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零点问题
知识与方法
1函数零点的定义:方程的解叫做函数的零点.
2三个等价关系：
函数有零点方程有解图象与轴有交点.
3零点问题主要有如下几类:
(1)零点的个数问题;
(2)零点的范围问题;
(3)隐零点问题.
典型例题
零点的个数
【例1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,则.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以在单调递减,在单调递增.
(2).
当时,,所以在单调递增,故至多存在1个零点,不
合题意；
当时,由可得,当时,;
当时,.
所以在单调递减,在单调递增;
故当时,取得极小值,最小值为.
(i)若,则在至多存在1个零点,不合题意;
(ii)若,则.由于,所以在存在唯一零点.由(1)知,当时,,所以当,且时,
.
故在存在唯一零点,从而在有两个零点.
综上,实数的取值范围是.
解法2:分离参数
若有两个零点,即有两个解.
显然,,因此有两个解,
即直线与曲线有两个交点.
,令,得,
当时,;当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,故.
又,当时,,
当时,,画出的图象如图所示,
结合图象可知:
当时,直线与曲线没有交点;
当或时,直线与曲线有唯一交点;
当时,直线与曲线有两个交点.
综上所述,有,即,故实数的取值范围是.
【点睛】本题第(2)问的解法1,由于函数有两个零点,所以必有一个极值点.先求出函数的极值(也是最值),根据函数极值符号及函数值在极值点两侧符号求出并验证的取值范围.
解法2将进行参变分离,转化为与曲线的交点个数间题,数形结合解决问题.这里采取“倒数分参”,其中函数的定义域是,研究其性质较为方便.
如果转化为直线与的交点个数问题,就会出现“断点”,即,处理起来相对复杂.
解决零点个数常用的方法主要有三种:
1.将函数零点个数问题转化为两个函数图象交点的个数问题,利用数形结合思想求解;
2将函数的零点个数问题转化函数的图象与轴交点个数的问题;
3将进行参变分离,通常将参数完全分离,转化为的形式,再利用函数的图象与直线交点的个数求解;而为了避免出现“断点”,可以考虑“倒数分参”,过程与上面的解法2类似.
【例2】已知函数.
(1)当时,求的最大值;
(2)讨论关于的方程的实根个数.
【解析】(1)当时,,
令,得.
当时,单调递增;
当时,单调递减.
所以.
(2)解法1
由,得,
令,
所以方程的实根的个数即为函数在上的零点的个数,因为,所以是函数的一个零点,又因为,
所以在上的零点互为倒数,下面研究在上的零点的个数:
因为,
(i)若,则时,,
所以在上没有零点;
(ii)若,则,
令,
(1),即时,即,
所以在上递增,
所以,所以在上没有零点;
(2),即时,有两个不等实根,且,
所以大根,小根满足,
所以时,单调递减,
时,单调递增,
所以,
又因为,
所以在上恒小于0,
在上存在唯一使得,
所以在上仅有一个零点,
因为在上的零点互为倒数,且,
所以时,仅有一个零点,时,有三个零点.
综上所述,
时,方程仅有一个实根;
时,方程有三个实根.
解法2:分离参数
由,得显然是该方程的一个根;
时,方程等价于,令且,
则.
令,
则,
所以时,单调递减,
所以时,单调递减;
时,单调递增.
由时,;
时,;
时,.
可画出的大致图象如图所示:
结合图象得:时,方程有两个实根;时,方程没有实根.综上所述,
当时,方程仅有一个实根;
当时,方程有三个实根.
零点的范围
【例3】设函数,曲线在点处的切线与轴垂直.
(1)求;
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
【解析】,所以.
(2)解法1:图象法
,得,或;
所以在上递增,在上递减.
.
(1)当时,,
因为,所以由函数的单调性可知,函数的零点在区间上,不满足题意;
(2)当时,由于,
因为,所以由函数的单调性知,函数的零点在区间上,不满足题意;
(3)当时,只有两个零点和1;
(4)当时,只有两个零点和.
(5)当时,,因为,由函数的单调性可知,函数的一个零点;
同理,函数的其它零点,
由零点所在区间,是.
综上所述,结论得证.
解法2:降次法
设是绝对值不大于1的零点,即,有.
所以,得,
由,得,
令,得
因为的对称轴为,
且,
,
根据一元二次函数图象及性质知的根在区间上,
即的零点的绝对值都不大于1,所以的所有零点的绝对值都不大于1.
解法3:分离法
由,得的零点为函数与图象交点的横坐标.
令,因为,
易知函数在上递增,在上递减.
因为,
因为有一个绝对值不大于1的零点,得.
设函数零点,有,则,
所以,所以有,得,
即.
解法4:换元法
(1)当只有一个零点时,结论显然成立;
(2)当多于一个零点时,不妨设是绝对值不大于1的
零点,即,
所以,
又因为,得.
所以,
从而函数的另外两个零点为.
所以.
综上所述,结论成立.
解法5:判别式法
设是函数的零点,且,其余零点为.
(1)当只有一个零点时,结论显然成立;
(2)当多于一个零点时,则，则有
两式作差得
,因为,得
所以,所以,从而证明结论成立.
【点睛1】本题在得出后,得的根为,令,得,所以,命题成立.
【点睛2】解法5在推出后，还可以将式转换为,从而得,从而推,从而证明结论成立.
【点睛3】本题考查一元三次函数的图象与性质,寻找函数零点的范围.解法1是通法,研究函数的图象,通过的不同取值进行分类讨论,然后找到零点的取值范围和零点个数;解法2是从题目的问题出发,假设函数的一个零点满足题意,然后把三次函数转换为熟悉的二次函数,通过一元二次函数的性质找到零点的范围;解法3是分离参数法,把一元三次函数分解为二个函数,讨论交点问题;解法4转化为三角函数法,通过其中一个不大于1的零点出发,转为为三角函数,然后通过三角函数讨论范围;解法5是假设函数零点,然后找到零点之间的关系计算零点范围.通过三次函数的图象与性质的分析,直接从图象出发去解决问题,计算量大,并且分类讨论增加分析的难度.当然从其他不同角度来分析,发觉其他的解题方法计算量和分析过程相对比较简单,三次变为二次函数,这是我们常见的函数,或者分离参数找交点,这些也是讨论零点的常用方法.
隐零点问题
【例4】已知函数是自然对数的底数.
(1)求函数的最小值;
(2)若函数有且仅有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【解析】(1),令,解得.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,函数有最小值.
(2).
当时,函数在上是增函数,有唯一的零点,与已知矛盾.
当时,,
令,则,
因为,所以,所以在上是增函数.
又,
故存在,使得,即.当时,,即单调递减;
当时,,即单调递增.
所以函数有最小值,
且,
,
当时,单调递增;
当时,单调递减.
所以.
当时,存在,使得,再,故有且只有两个不
同的零点;
当时,此时,有唯一的零点;
当时,存在,使得,
再由,故有且只有两个不同的零点.
综上所述,实数的取值范围是.
【例5】已知函数.
(1)若曲线与直线相切,求的值;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)设切点坐标为,因为,
所以,又,所以,故,所以.
(2)存在,使得成立,
等价于:存在,使得成立.
令.
令,则.
当时,,故在上单调递增,
所以.
(1)当时,,故在上单调递增,
所以,由已知,即.
(2)当时,,
故存在,使得,此时.
若时,;若时,.
所以.令,
所以在上单调递增,
所以,所以,故.
令,则,故在上单调递增,
所以,故.
故不存在,使成立.
综上所述,实数的取值范围是.
【例6】已知函数.
(1)当时,证明:在区间上不存在零点;
(2)若,试讨论函数的零点个数.
【解析】(1)当时,因为,
所以当时,有,从而在上单调递减,
当时,有,
所以在单调递减,
从而在单调递减,且,
故函数在区间不存在零点.
(2)因为,
所以在上单调递减,
在上单调递增,因此.
因为,所以
(1)时,,此时,在上仅有一个零点;
(2)当时,,
令,
在上单调递增,从而,
从而在上存在一个零点,
又因为,
记,且,
从而在上单调递减,有,
即在上也存在一个零点.
综上所述,当时,函数有两个零点;
当时,函数只有一个零点.
分段函数零点问题
【例7】已知函数.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示中的最小值,设函数,讨论零点的个数.
【解析】(1).
设曲线与轴相切于点,则,
所以解得.
因此当时,轴为曲线的切线;
(2)当时,,
所以函数,
故在时无零点.
当时,若,则,
所以,故是函数的一个零点;
若,则,
所以,故不是函数的零点;
当时,,因此只考虑在内的零点个数即可.
(1)当或时,在内无零点,
因此在区间内单调,而,
所以当时,函数在区间内有一个零点,
当时,函数在区间内没有零点.
(2)当时,函数在内单调递减,在内单调递增,
故当时,取得最小值.
若,即,则在内无零点.
若,即,则在内有唯一零点.
若,即,由,
所以当时,在内有两个零点.
当时,在内有一个零点.
综上可得:
当或时,函数有一个零点;当或时,函数有两个零点;
当时,函数有三个零点.
强化训练
1.已知函数.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)如果当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,函数恰有3个零点.
【解析】(1)当时,,
所以切线斜率,又,所以所求切线方程为;
(2)依题意在上恒成立,
设,
则,
(1)当时,,
则在上单调递增,故满足题意;
(2)当时,设,
因为二次函数的开口向上,,
所以存在,使得,且当时,
单调递减,
故此时,不满足题意;
综上,实数的取值范围为;
(3)证明:函数的定义域为,
当时,函数的零点个数等价于的零点个数,
由可知,
设,由二次函数在时,
,
可知存在,使得,
所以在单调递增,在单调
递减,
又,故,
又当时,,故在存在一个零点;
当时,,故在存在一个零点;
又,故当时,函数恰有3个零点.
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有三个零点,求的取值范围.
【解析】(1).
当时,,故在单调递增;
当时,,故在单调递增;
当时,,得.
当时,;
当;
当时,.
故在单调递增,在单调递减.
综上所述,当时,在单调递增;
当时,
在单调递增,在单调递减.
(2)解法1:
由(1)知,当时,在单调递增,不可能有三个零点;
当时,为的极大值点,为的极小值点.
此时,,
且.
根据的单调性,当且仅当,
即时,有三个零点,解得.
因此,的取值范围是.
解法2:
由(1)知,当时,在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;
当时,欲使有三个零点,则有解得.当时,由,且,
知在区间上有唯一的零点;
由,且,
知在区间上有唯一的零点;
又在区间上有唯一的零点,
可知在上有三个零点.
综上,的取值范围是.
【点睛】本题第(2)问,解法1结合(1)中函数的单调性,根据零点的个数,列出关于的不等式(组)进行求解.解法2则结合(1)的讨论结果,将函数具有三个零点作为条件,推导出的取值范围,再从所得结果出发,反过来证明函数有三个零点.
3.已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)用表示中的较大者,记函数.若函数在内恰有2个零点,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,所以.因为,所以曲线在点处的切线方程为,即0.
(2).
(1)当时,,所以在内单调递增.
(2)当时,令,解得或.
由,解得或;由,解得,
所以函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为.
综上所述,当时,在内单调递增;
当时,的单调递增区间为和,
单调递减区间为.
(3)因为函数的定义域为,所以.
所以函数在内单调递减.
(1)当时,,依题意,,不满足条件;
(2)当时,,若,即,则是的一个零点;
若,即,则不是的零点;
(3)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况.
(1)当时,在上单调递增.又,
(i)当时,在上无零点;
(ii)当时,,又,
所以此时在上恰有一个零点;
(2)当时,令,得.
由,得;由,得;
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为
,
,
所以此时在上恰有一个零点;
综上,,故实数的取值范围是.
4.已知函数,其中.
(1)求函数的单调区间;
(2)讨论函数的零点个数.
【解析】(1)
令得,点睛意到,
(1)当,即时,恒成立,所以在上单调递增;
(2)当,即时,令,得或;
令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
(3)当即时,令,得或,
令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上所述,
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,1).
(2)(i)由(1)知,当时,单调递增,又,故1个零点;
(ii)当或时,,
(1)当时,在上增,在上减,在上增,
因为,此时2个零点;
(2)当时,在上增,在上减,在上增;
,又,此时1个零点;
(3)当时,在上增,在上减,在上增;
因为,
所以当时,有1个零点;
当时,有2个零点;
当时,有3个零点;
综上所述:
当时,有1个零点;
当或时,有2个零点;
当时,有3个零点.零点问题
知识与方法
1函数零点的定义:方程的解叫做函数的零点.
2三个等价关系：
函数有零点方程有解图象与轴有交点.
3零点问题主要有如下几类:
(1)零点的个数问题;
(2)零点的范围问题;
(3)隐零点问题.
典型例题
零点的个数
【例1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求实数的取值范围.
【例2】已知函数.
(1)当时,求的最大值;
(2)讨论关于的方程的实根个数.
零点的范围
【例3】设函数,曲线在点处的切线与轴垂直.
(1)求;
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
隐零点问题
【例4】已知函数是自然对数的底数.
(1)求函数的最小值;
(2)若函数有且仅有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【例5】已知函数.
(1)若曲线与直线相切,求的值;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
【例6】已知函数.
(1)当时,证明:在区间上不存在零点;
(2)若,试讨论函数的零点个数.
分段函数零点问题
【例7】已知函数.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示中的最小值,设函数,讨论零点的个数.
强化训练
1.已知函数.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)如果当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,函数恰有3个零点.
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有三个零点,求的取值范围.
3.已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)用表示中的较大者,记函数.若函数在内恰有2个零点,求实数的取值范围.
4.已知函数,其中.
(1)求函数的单调区间;
(2)讨论函数的零点个数.

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