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第1讲 集合技巧全攻略
交集
并集
补集
结论一、集合的互异性
对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例 如集合,则有
[例1]设集合,则中元素的个数为（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案]
[解析] 因为集合,所以的值可能为.所以中元素只有:5，6，7故选.
[变式]已知集合各元素之和等于3,则实数（ ）
[答案] 2或
[解析] 根据集合中元素的互异性,当方程重根时,重根只能算一个元素..当时,,不合题意;当,即时,,符合题意;当,且时,,则,符合题意.综上,或.
结论二、集合相等
对于两个集合与,如果,且,那么集合与相等,记作.
[例2]设,集合,则（ ）.
A.1 B. C.2 D.
[答案] C
[解析] 由题意知,又,故,得,则集合,可得,则.故选.
【变式】 设,若,则（ ）
[解析]因为,所以,所以,所以.
结论三、集合子集个数
真子集有个,非空真子集有个.
[例3]已知集合,则的子集个数为（ ）.
A.3 B.4 C.7 D.8
[答案] D
[解析] 因为集合,所以,,所以中含有3个元素,集合的子集个数有.故选.
【变式】 设集合,若至少有3个元索,则这样的一共有（ ）.
A.2个 B.4个 C.5个 D.7个
[答案] C
[解析] 因为集合至少有3个元素,所以满足条件的集合有:,所以这样的一共有5个.故选.
结论四、子集与交集
若,则;若,则.
[例4]已知集合.若,则实数的值是（ ）.
A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2
[答案] C
[解析] 因为,所以,所以或故选.
【变式】 已知集合,若,则实数的取值范围是（ ）.
A. D.
[答案] C
[解析] 由,即,可得,故.由可得,故.故选.
结论五、子集与并集
若,则;若,则.
[例5]已知集合，.若,则的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 因为,所以,即,得,解得,所以的取值范围是.故选C.
【变式】 设全集,若,则下列正确的是( ).
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 由可得,所以.故选B.
结论六、子集与空集
题目中若有条件,则应分和两种情况进行讨论.
[例6]若集合,,且,则实数
[答案] 0或或
[解析] 由可得或,因此
(1)若,得,此时,;
(2)若,得.若,满足或,解得或.
故所求实的值为0或或.
【变式】 已知,则的取值范围是___________
[答案]
[解析] 应分和两种情况讨论.
当 , 即 时, ,满足 , 即 ; 当 , 即 时, ,满足 , 即 ; 当 , 即 时,由 ,得 即 ;
综上, . 故 的取值范围是 .
结论七、交集与空集
由于,因此,中的可以为.
[例7]已知集合,且,则实数的取值范围为（ ）.
[答案] D
[解析] 由, 得 , 得 , 所以4}.又,所以.
(1)当时,有 ,解得.
(2)当 时,有
综上, . 故选 .
【变式】 设 , 若 , 实数 组成的集合的子集有（ ）个.
[答案] 8
[解析] 集合化简得 ,由知,故()当时,即方程无解,此时符合已知条件.(当时, 即方程的解为3或5,代人得或综上,满足条件的组成的集合为,故其子集共有 个.
结论八、并集与空集
由于,因此,中的可以为.
[例8] 已知集合 ,则的取值是( ).
A. B. C. D.
[答案] D
[解析]，，
当 时,.若,则方程无实数解,此时;,则方程的实数解为,此时;若,则方程的实数解为3,此时;若,则方程的实数解为和3,此时不存在.综上,的取值是.故选 D.
【变式】 已知集合 ,若,实数 的取值范围为_______
[答案]
[解析] , 因为,所以.
(1)当时,即,解得
(2)当时,即
综上,实数的取值范围为.
结论九、反演律（德摩根定律)
(交的补等于补的并)
（并的补等于补的交）
[例9]若为全集,下面三个命题中是真命题的有( )
(1)若,则.
(2)若,则.
(3)若,则.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[答案] D
[解析] （1）
(2);
(3) 证明:因为,即,而,所以;
同理, 所以=
综上，三个命题均为真命题.故选D.
【变式】 若全集,则集合等于（ ）.
[答案] D
[解析] 因为 ,所以.故选D.
结论十、容斥原理
用 表示集合中的元素个数(有资料中用或其他符号)，则通过维恩图可理解其具备的二维运算性质.
[例10]高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下:参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三;参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人;两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为
[答案] 40人
[解析] 设，，
.设该班两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，
由图可知,,解得，
因为(人),所以该班总人数为40人.
【变式】 设是有限集,定义,
其中表示有限集中的元素个数,
命题(1):对任意有限集"是“"的充分必要条件;
命题对任意有限集.下列判断正确的是（ ）.
A.命题(1)和命题(2)都成立 B.命题(1)和命题(2)都不成立
C.命题(1)成立,命题(2)不成立 D.命题(1)不成立,命题(2)成立
[答案]
[解析] 实际表示的是只在中或只在中的元素个数.
对命题(1),当时,至少有1个元素只在中或只在 中, 所以
对命题,如图所示,记图中的各个区域 内的元素个数是且,
所以,
所以，,
所以命题也成立. 故选第1讲 集合技巧全攻略
交集
并集
补集
结论一、集合的互异性
对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,【例】 如集合,则有
[例1]设集合,则中元素的个数为（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
[变式]已知集合各元素之和等于3,则实数（ ）
结论二、集合相等
对于两个集合与,如果,且,那么集合与相等,记作.
[例2]设,集合,则（ ）.
A.1 B. C.2 D.
【变式】 设,若,则（ ）
结论三、集合子集个数
真子集有个,非空真子集有个.
[例3]已知集合,则的子集个数为（ ）.
A.3 B.4 C.7 D.8
【变式】 设集合,若至少有3个元索,则这样的一共有（ ）.
A.2个 B.4个 C.5个 D.7个
结论四、子集与交集
若,则;若,则.
[例4]已知集合.若,则实数的值是（ ）.
A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2
【变式】 已知集合,若,则实数的取值范围是（ ）.
A. D.
结论五、子集与并集
若,则;若,则.
[例5]已知集合，.若,则的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
【变式】 设全集,若,则下列正确的是( ).
A. B. C. D.
结论六、子集与空集
题目中若有条件,则应分和两种情况进行讨论.
[例6]若集合,,且,则实数
【变式】 已知,则的取值范围是___________
结论七、交集与空集
由于,因此,中的可以为.
[例7]已知集合,且,则实数的取值范围为（ ）.
【变式】 设 , 若 , 实数 组成的集合的子集有（ ）个.
结论八、并集与空集
由于,因此,中的可以为.
[例8] 已知集合 ,则的取值是( ).
A. B. C. D.
【变式】 已知集合 ,若,实数 的取值范围为_______
结论九、反演律（德摩根定律)
(交的补等于补的并)
（并的补等于补的交）
[例9]若为全集,下面三个命题中是真命题的有( )
(1)若,则.
(2)若,则.
(3)若,则.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【变式】 若全集,则集合等于（ ）.
结论十、容斥原理
用 表示集合中的元素个数(有资料中用或其他符号)，则通过维恩图可理解其具备的二维运算性质.
[例10]高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下:参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三;参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人;两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为
【变式】 设是有限集,定义,
其中表示有限集中的元素个数,
命题(1):对任意有限集"是“"的充分必要条件;
命题对任意有限集.下列判断正确的是（ ）.
A.命题(1)和命题(2)都成立 B.命题(1)和命题(2)都不成立
C.命题(1)成立,命题(2)不成立 D.命题(1)不成立,命题(2)成立

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