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双极值点问题
知识与方法
对于双极值点问题,其解决方法与极值点偏移问题类似,往往需要把双变量问题转化为单变量问题.与极值点偏移转化为单变量的方法相比,双极值点问题更加简单一些,一般是通过韦达定理进行合理消元,最终转换成单变量函数,最后通过构造函数解决问题.其核心思想是统一变量,化成单变量表达式,这个单变量可以是,或者是函数解析式中的参数等.
典型例题
极值点(拐点)偏移
【例1】已知函数在有两个极值点,求证:.
【解析】,
因为函数在有两个极值点
所以是在上的零点,
所以,两式相除可得.令 (1),
上式变为,即 (2),
联立(1)(2)解得:.
要证明,只要证明,
即证明.
令,则.
令,
故在上单调递增,故,即,
故在上单调递增,故,
即成立,故原不等式得证.
在证明的过程中,也可以考虑“对数靠边走”,避开二次求导,
方法如下:
证法2:
要证,只需证明.今,则,所以在上单调递增,所以,即成立,故原不等式得证.
【点睛】本题是与双极值点有关的极值点偏移问题,可以参照节极值点偏移问题的方法处理,从对称化构造函数、比值代换化为单变量函数、对数均值不等式等角度来解决.
【例2】已知函数.
(1)当时,设函数的最小值为,证明:;
(2)若函数有两个极值点,证明:.
【解析】(1),今,解得.
当时,单调递增;当时,单调递减.
所以,所以.
令,则.令,得.
所以,当时,单调递增;当时,单调递减.
所以,所以.
所以当时,.
(2),则,今,得.
当时,单调递增;当时,单调递减.
所以.
又函数有两个极值点,所以,所以,且.
所以当时,单调递增;当时,单调递减;
所以当时,.
又,所以,
所以.
令,
所以在上单调递增,所以,
所以在上单调递增,所以.
点睛意到,所以,即.
所以.
【点睛】本题是与双极值点有关的拐点偏移问题,可以参照节《拐点偏移问题》的方法处理,对称化构造函数是基本方法.
比值代换
【例3】已知函数,若函数有两个极值点,且2,求实数的取值范围.
【解析】有两个极值点,即方程有两根,
即 , 易知 , 两式相除, 得 .
令,则,得
令,则.
设,则
所以在单调递减,所以,即,
所以在单调递减,故;
又,所以.
而,令,其中,
则,易知在单调递增,所以.
所以,即,故实数的取值范围为.
【点睛】本题先是利用比值换元,令,将表示成关于的函数,求导分析求出的取值范围,再结合与的关系求得的取值范围.通过两次构造函数解决问题,体现了函数思想的重要应用.要点睛意体会的取值范围在求范围中的作用,对于函数问题,要有“定义域优先”的意识.
另外,在上述解法中,判断的符号,也可以象下面这么处理:
,令,则对恒成立,所以在上单调递减,所以,所以,下略.
【例4】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)设两个极值点分别为,证明:.
【解析】(1)由题意可知,的定义域为,且,
令,则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内恰有两个“变号”的零点,
由可知:
当时,恒成立,即函数在上单调递减,不符合题意,舍去;当时,由得,,即函数在区间上单调递增;
由得,,即函数在区间上单调递减;
故要满足题意,必有,解得.
(2)证明:为的两根,所以
即 两式相减可得 .
所以,
同理可得.
故要证,
只需证明:,
即证:,
即证.
构造函数:,其中.
由,所以函数在区间内单调递减,
所以,得证.即成立.
【点睛】也可以采用下述方法证明:要证,只需证明,而由(1)可知,故上式.成立,得证
【例5】已知函数.
(1)若在上为单调函数,求实数的取值范围;
(2)若,记的两个极值点为,记的最大值与最小值分别为,求的值.
【解析】(1)解法1:分类讨论
,
因为在上为单调函数,且在上不恒成立,
所以在上恒成立.
(1)当,即时,显然恒成立;
(2)当,即时,成立,解得.
经检验可知,当时符合题意.
综上所述,的取值范围是.解法2:分离参数
,
所以在上恒成立.
即对任意上恒成立.
因为(当且仅当时等号成立),所以.
实数的取值范围是.
(2),
所以是方程的两实根,
则有.则
令,(不妨设),则原式.
由,且,
.解得.
今,则,
令 , 则 恒成立,
所以,所以恒成立,
故.
所以.
【点睛】本题中的范围是利用,由条件,可得,即,解得.
【例6】已知函数.
(1)若在其定义域内不是单调函数,求实数的取值范围;
(2)若函数存在两个极值点,且.设,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为,
考虑函数的图象与直线的位置关系:
当时,直线与函数的图象有唯一交点,设为.则在上单调递减,在上单调递增,符合题意.
当时,设过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为,
设切点为,则,
又,即,解得,所以.
又当时,恒成立,在上单调递减,不合题意,
所以.
综上所述,实数的取值范围是.
另解:
若在单调递增,则对任意恒成立,
故对任意恒成立.
令,则,
易得在递增,在递减,且当时,,
故不可能对任意恒成立,即在不可能单调递增.
若在单调递减,则对任意恒成立,
故对任意恒成立.而,所以.
因为在内不单调,所以,实数的取值范围是.
(2)由,得.
由(1)可知,是方程的两根,即
不等式恒成立,等价于恒成立.
因为,所以有.
又因为,即,
所以,即.
令,则不等式对任意恒成立,
令,
则,
当时,,则,
所以在时单调递增,,符合题意;
当时,若,则;若,则,所以在上单调递增,在上单调递减.
又因为,所以在时不能恒小于0,不合题意,舍去.
综上,.又因为,所以.
即实数的取值范围是.
韦达定理减元
【例7】已知.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且有2个不同的极值点,求证:(1);.
【解析】(1)因为,所以.
(1)当时,在上单调递增;
(2)当时,时,单调递减,时,单调递增.
综上可得,时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)(1)因为,所以有2个不同的极值点,则是方程的两个根,由,得,且.
结合,可得.
解法1:
由,得,所以.
解法2:零点存在性定理
设,因为,由零点存在性定理,得.
（2）
由得,,
设,
则,
故在单调递减,,
所以.
【点睛】本第问中,函数有两个极值点,都是其导函数的零点,则是二次方程的两个不等正根,利用韦达定理,往目标代入,便可通过消元化为单变量表达式,最终保留,最后构造关于的函数顺利求解.需要点睛意的是:第(1)问结论在解决第问中的作用.
【例8】已知函数.
若函数存在两个极值点,证明:.
【解析】,
若函数存在两个极值点,则方程的判别式,
即,且.其中.
由,得,
所以
.
设,则,
令,得.
当时单调递减;
当时,单调递增.
所以,所以,即.
【点睛】本题结合韦达定理代入消元,消去和参数,保留,最后构造关于的函数证明结论.
通过本题的求解,我们不难发现,这类题目的基本思路是:求导后,利用,写出韦达
定理,最后代入目标,化为单变量函数,然后求导、算极值、下结论即可.
【例9】已知函数.
(1)若在点处的切线与直线平行,求在点的切线方程;
(2)若函数在定义域内有两个极值点,求实数的取值范围,并证明:
【解析】(1)因为,所以,所以,因为在点处的切线与直线平行,所以,即,故,所以切点坐标为.
从而切线方程为.
(2)因为,由题意知方程在,上有两个不等实根.所以所以.
又
,
令,则,
令,由得.
因为,
所以在上单调递减,
所以.
即.
【点睛】与上面两例类似,本题同样是结合韦达定理代入消元;不同之处在于整体消去,,保留参数,构造关于的函数,或者构造函数均可证明结论.
【例10】已知函数,其中为正实数.
(1)若函数在处的切线斜率为2,求的值;
(2)若函数有两个极值点,求证:.
【解析】(1)因为,所以.
则,所以.所以的值为1.
(2)函数的定义域为.
(i)若,即时,,此时的单调减区间是;
(ii)若,即时,令,解得两根为.易知,的单调递减区间为;单调递增区间为.
所以当时,函数有两个极值点,且.
因为
要证,只需证,
构造函数,
则,
在上单调递增,又,
由零点存在性定理,知在上有唯一实根,且.
则在上递减,在上递增,所以的最小值为.
因为,
当时,,则,
所以恒成立.
所以,所以.
【点睛】本例看似是极值点偏移的问题,事实上并不尽然,利用将两个变量问题,转化为关于实数的函数,利用虚设零点的技巧,将对数式通过整体代换,转化为分式,得出的取值范围.
强化训练
1.已知函数.
(1)若函数在上为增函数,求的取值范围;
(2)若函数有两个不同的极值点,记作,且,证明:.
【解析】(1).
因为函数在为增函数,所以在上恒成立,
等价于在上恒成立,即，
因为,所以.
经检验可知,当时符合题意,故的取值范围为.
(2)证法1:可知,
所以,
因为有两极值点,所以,
欲证,
即证，
即证,
即证.
因为,所以等价于要证明:(1),
由可得,则有(2),
由(1)(2)知,只需证明:,
即证
令,则,上式等价于要证明:,
今,
则.
因为,所以,所以在上单调递增,
因此当时,,即.
所以原不等式成立,即.
证法2:
,是方程的两根，得
且,
直线与的图象有两个不同的交点.
令,则,由,
当时;当时,
所以在单调递增,在单调递减,
.所以.
欲证,因为,
故只需证明,即证(1).
即.
两式相加,得;
两式相减,可得.
由对数均值不等式,可得
(考试时须给出证明过程,此处略过)
即,所以.
于是,即(1)式成立,故.
又因为,所以,得证.
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为,
,令.
当,即时,,则对任意的恒成立,
此时函数在上单调递增;
当时,对任意恒成立,此时在上单调递增;
当时,有两个正根,分别为,
当,或时,单调递增;
当时,单调递减.
综上,当时,函数的单调递增区间是,无递减区间;
当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)由(1)可知是关于的二次方程的两根,由韦达定理,可得.因为,所以
所以
令,则,设,
则,
当时,单调递增;
当时,单调递减.
所以.又当时,当时,
因此,的取值范围是.
3.(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知函数,如果函数有两个极值点,求证:.(参考数据:,,为自然对数的底数)
【解析】(1)令,
易知,
今,
当时,,且对称轴,所以当时,
在上单调递增,所以恒成立;
当时,,且对称轴,则当时
0,有;
即在上单调递减,由于,此时不合题意.
综上所述:.
(2),因为函数有两个极值点,
则有两个变号零点,所以
两式相加,得(1)
两式相减,得,从而(2)
(2)代入(1),得,
即.
不妨设,则,由(1)有.
又,
所以,即,
设,则在单调递增,
又因为,
所以,
所以,所以.
4.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:.
【解析】(1)的定义域为,则.
当时,在单调递减;
当时,,
(1)当,即时,在单调递减;
(2)当,即时,
令,解得或.
所以当时,在单调递减;
当时,在
单调递增;
当时,在单调递减.
综上所述:当时,在上单调递减,无增区间;
当时,单调递减区间为;单调递增区
间为.
(2)由(1)知,当时,存在两个极值点.
的两个极值点满足,所以,
不妨设,则,且.
所以
要证,即证,
即证.
又,则,即证.
设函数,则,
所以,在单调递减,又.
所以,即.
5.已知函数,
当时,函数的两个极值点,证明:.
【解析】,且函数的两个极值点为.
则是在上的两个根,即方程的两个根.
所以,则,所以.
又,即,得,所以.
由,得;又,则,
所以.
令,
则,
因为,所以,
所以,则在上单调递减.
所以,即.
6.已知.
(1)求的极值;
(2)若函数有两个极值点,且是自然对数的底数)恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意可得,函数的定义域为.
(1)当时,,所以在上单调递增,无极值;
(2)当时,令,得(舍)或.
当时,单调递减；
当时,单调递增,
所以当时,有极小值,无极大值.
综上所述,当时,无极值;
当时,有极小值,无极大值.
(2),
今,得.
当,即时,无极值;
当,即时,设的两根为,
则,且.
(1)当时,方程不存在两个正根,不存在两个极值点;
(2)当时,解得;
当时,单调递增;
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,当时,有两个极值点,且.
令.
当时,在上单调递减,
又,所以实数的取值范围是.
7.已知函数.
(1)当时,设函数在区间上的最小值为,求;
(2)设,若函数有两个极值点,且,求证:.
【解析】(1)当时,函数,则.
(1)当时,在区间上单调递增,所以.
(2)当时,,解得(舍),.
当,即时,在区间上单调递增,由上知,此时.
(ii)当,即时,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以.
(iii)当,即时,
在区间上单调递减.此时,.
综上,所以.
(2)证明:原式转化为求证.
当时,,
所以是方程的两根,所以.
因为且,所以,
所以.
令,则,
所以在区间上单调递增,所以,即.
所以.
8.已知函数.
(1)当时,取得极值,求的值,并判断是极大值点还是极小值点;
(2)当函数有两个极值点,且时,总有
成立,求的取值范围.
【解析】(1),则.
从而,
所以时,为增函数;
时,为减函数,所以为极大值点.
(2)有两个极值点,则在上有两个变号的正零点,
所以得.
由可得
从而问题转化为:
当时,恒成立,求的取值范围.
即恒成立，
即，
即，
亦即
今 ,
则,且
(1)当时,,则在上为增函数,且式在上不
成立;
(2)当时,.
若,即时,,所以在上为减函数,且与
在区间及上同号,故式成立.
若,即时,的对称轴,
令,则时,,不合题意.
综上可知,的取值范围是.
9.已知.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且有2个不同的极值点,求证:(1);(2).
【解析】(1)因为,所以.
当时,在上单调递增;
当时,时,单调递减,时,
单调递增.(2)(1)因为,所以,有2个不同的极值点,则是方程的两个根,由,得,且.
结合,对称轴,可得.
解法1:
由,得,所以.
解法2:零点存在性定理
设,
因为,由零点存在性定理,得.
(2).设,则,故在单调递减,,所以.
10.设函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)设是函数的两个极值点,证明:恒成立.
【解析】方程的两根为.
因为,分类如下:(1)当时,,此时,函数在上单调递增;
(2)当时,,此时,有,或.
函数在和上单调递增,此时,有,函数在上单调递减;
(3)当时,,此时,有,或.
函数在和上单调递增,此时,有,函数在上单调递减.
综上所述,
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递增;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减.
(2),则的定义域为,
,
若有两个极值点,
则方程,且,得.
又,所以,及,
所以,
设,其中,
由,得,又,
所以在区间内单调递增,在内单调递减,
即的最大值为，
从而恒成立.
11.已知函数,其中为常数.
(1)若恰有一个解,求的值;
(2)(1)若函数,其中为常数.试判断函数的单调性;
(2)若恰有两个零点,求证:.
【解析】(1),令,解得,
当时,在递增,当时,在递减,
,
当,解得:,此时最大值点唯一,符合题意;
当,即时,恒成立,不符合题意;
当,即时,,
所以，(易证),
所以有2个零点,不符合题意,
综上:.
(2)
(1),所以在上单调递增.
(2)解法1:
令,且易知
令,
则,
而,所以
又,则,
上式两式相减可得:
.
解法2:
(1)由题意可得:有两根.
令,则
所以在上递减,在上递增.
今,
则
而显然递减,且,所以在上单调递
增,在上单调递减;即.
所以在上单调递减.而,
易知,所以,
即,而,所以.
(2)要证,即证
易知,即证:,而
即证:,即
而
即证,
即证.
令,即证.
再今,即证,显然成立.双极值点问题
知识与方法
对于双极值点问题,其解决方法与极值点偏移问题类似,往往需要把双变量问题转化为单变量问题.与极值点偏移转化为单变量的方法相比,双极值点问题更加简单一些,一般是通过韦达定理进行合理消元,最终转换成单变量函数,最后通过构造函数解决问题.其核心思想是统一变量,化成单变量表达式,这个单变量可以是,或者是函数解析式中的参数等.
典型例题
极值点(拐点)偏移
已知函数在有两个极值点,求证:.
【例2】已知函数.
(1)当时,设函数的最小值为,证明:;
(2)若函数有两个极值点,证明:.
比值代换
【例3】已知函数,若函数有两个极值点,且2,求实数的取值范围.
【例4】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)设两个极值点分别为,证明:.
【例5】已知函数.
(1)若在上为单调函数,求实数的取值范围;
(2)若,记的两个极值点为,记的最大值与最小值分别为,求的值.
【例6】已知函数.
(1)若在其定义域内不是单调函数,求实数的取值范围;
(2)若函数存在两个极值点,且.设,不等式恒成立,求实数
的取值范围.
韦达定理减元
【例7】已知.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且有2个不同的极值点,求证:(1);.
【例8】已知函数.若函数存在两个极值点,证明:.
【例9】已知函数.
(1)若在点处的切线与直线平行,求在点的切线方程;
(2)若函数在定义域内有两个极值点,求实数的取值范围,并证明:
【例10】已知函数,其中为正实数.
(1)若函数在处的切线斜率为2,求的值;
(2)若函数有两个极值点,求证:.
强化训练
1.已知函数.
(1)若函数在上为增函数,求的取值范围;
(2)若函数有两个不同的极值点,记作,且,证明:.
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,求的取值范围.
3.(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知函数,如果函数有两个极值点,求证:.(参考数据:,,为自然对数的底数)
4.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:.
5.已知函数,当时,函数的两个极值点,证明:.
6.已知.
(1)求的极值;
(2)若函数有两个极值点,且是自然对数的底数)恒成立,求实数的取值范围.
7.已知函数.
(1)当时,设函数在区间上的最小值为,求;
(2)设,若函数有两个极值点,且,求证:.
8.已知函数.
(1)当时,取得极值,求的值,并判断是极大值点还是极小值点;
(2)当函数有两个极值点,且时,总有
成立,求的取值范围.
9.已知.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且有2个不同的极值点,求证:(1);(2).
10.设函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)设是函数的两个极值点,证明:恒成立.
11.已知函数,其中为常数.
(1)若恰有一个解,求的值;
(2)若函数,其中为常数.试判断函数的单调性;
(3)若恰有两个零点,求证:.

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