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薛定谔波动方程
2.4 薛定谔波动方程
一、含时薛定谔方程
薛定谔图像，坐标表象的状态随时间演化为
为厄米算符，且为局域的，即
为 的实函数
以后我们会讨论含时的 非局域但可分离的势，
与动量相关的势， , 等等。
由
而
得含时薛定谔方程为
基于上式的量子力学有时称为波力学，是当 时
态矢在坐标表象下薛定谔方程的特殊形式。
二、不含时薛定谔方程
对A和H的共同本征初态,
对能量本征态得定态薛定谔方程：
束缚态：
要解方程需加边界条件，假设要求的解，
合适的边条件为当
即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。
由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，有分立的一组E值。定态薛定谔方程 能级的量子化。
可见由定态薛定谔方程寻求微观物理体系的能级与寻求弹簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。
三、波函数的解释
波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几率密度，
在 附近 的体积内找到该粒子的几率为
由含时方程可推出连续性方程
该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。
几率流与动量有关：
连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因此 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。
非物理图像：一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。
Born提出了合理解释，即 为几率密度的统计解释。
四、波函数的相位
S为实数，ρ是几率密度。S的含义？
由 得：
可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向与该点上等相位面垂直。对平面波
虽然形式上我们有
但将 解释成 需要坐标与速度的同时精确测量而不可能（测不准关系）。
五、经典极限
据薛定谔方程有：
若 可看成小量，并设 等，则上方程中不含 的部分有 与分析力学的Hamilton-Jacobi方程相同，其中 是Hamilton的主函数。
因此，薛定谔波力学在 极限下给出经典力学。
若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量，主函数S具有可分离的形式，
称为Hamilton的特征函数。
随着时间的转移，等S面的空间演化与波动光学中的常相位面即波前变化相同.
六、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解
经典Hamilton-Jacobi方程的解是
对定态 由连续性方程
得 故
与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致
WKB解：
七、WKB近似成立条件：
条件对应于：
即
或者说 必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短波极限下是可信的。
八、完整的WKB解
对 区，有
对 上述解不成立,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是：
1．在 附近将V(x)线性化。
2．解微分方程
得与 阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近
3. 将这一第三个解通过选择合适的积分常数与另两解匹配
这里不讨论这些步骤的细节而只给出结果：波函数在E>V(x)区振荡，在E匹配条件
I与II区：
II与III区：
波函数的唯一性意味着这两个cos的变量最多差π的整数倍。故有自洽性（量子化）条件：
除 部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同
九、量子化条件应用举例
势阱 中粒子的近似能级
经典转折点为：
由于无限高势垒，解在 x<0区必为0. 对x>0区的解，可通过求解修正势, 的对称解得到
该问题的WKB转折点为,
量子化条件变为
即
与本征能态的严格解： 非常接近
（ -λ是Airy函数为零的根）
十、遂穿几率
由WKB解知：
粒子速率：
碰撞频率：f=v/2x0
遂穿几率：
简谐振子的时间演化
x，p的Heisenberg运动方程可表示为
这对耦合方程等价于 和 的独立微分方程：
即
或
得解为
与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一样振荡
振子的时间演化（直接解法）
由算符的时间演化直接求出x(t)，p(t)：
利用Baker-Hausdorff 引理
可得
类似地，可得出与前面的结果相同的 。
注意：算符随时间变化不意味着其期待值随时间变。
对谐振子
要观测到类似于经典振子的振荡，需用能量本征态的叠加
对 ，可验证 随时间振荡：

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