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第十讲 重叠问题
【专题引导】王老师给本班参加绘画比赛和书法比赛的同学每人发一份纪念品，发之前他数了数，参加绘画比赛的有16人，参加书法比赛的有14人，当他把准备好的30份纪念品发下去时，却发现有6份没有人领，这是怎么回事呢？原来有6人既参加了绘画比赛，又参加了书法比赛，所以纪念品就多出了6份。数学中，我们将这类问题称之为重叠问题。
解决重叠问题，必须从条件入手认真分析，有时可以根据条件画一画图帮助我们思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是一部分，从而找出解题方法。
【典型例题】
学校组织学生看文艺表演，亮亮的座位从左数是第9个，从右数是第7个，这一排座位有多少个？
解析：这道题根据题意画出示意图如下：
这是一道最典型的重叠问题。“亮亮的座位从左数是第9个，从右数是第7个”，9个和7个里面都包含了亮亮，亮亮被重复计算了一次，所以总个数是 。
例2 教室里每行每列的人数同样多，明明的座位从前面数是第5个，从后面数是第2个，从左边数是第3个，从右边数是第6个，问；全班一共有多少人呢？
解析：本题含有双重重叠，既有横向重叠，又有纵向重叠。画示意如图：
由图可知，在一行中，从左数明明是第3个，从右数是第
6个，3个和6个里都含有明明，明明被多计算了一次，所
以全班有 （列）。同理，在一列中，明明
也被多计算了一次，所以全班有 （行）
全班共有？人 。
例3：学校买来一批课外读物，分给各个班，如果每班分40，则少20本，如果每班分50本，则少260本。这个学校共有几个班，买来多少本课外读物？
解析：本题中出现的是两次皆亏的情况。两种分法中各种量之间的关系。
每班分40本，则少20本，每班分50本，则少260本。两种分法比较，每班的本数相差 ，造成全校总共相差 ，由此可以求出全校参与分书的班数。
列式如下：班数：
课外读物：
例4：一堆桃子分给一群小朋友，如果每个小朋友分10个桃子，则有两个小朋友没有分到，如果每个小朋友分8个，刚刚好分完。有多少个小朋友？有多少个桃子？
解析：本题中出现的是一亏一尽的情况，两次分配的总差额就是第一种分法中桃子差的个数。从“如果每个小朋友分10个桃子，则有两小朋友没有分到”这句话入手，换句话说，如果每个小朋友分10个桃子，则差 桃子。又因为“如果每个小朋友分8个，刚刚好分完”，所以总差额为 桃子，两次分配每个小朋友分的相差 桃子，根据总额和两次分配每个小朋友分的单位差额可求出参与分配的小朋友个数，再求出桃子有多少个。
列式如下：小朋友：
桃子：
例5：有一个班的同学去公园划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，问：这个班共有多少名同学？
解析：本题中盈亏关系不明显，可以通过适当转化，变为现有的船都坐满，还有6人没地方坐。“如果减少一条船，正好每条船坐9人”，由此可知，每条船坐9人的话，现有的船还空着一船，即还空着9个人的座位。因此两种乘坐方案造成的总差额是 。
列式如下：船有：
人：
【拓展练习】
1、小朋友们分桔子，每人分6个则多2个，每人分10个则少14个，有多少个小朋友？共有多少个桔子？
2、学校给各班配送学生奶，若平均每班发50瓶，还剩下340瓶，若平均每班发60瓶，还剩20瓶。问有多少个班？总共多少瓶学生奶？
3、植树节，一群小伙伴到郊外去植树，如果每人种5棵，还差8棵，如果每人种7棵，就还差30棵。有多少个小伙伴？一共要种多少棵树？
4、三（4）班上体育课分组打乒乓球，5个人一副球拍则有10人没有分到球拍，6个人一副球拍刚刚好分完。问共有多少副球拍？
5、小班的老师给小朋友们分糖，如果每个小朋友10颗，则少12颗，如果每个小朋友分8颗，则多20颗。问有多少个小朋友？多少颗糖？
6、如果每个长椅坐4位学生，就有3名学生没地方坐。如果每一个长椅坐5位学生，就有2个空座位，问有多少个学生？有多少个长椅？
7、张老师准备了一些书为数学竞赛成绩优异的学生发奖品，若每人发3本，就有14本书发不完，若每人发4本，就有3个学生没发到。张老师准备了多少本书？为多少名学生发奖品
8.学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人，每个房间住5人，恰恰安排好，问房间和学生各有多少？
9.小玲从家去学校，如果每分钟走80米，则可提前6分钟到校，如果每分钟走50米，则要迟到3分钟。小玲家到学校有多远？
10.一群学生去搬书，如果每人搬2本，还剩12本，如果每人搬4本，还剩6本，这群学生有几人？这批书有多少本？
11.学校组织同学们去中山公园游玩，如果每辆车坐65人，则有15人没有车坐，如果每辆车坐70人，就正好可以少用一辆车，一共有多少学生去中山公园游玩？

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