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一元二次方程的应用 题型分类训练
题型1．与图形有关的面积（体积）问题
1）图形面积问题
解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。
2）围墙问题
解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
例1．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
【答案】A
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
变式1．（2022 萧山区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长；
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论；
（3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣24＜0，即可得出饲养场的面积不能达到210平方米．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．故答案为：24．
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．
【详解】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816．故选：D．
【点睛】此题是一元二次方程的应用，解此类题关键是看准题型列方程，矩形的面积=矩形的长×矩形的宽．
变式2.（2022·浙江温州市·九年级期中）如图，学校在长方形士地上铺设一条宽为的等宽度的“L”形石板路（图中阴影部分），余下两块长方形（图中白色区城①②）种植花卉，且区域①②的周长相等．经测量这条石板路的总铺设面积为．设的长度为．
（1）图中线段的长为_________，（用含x代数式表示）图中阴影部分的周长为_______．
（2）设长方形的面积为．
①用含x的代数式表示_______．②若区域②恰好是一个正方形，求S的值．（请写出解答过程）
（3）已知种植花卉的单价为20元/，铺设石板路单价为100元/，工程总费用为12080元．若x为奇数，则_______．
【答案】（1）31-x，64；（2）①S=；②480；（3）17
【分析】（1）根据石板路的总面积可得GF×HG+IC×EC=31，从而表示出GF，再将阴影部分各边相加，可得周长；（2）①根据白色区城①②的周长相等，列式得出BI的长，从而得到CD，根据长方形面积公式可得结果；②根据正方形得到EF=GF，可得x值，代入计算即可；（3）根据种植花卉的费用加上铺设石板路的费用为12080可得方程，解之即可得到x值．
【详解】解：（1）∵石板路的总铺设面积为，即GF×HG+IC×EC=31，即GF+x=31，∴GF=31-x，
则阴影部分的周长=GF+HG+HI+IC+EC+EF=31-x+1+31-x+1+x+1+x-1=64；
（2）①∵白色区城①②的周长相等，IC=x，则2（AB+BI）=2（EF+GF），即GF+1+BI=x-1+GF，∴BI=AH=x-2，
∵AB=CD=DE+CE=GF+CE=31-x+1=32-x，∴S=BC×CD=（BI+IC）×CD=（x-2+x）（32-x）=；
②∵区域②恰好是一个正方形，∴GF=EF，即31-x=x-1，解得：x=16，∴S==480m2；
（3）由题意可得：31×100+（S-31）×20=12080，
即，解得：x=16或x=17，∵x为奇数，∴x=17．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂图形，正确表示出相应线段长和图形的面积．
题型2 碰面问题（循环问题）
解题技巧：有2种类型
（1）重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分
∴m=
（2）不重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠
∴m=
例1．（2021·广西河池市·九年级二模）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为(x-1)张，根据“全班共送出了2550张相片”可得方程为x(x-1)=2550.
【详解】解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为(x-1)张，∴x(x-1)=2550.故选：B．
【点睛】本题要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握关键语．
变式1．（2022·浙江奉化初二期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
【答案】C
【分析】根据全班一共送了1260张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2．（2022·陕西初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.
【解析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得： ，
解之，得，. 不合题意舍去，.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
变式2、（2022·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
【答案】D
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，
所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解
【解析】参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．
【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
题型3 传播问题
解题技巧：有2种类型
（1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
传播轮次 传播前人数 传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap=a（1+p）
2 a（1+p） a（1+p）p a（1+p）+a（1+p）p=a
3 a a aaa
发现规律：传播人数：b=a，与增长率问题公式一致。见例1.
（2）个体传播一轮后，个体不再传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
传播轮次 具有传染力的人数 传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap
2 ap a+ap+
3 a+ap++
发现规律：传播人数：b=a+ap++。见例2.
例1．（2022·仁寿县城北实验初级中学九年级期末）新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程因为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人，即225人患病，据此列方程即可．
【详解】解：平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人，
由题意得：x+1+（x+1）x=225，整理得：，故选：A．
【点睛】本题考查实际问题与一元二次方程，解题的关键是弄清题意正确列出方程．
变式1．（2022·浙江杭州市·八年级其他模拟）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【答案】（1）是“超级传播者”，过程见解析；（2）3375人
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数=经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【详解】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）x=225，解得：x1=14，x2=-16（不合题意，舍去），
∵14＞10，∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）225×（1+14）=3375（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有3375人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2.（2022·云南州·九年级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【详解】解：设每个支干长出x根小分支，根据题意可得：1＋x＋x2＝31故选：B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
变式2．（2022·河北石家庄市·九年级期末）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可.
【详解】由题意，设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，
根据两轮传播后，共有931人参与列出方程，得n2+n+1=931，故选： C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
题型5 利润问题
解题技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类似。
例1．（2022.绵阳市九年级期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
【答案】：10元
【解析】①依据题意，寻找等量关系式：
此题是利润问题，等量关系式为：每件衣服的利润×衣服的销售量=利润
②设未知数：
∵利润已知，每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关
∴设每每件衣服涨价x元
③根据等量关系式建立方程：
每件衣服的利润为：（50－30+x）=（20+x）元
销售重量为：（300－x）件
方程为：（20+x）（300－x）=8700
④解方程并解答：
方程化简得：，继续化简得：（x－10）（x－270）=0
解答：，
∵售价不得高于80元 ∴x≤30 ∴x=10
答：应涨价10元。
【点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
变式1. （2022 澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出　 　个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
【分析】（1）由销售数量＝600﹣20×上涨价格，即可得出结论；
（2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，根据月利润＝单件利润×月销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：600﹣20m．故答案为：600﹣20m．
（2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，
根据题意得：（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，解得：x1＝3，x2＝4．
当x＝3时，销量为1200＜1300，适合题意；
当x＝4时，销量为1400＞1300，舍去．∴40﹣x＝37．
答：每个排球的售价为37元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江佳木斯市·九年级三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【分析】根据等量关系：（40-30+涨价的价格）×（原来卖出的数量-10×涨价的价格）=8000，把相关数值代入求合适的解即可．
【详解】解：设售价定为元时，每天赚取利润8000元，
由已知得：，整理得：，解得：或
∵尽量减少库存，∴，故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能理解题意，正确列出方程是解题的关键．
变式3．（2022·山东菏泽市·九年级二模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进两种牡丹制品，若购进种牡丹制品5件，种牡丹制品3件，共需450元；若购进种牡丹制品10件，种牡丹制品8件，共需1000元．（1）购进两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的两种牡丹制品，在销售中发现，种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售两种牡丹制品每天总获利为10000元，种牡丹制品每件降价多少元？
【答案】（1）购进种牡丹制品每件需60元，种牡丹制品每件需50元；（2）种牡丹制品每件降价10元
【分析】（1）设购进种牡丹制品每件需元，种牡丹制品每件需元，根据单价乘以件数，把两种商品的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可；
（2）设种牡丹制品每件降价元，则根据“每件每降价1元，多售出20件，该商店对种商品降价销售后每天销量超过200件”，可得；再由题意可得的利润为；结合每天可获利7000元，，两种商品每天获利10000元，列方程即可求出的值．
【详解】解：（1）设购进种牡丹制品每件需元，种牡丹制品每件需元，
则由题意得：，解得：，
答：购进种牡丹制品每件需60元，种牡丹制品每件需50元．
（2）设种牡丹制品每件降价元，
则由题意得：，化简得：，
，答：种牡丹制品每件降价10元．
【点睛】本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，根据实际问题准确找出等量关系是解决问题的关键．
题型6 数字问题
例1．（2022·浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可；
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3，
由题意可得：．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
变式1.（2022 汉寿县期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2.（2022 沧州期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是　 　．
【分析】根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等
式求出答案．
【解答】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：x+8，根据题意可得：
x（x+8）＝128，整理得：x2+8x﹣128＝0，（x﹣8）（x+16）＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣16，则这4个数中最小的数是8．故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出最大数是解题关键．
变式2. （2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】5
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【详解】解：设这个最小数为．根据题意，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点睛】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．
题型7 动态问题
解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
例1．（2022·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
变式1．（2022·浙江九年级专题练习）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
【答案】或
【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，，．
∵于点．∴设当时间为秒时，的面积为．
当时，，，，即，解得：或（舍去）．
当时，，，，即，
解得：或（舍去）．
综上所述：当或秒时，的面积为．故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．
例2．（2022·浙江九年级月考）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是______.
【答案】
【分析】由题意可知乙的运动路程为，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.
【详解】如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置是第二次相遇时，
由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故甲、乙行驶的总路程为：
∵乙以的速度匀速运动∴乙的运动路程为，
根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程∴
解得：（不符合实际，舍去）故答案为
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用-行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方程.
变式2．（2022·江苏无锡市·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．
（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？
（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？
【答案】(1) 经过秒四边形是菱形；（2）经过2秒、秒 、秒时为直角三角形
【分析】（1）根据矩形性质可得，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形，只需，四边形是菱形，设经过x秒四边形是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解；（2）由分为①②两种情况讨论：对①，过Q作于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对②，则，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解．
【详解】解：（1）由题可知,由于P、Q两点速度大小相同，
， 是平行四边形，当时，四边形是菱形；
设经过了x秒四边形是菱形，则有：，
由勾股定理得： 解得：
故经过秒四边形是菱形；
（2） P、A两点不重合
为直角三角形有两种情况：①当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示，，则有：，
解得：， ；
②当时，，所以，解得 ；
综上可知：经过2秒、秒 、秒时为直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）根据领边相等建立一元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键．
题型8 其他问题
解题技巧：工程、行程等其他类型，根据各自类型的特征具体分析即可。
例1．（2022·四川武侯初三月考）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
【答案】（1）甲工厂最多可生产1000万片的口罩；（2）m的值为4．
【分析】（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可．
【解析】解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．解得：m1＝m2＝4．答：m的值为4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出不等式或方程是解题的关键．
变式1．（2022·江苏惠山初三期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解．
【解析】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：，
解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904， 整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程．
变式2．（2022·江苏常州中考模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解析】解：（1），，
所以或或，，；故答案为，1；
（2）， 方程的两边平方，得 即
或 ，，
当时，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，所以，
设，则因为，，
两边平方，得整理，得
两边平方并整理，得即所以．
经检验，是方程的解．答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
变式3．（2022·内蒙古九年级二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A．10场 B．11场 C．12场 D．13场
【答案】B
【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）=66，整理，得：x2+x-132=0，解得：x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．
所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021·黑龙江中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，解得：（舍去），故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
3．（2022·浙江九年级期末）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．
【答案】50.7（1+x）2=125.6
【分析】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一二次方程
【详解】解：依题意，得：50.7（1+x）2=125.6．故答案为：50.7（1+x）2=125.6．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022·山西九年级模拟）某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
【答案】5
【分析】设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，则需要支付费用40x元，损失10x千克，价格为（6+0.5x）元，根据获利1175元，列方程求解．
【详解】解：设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，
由题意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，解得：x1=5，x2=15
∵储藏时间不超过10天，∴x2=15舍去．故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
5．（2022·广西贵港市·九年级三模）突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，在复工复产后商场对某种商品价格进行了调整，将该种商品的进价提高了8元定为销售价格，此时该商品8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件．经市场调查发现：如果该商品每件再涨价1元，每天就会少售出5件．
（1）该商品的售价和进价各是多少元？（2）若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元？
【答案】（1）售价32元/件，进价24元/件；（2）3元
【分析】（1）根据题目，设出未知数，列出一元一次方程即可求解；
（2）根据题目：利润=每件利润×销售数量，列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：（1）设商品的进价为每件元，则售价为每件元，
由题意可得：，解得，∴，
答：商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件；
（2）设该商品应再涨价元，由题意可得：，
解得：或，
∵每天所得的销售利润为2035元时，且销售量尽可能大，∴，
答：该商品应再涨价3元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握实际问题销售模型是解答此题的关键．
6．（2022·山西临汾市·九年级模拟）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a 7），（a 1），（a＋1），（a＋7），利用（a 1）（a＋1） （a 7）（a＋7）＝48可证出结论；（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x 14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y 14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为，
∴．
（2）解：设这五个数中最大数为，由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y 14），依题意，得：y（y 14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝ 6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，∴不符合题意，∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022·上海九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
【答案】（1）同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；（2）不存在，理由见详解
【分析】（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，用x表示出PC，CQ，根据勾股定理可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得：
，解得：x＝2或x＝，
答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
，y2 6y＋12＝0，
∵△＝36 4×12＜0，∴方程无解，即：不存在．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理，和一元二次方程的判别式，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
8.（2022 平江县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意，得：128 （1+x）2＝288
解得x1＝0.5；x2＝﹣2.5（舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）第四个月进馆人数为288（1）＝432（人次），
由于432＜500
答：市图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
9．（2022·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】：（1）7人 （2）512人
【解析】：（1）
①列写等量关系式：
此题是传播问题（个体传染后依旧传染），关系式为：=，其中b表示2轮传播后的人数，a表示传播前的人数，p为平均一人传播的人数，n为传播的轮次。
②设未知数
∵已知：a=1，b=64，n=2，仅p不知 ∴设平均一人传播x人
③根据等量关系式列方程：
方程为：1＝64
④求解方程并解答：
整理得：＝ 解得：，
∵依题意，传播人数为正值 ∴x=7∴平均一人传播7人
（2）直接利用公式，第3轮传播人数=＝人
答:略。
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2020·贵州·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．
（2）∵，∴，
当时，．故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．
11.（2022·安庆初二期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【答案】（1）24﹣3x；（2）花圃的长为9米，宽为5米．
【解析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
解：（1）设宽AB为x，则长AD=BC=22﹣3x+2=（24﹣3x）米；
（2）由题意可得：（22﹣3x+2）x=45，解得：x1=3；x2=5，
∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去，当AB=5时，BC=9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
12．（2022·山西吕梁市·九年级二模）太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． （1）求原计划每天铺设轨道多少米？（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？
图1 图2
【答案】（1）80米；（2）0.2米
【分析】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：（1）设原计划每天铺设轨道x米．
根据题意，得300x=120（x+120）． 解得x=80．
答：原计划每天铺设轨道80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．
根据题意，得．解得y1=-3.2（不合题意，舍去），y2=0.2．
答：镶上的木质框架的宽度为0.2米．
【点睛】本题考查一元一次方程与一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
13．（2022·重庆一中初三月考）年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】（1）生产线至少生产口罩小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为．
【分析】（1）设生产线至少生产口罩小时，根据生产护目镜的总数量不少于个列出不等式求解即可；（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多个列出方程求解即可．
【解析】（1）解：设生产线至少生产口罩小时 解得：
答：生产线至少生产口罩小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为
解得：
生产时间： 答：设该厂实际每天生产口罩的时间为.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程的应用 题型分类训练
题型1．与图形有关的面积（体积）问题
1）图形面积问题
解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。
2）围墙问题
解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
例1．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
变式1．（2022 萧山区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
例2．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2.（2022·浙江温州市·九年级期中）如图，学校在长方形士地上铺设一条宽为的等宽度的“L”形石板路（图中阴影部分），余下两块长方形（图中白色区城①②）种植花卉，且区域①②的周长相等．经测量这条石板路的总铺设面积为．设的长度为．
（1）图中线段的长为_________，（用含x代数式表示）图中阴影部分的周长为_______．
（2）设长方形的面积为．①用含x的代数式表示_______．②若区域②恰好是一个正方形，求S的值．（请写出解答过程）。（3）已知种植花卉的单价为20元/，铺设石板路单价为100元/，工程总费用为12080元．若x为奇数，则_______．
题型2 碰面问题（循环问题）
解题技巧：有2种类型
（1）重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分
∴m=
（2）不重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠
∴m=
例1．（2021·广西河池市·九年级二模）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江奉化初二期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
例2．（2022·陕西初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
变式2、（2022·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
题型3 传播问题
解题技巧：有2种类型
（1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
传播轮次 传播前人数 传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap=a（1+p）
2 a（1+p） a（1+p）p a（1+p）+a（1+p）p=a
3 a a aaa
发现规律：传播人数：b=a，与增长率问题公式一致。见例1.
（2）个体传播一轮后，个体不再传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
传播轮次 具有传染力的人数 传染人数 传播后总人数
1 a ap a+ap
2 ap a+ap+
3 a+ap++
发现规律：传播人数：b=a+ap++。见例2.
例1．（2022·仁寿县城北实验初级中学九年级期末）新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程因为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江杭州市·八年级其他模拟）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
例2.（2022·云南州·九年级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
变式2．（2022·河北石家庄市·九年级期末）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
题型5 利润问题
解题技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类似。
例1．（2022.绵阳市九年级期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？ 式1. （2022 澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出　 　个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
变式2．（2022·黑龙江佳木斯市·九年级三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
变式3．（2022·山东菏泽市·九年级二模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进两种牡丹制品，若购进种牡丹制品5件，种牡丹制品3件，共需450元；若购进种牡丹制品10件，种牡丹制品8件，共需1000元．（1）购进两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的两种牡丹制品，在销售中发现，种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售两种牡丹制品每天总获利为10000元，种牡丹制品每件降价多少元？
题型6 数字问题
例1．（2022·浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2022 汉寿县期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
例2.（2022 沧州期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是　 　．
变式2. （2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
题型7 动态问题
解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
例1．（2022·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
变式1．（2022·浙江九年级专题练习）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
例2．（2022·浙江九年级月考）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是______.
变式2．（2022·江苏无锡市·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．
（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？
（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？
题型8 其他问题
解题技巧：工程、行程等其他类型，根据各自类型的特征具体分析即可。
例1．（2022·四川武侯初三月考）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
变式1．（2022·江苏惠山初三期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
变式2．（2022·江苏常州中考模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
变式3．（2022·内蒙古九年级二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
课后专项训练：
1．（2022·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A．10场 B．11场 C．12场 D．13场
2．（2021·黑龙江中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
3．（2022·浙江九年级期末）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．
4．（2022·山西九年级模拟）某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
5．（2022·广西贵港市·九年级三模）突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，在复工复产后商场对某种商品价格进行了调整，将该种商品的进价提高了8元定为销售价格，此时该商品8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件．经市场调查发现：如果该商品每件再涨价1元，每天就会少售出5件．
（1）该商品的售价和进价各是多少元？（2）若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元？
6．（2022·山西临汾市·九年级模拟）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
7．（2022·上海九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
8.（2022 平江县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
9．（2022·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
10（2020贵州·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
11.（2022·安庆初二期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
12．（2022·山西吕梁市·九年级二模）太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． （1）求原计划每天铺设轨道多少米？（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？
图1 图2
13．（2022·重庆一中初三月考）年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间.

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