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第六章 平面向量及其应用
人教2019A版必修 第二册
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量示
1.理解平面向量基本定理及其意义；
2. 理解作为一个基底的条件，能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量．
核心素养：
数学抽象，直观想象，数学运算
1.向量的加法：
首尾相连,连首尾
共起点
2.向量的减法：
共起点,指向被减向量
A
B
C
A
B
C
D
A
B
A
C
复习回顾
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.
类似地，我们能否将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢
O
C
A
B
M
N
O
C
A
B
M
N
思考1：若向量 与 或 共线， 还能用 表示吗？
思考2：当 是零向量时， 还可以表示成 的形式吗？
新知探究
思考3：　若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，
a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即（λ1－μ1）e1＝（μ2－λ2）e2．
∵e1与e2不共线，
∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2．
对于给定的向量 ，这样的 是唯一的
平面向量基本定理：
平面内任一向量都可以由同一个基底唯一表示。
注： ① 、是两个不共线的向量；
② 是平面内的任一向量；
③ , 实数,唯一确定.
(1) 能与另外一个向量构成基底吗？
(2)平面向量的基底是唯一的吗？
(3)如果,是共线向量,那么向量能否用,表示,为什么？
思考
不能
不可以
不唯一
1．判断正误
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　)
(2)基底中的向量可以是零向量．(　　)
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．(　　)
(4)e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得
λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.(　　)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
题型一：对基底概念的理解
例1．（1）已知向量 是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是( )
A. B. C. D.
（2）已知向量 不共线，则下列各组向量中，不能作平面向量的一组基底的是( )
A. B. C. D.
总结：两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能，反之，则可作为基底.
B
B
例2　已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且
　 　．设＝a，＝b，选择基底{a，b}，试写出向量在此基底下的分解式．
解：根据题意，得
所以
同理
题型二：用基底表示平面向量
小结：
用基底表示向量的方法：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止
（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
类型三：平面向量基本定理在几何中的应用
例3 如图，CD是△ABC的中线，且 CD＝ AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
C
A
D
B
因为CD＝ AB，所以CD＝DA．因为 ，
所以 ．
因此CA⊥CB．结论成立．
证明：设
则
小结：用向量解决平面几何问题的一般步骤：
1.选基底
2.将相关向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题；
3.进行向量运算，解决向量问题
4.再将向量问题转化为几何问题
平面向量基本定理：
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