.01 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
现以 来代替排斥项 ，且当晶体处于平衡时，
这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和 的关系。
将结合能在平衡位置处展开
以 代替 后
根据题意
结合能
两式相比
n和 的关系

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