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第3讲 复数的概念和性质
通关一、复数的定义
要点诠释：（1）因为实数可写成，所以实数一定是复数；
（2）复数构成的集合叫复数集，记为
通关二、虚数单位的周期性
通关三、复数核心运算
结论一、复数的分类
【例1】已知,若为虚数单位是实数,则（ ）
A.1 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】因为是实数,所以,所以.故选C.
【变式】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】因为“"得或,只有,且,复数为纯虚数,否则
不成立;复数为纯虚数,所以且,所以.因此,i是虚数单位,则"是“复数为纯虚数"的必要不充分条件.故选.
结论二、复数相等
【例2】 若复数 , 则（ ）
【答案】 5
【解析】 因为复数 , 所以 ,解得 ,
故 .
【变式】已知 是虚数单位,若( ,则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】
【解析】因为 , 所以 , 即 -4i, 所以 , 解得 . 故选 .
结论三、共轭复数
【例3】若 , 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 , 所以 . 故选 D.
【变式】 若复数, 其中为虚数单位,则共若复数 （ ）
A. B. C. D.
答案
【解析】 因为复数 , 所以 . 故选 .
结论四、复数的加法与减法及意义
【例4】设复数满足,则_______________
【答案】
【解析】复数满足,所以,故.
【变式】 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则（ ）
A. B. C. D.4
【答案】
【解析】对应的点的坐标为,因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以关于虚轴对称的点的坐标为,则对应的复数,则.故选.
结论五、复数的乘法
要点许释:.
【例5】（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】.故选.
【变式】设,且为正实数,则（ ）
A. B.1 C.0 D.
【答案】
【解析】是正实数,故.
故选D.
结论六、复数的除法
【例6】（ ）
A. B. C. D.-
【答案】D
【解析】 . 故选 .
【变式】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 . 故选 D.
结论七、复数的模
【例7】已知复数 , 则 （ ）
【答案】
【解析】 因为复数 , 所以 . 故答案为 .
【变式】 已知为虚数单位,复数 , 则
【答案】 1
【解析】 因为 为虚数单位,复数 , 则 . 故答案为 .
结论八、复数常见运算技巧
【例8】已知复数，则（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】 故选B.
【变式】设，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.
A. 若，则 B． 若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】 D
【解析】 对于A选项，若，则，所以为真命题;
对于B选项，若则和互为共轭复数，所以为真命题;；
对于C选项，设，若则，所以为真命题；
对于D选项，若则为真，而 所以为假命题.
故选D.
结论九、复数的几何意义
在复平面内，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
【例9】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为，所以,解得.故选A.
【变式】 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】复数在复平面内对应的点在第二象限，所以,解得.则实数的取值范围是.故选B.第3讲 复数的概念和性质
通关一、复数的定义
要点诠释：（1）因为实数可写成，所以实数一定是复数；
（2）复数构成的集合叫复数集，记为
通关二、虚数单位的周期性
通关三、复数核心运算
结论一、复数的分类
【例1】已知,若为虚数单位是实数,则（ ）
A.1 B. C.2 D.
【变式】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
结论二、复数相等
【例2】 若复数 , 则（ ）
【变式】已知 是虚数单位,若( ,则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.2
结论三、共轭复数
【例3】若 , 则（ ）
A. B. C. D.
【变式】 若复数, 其中为虚数单位,则共若复数 （ ）
A. B. C. D.
结论四、复数的加法与减法及意义
【例4】设复数满足,则_______________
【变式】 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则（ ）
A. B. C. D.4
结论五、复数的乘法
要点许释:.
【例5】（ ）
A. B. C. D.
【变式】设,且为正实数,则（ ）
A. B.1 C.0 D.
结论六、复数的除法
【例6】（ ）
A. B. C. D.-
【变式】
A. B. C. D.
结论七、复数的模
【例7】已知复数 , 则 （ ）
【变式】 已知为虚数单位,复数 , 则
结论八、复数常见运算技巧
【例8】已知复数，则（ ）.
A． B． C．2 D．
【变式】设，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.
A. 若，则 B． 若，则
C．若，则 D．若，则
结论九、复数的几何意义
在复平面内，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
【例9】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式】 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．

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