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专题01 实数及其运算
【考情预测】
实数与运算在浙江各地历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右。预计2023年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
注意：0既不属于正数，也不属于负数。另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
10．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
【重难点突破】
考点1. 实数的相关概念
【解题技巧】实数的有关概念一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如正负数的意义、相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.
【典例精析】
例1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）若收入3元记为+3，则支出2元记为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】根据正负数的意义可得收入为正，收入多少就记多少即可．
【详解】解：∵收入3元记为+3，∴支出2元记为-2．故选：D
【点睛】本题考查正、负数的意义；在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．
例2.（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．
【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；
③的倒数是2022，故此说法正确；正确的个数共3个；故选：A．
【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，分子分母互换位置相乘等于1的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江丽水·中考真题）2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】B
【详解】2的相反数是-2.故选：B.
变式2．（2022·四川泸州·中考真题）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义可求．
【详解】解：-2，故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
变式3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是
【答案】C
【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确 B. 2与互为倒数，故选项B不正确；
C. 0的相反数是0，故选项C正确； D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．故选C．
【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
考点2. 实数的分类
【解题技巧】实数的分类
【典例精析】
例1.（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数，故选： C．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
例2.（2021·浙江金华市·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】按照负整数的概念即可选取答案．
【详解】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数,故选D．
【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）写出一个在1到3之间的无理数：_________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．
【详解】解：1和3之间的无理数如．故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．
变式2．（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正负数的意义分析即可；
【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意；
B、是正数，故该选项不符合题意；C、0不是负数，故该选项不符合题意；
D、-5＜0是负数，故该选项符合题意．故选D.
【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键．
变式3．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的定义进行求解即可．
【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，故选C．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键．
考点3. 无理数的估算
【解题技巧】无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.
【典例精析】
例1.（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据即可求解．
【详解】解：由题意可知：，故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估值，属于基础题．
例2.（2022·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【答案】D
【分析】根据49<54<64，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵49<54<64，∴，
∴，即的值在3到4之间，故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏宿迁·中考真题）满足的最大整数是_______．
【答案】3
【分析】先判断从而可得答案．
【详解】解： 满足的最大整数是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
变式2．（2022·天津·中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【分析】根据得到，问题得解．
【详解】解：，，即在5和6之间．故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定的整数部分是解本题的关键．
变式3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
【答案】2或3
【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【详解】∵ ， ∴
即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3
【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
考点4.实数与数轴
【解题技巧】1.数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；
2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.
【典例精析】
例1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得c＜0＜d，
A、，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、∵c＜0＜d，且，∴，原结论正确，故此选项符合题意；
D、∵c＜0＜d，且，∴，原结论错误，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键．
例2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【分析】根据，点表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧，
， 在原点的左侧，表示的数为 故选B
【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据数轴判断出a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，加减法运算对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：由题意可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，
A、，故本选项符合题意；B、-a＞b，故本选项不符合题意；
C、a-b＜0，故本选项符合题意； D、，故本选项符合题意．故选：A D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的加减运算，判断出a、b的取值范围是解题的关键．
变式2．（2021·河北中考真题）如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的条件，可以把，，，，分别求出来，即可判断．
【详解】解：根据题意可求出：
A，，故选项错误，不符合题意；B，，故选项错误，不符合题意；
C，，故选项正确，符合题意；
D，，故选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出，，，，的值即可判断．
考点5. 实数的运算
【解题技巧】实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：
（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1.
【典例精析】
例1．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
【答案】D
【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．
【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数的减法法则，关键是根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答．
例2．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
【答案】4
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江台州·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘法：两个数相乘，同号得正，异号得负，再将两个数字的绝对值相乘．
变式2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
【答案】13
【分析】根据题意可得，把，代入进行计算即可解答．
【详解】解：当，时，
．故答案为：13．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
考点6. 实数的大小比较
【解题技巧】比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：
（1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b．
（2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
（4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
【典例精析】
例1.（2022·四川乐山·中考真题）下面四个数中，比0小的数是（ ）
A．-2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据负数比0小即可求解．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于0是解题的关键．
例2.（2022·湖南郴州·中考真题）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的含义求出各个数的绝对值，再比较大小即可．
【详解】，，0的绝对值为0，，
∵，∴绝对值最大的数为-2，故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的含义以及有理数的大小比较等知识，掌握绝对值的含义是解答本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北武汉·中考真题）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．－2 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据实数的大小比较法则“正数＞0＞负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小”进行比较分析．
【详解】解：∵，∴最大的数是故选：D．
【点睛】本题考查实数大小比较，理解“正数＞0＞负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小”是解题关键．
变式2．（2022·湖南株洲·中考真题）在0、、－1、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．－1 D．
【答案】C
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：，
∴在0、、－1、这四个数中，最小的数是－1．故选C．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法．解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
变式3．（2021·湖南怀化市·中考真题）比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】直接用，结果大于0，则大；结果小于0，则大．
【详解】解：，∴，故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．
考点7. 非负性的运用
【解题技巧】直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
【典例精析】
例1．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【答案】11或13##13或11
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2022·四川泸州·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】由可得，，进而可求出和的值.
【详解】∵，∴，，∴=2，，
∴.故答案为-6.
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
【变式训练】
变式1．（2021·广东中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵，，且
∴，即，且
∴， ∴故选：B．
【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
变式2．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．
【详解】解：A．当时，，故该项错误；
B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；
C．∵，∴，，∴，故该项错误；
D．∵且，∴，∴，故该项正确；故选：D．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
考点8. 近似数和科学记数法
【解题技巧】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
(1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等．
【典例精析】
例1.（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1412600000=．故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例2.（2022·湖北·中考模拟）下列说法中，正确的是（　　　）
A．近似数3.76与3.760表示的意义一样 B．近似数13.2亿精确到亿位
C．3.0×103精确到百位，有4个有效数字 D．近似数30.000有5个有效数字
【答案】D
【解析】解：A． 近似数3.76精确到百分位，3.760精确到千分位，表示的意义不同，故A错误；
B． 近似数13.2亿精确到千万位，故B错误；C． 3.0×103精确到百位，有2个有效数字，故C错误；D． 近似数30.000有5个有效数字，正确．故选D．
【考点】科学记数法与有效数字
【变式训练】
变式1．（2022·浙江金华·中考真题）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在用科学记数法表示的大于10的数时，的形式中a的取值范围必须是10的指数比原来的整数位数少1．
【详解】解：数16320000用科学记数法表示为选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，对于一个写成用科学记数法写出的数，则看数的最末一位在原数中所在数位，其中a是整数数位只有一位的数，10的指数比原来的整数位数少1．
变式2．（2022·湖北武汉·中考真题）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
【答案】1.03×10-7
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．故答案为：1.03×10-7
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
变式3.（2022·四川达州·中考真题）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金亚机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：26.62亿．故选C．
【点睛】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题关键．
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专题01 实数及其运算
【考情预测】
实数与运算在浙江各地历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右。预计2023年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
注意：0既不属于正数，也不属于负数。另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
10．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
【重难点突破】
考点1. 实数的相关概念
【解题技巧】实数的有关概念一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如正负数的意义、相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.
【典例精析】
例1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）若收入3元记为+3，则支出2元记为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
例2.（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式训练】
变式1．（2022·浙江丽水·中考真题）2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
变式2．（2022·四川泸州·中考真题）（ ）
A． B． C． D．2
变式3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是
考点2. 实数的分类
【解题技巧】实数的分类
【典例精析】
例1.（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
例2.（2021·浙江金华市·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）写出一个在1到3之间的无理数：_________．
变式2．（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
变式3．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
考点3. 无理数的估算
【解题技巧】无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.
【典例精析】
例1.（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是( )
A． B． C． D．
例2.（2022·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【变式训练】
变式1．（2022·江苏宿迁·中考真题）满足的最大整数是_______．
变式2．（2022·天津·中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
变式3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
考点4.实数与数轴
【解题技巧】1.数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；
2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.
【典例精析】
例1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
例2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【变式训练】
变式1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·河北中考真题）如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点5. 实数的运算
【解题技巧】实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：
（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1.
【典例精析】
例1．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
例2．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江台州·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C．5 D．
变式2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
变式3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
考点6. 实数的大小比较
【解题技巧】比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：
（1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b．
（2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
（4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
【典例精析】
例1.（2022·四川乐山·中考真题）下面四个数中，比0小的数是（ ）
A．-2 B．1 C． D．
例2.（2022·湖南郴州·中考真题）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北武汉·中考真题）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．－2 C．0 D．
变式2．（2022·湖南株洲·中考真题）在0、、－1、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．－1 D．
变式3．（2021·湖南怀化市·中考真题）比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
考点7. 非负性的运用
【解题技巧】直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
【典例精析】
例1．（2022·广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为___．
例2．（2022·四川泸州·中考真题）若，则________．
【变式训练】
变式1．（2021·广东中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
变式2．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
考点8. 近似数和科学记数法
【解题技巧】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
(1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等．
【典例精析】
例1.（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
例2.（2022·湖北·中考模拟）下列说法中，正确的是（　　　）
A．近似数3.76与3.760表示的意义一样 B．近似数13.2亿精确到亿位
C．3.0×103精确到百位，有4个有效数字 D．近似数30.000有5个有效数字
【变式训练】
变式1．（2022·浙江金华·中考真题）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖北武汉·中考真题）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
变式3.（2022·四川达州·中考真题）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金亚机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
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专题01 实数及其运算
【考场演练1】
练基础/练热点
一、选择题
1．（2022·浙江宁波·中考真题）－2022的相反数是（ ）
A．－2022 B． C．2022 D．
【答案】C
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：-2022的相反数是2022，故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．（2022·浙江宁波·中考真题）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台己全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：1360000000用科学记数法表示为．故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
3．（2022·浙江温州·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解： =6故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值时解题的关键．
4．（2022·山东聊城·中考真题）实数a的绝对值是，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义直接进行解答
【详解】解：∵，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可．
【详解】∵数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中，一共有6个数，
其中﹣2，﹣，﹣0.12，﹣为负数，有4个，
∴这个数是负数的概率为，故答案选：B．
【点睛】本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键．
6．（2022·广西河池·中考真题）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作( )
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以如果+50元表示收入50元，
那么支出20元表示为﹣20元．故选：B．
【点睛】此题考查的是正数和负数的定义，解题关键理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
7．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【分析】先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A.，故本选项不符合题意；B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；D. ，故本选项不符合题意；故选：B
【点睛】本题主要考查实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键．
8．（2022·攀枝花市·中考模拟）下列说法中正确的是（ ）．
A．0.09的平方根是0.3 B． C．0的立方根是0 D．1的立方根是
【答案】C
【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.
【详解】解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；B、，故选项错误；
C、0的立方根是0，故选项正确；D、1的立方根是1，故选项错误；故选C.
【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
9．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：-2【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
10．（2022·河北·中考真题）与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，分别求出各选项的值，作出选择即可．
【详解】A、，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键．
11．（2022·辽宁营口·中考真题）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵2＞＞0＞-1，∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
13．（2022·广西梧州·中考真题）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，进行求解即可
【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键．
14．（2020·四川乐山市·中考真题）数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点．则点表示的数是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【详解】解：点A表示的数是 3，左移7个单位，得 3 7＝ 10，
点A表示的数是 3，右移7个单位，得 3＋7＝4，故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．
15．（2021·贵州中考真题）在，0，1，个实数中，大于1的实数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据实数的大小关系，即可求解．
【详解】解：在，0，1，个实数中，大于1的实数是，故选D．
【点睛】本题主要考查实数的大小关系，掌握≈1.414，是解题的关键．
16．（2020·山东济宁·中考真题）3.14159精确到千分位为（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141
【答案】C
【详解】解：3.14159精确到千分位为3.142．故选C．
【名师点拨】本题考查近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
17．（2020·湖南株洲市·中考真题）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】∵|+1.2|=1.2，|-2.3|=2.3， |+0.9|=0.9，|-0.8|=0.8，0.8＜0.9＜1.2＜2.3，
∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D中的元件，故选D．
【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
18．（2023·成都市初三模拟）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．
【解析】根据题中的新定义得：原式==2020，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．（2023.达州·中考模拟）今年我市参加中考的学生人数约为人.对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字? B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到十位，有4个有效数字? D．精确到个位，有5个有效数字
【答案】B
【解析】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
∵6.01×104=60100，∴它有3个有效数字，6，0，1，精确到百位．故选B．
【考点】科学记数法与有效数字
20．（2022·北京市·初三期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解析】∵ 又∵ ∴∴
∴ ∴△ABC为直角三角形故选：D．
【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．
21．（2023.湖北初三期中）有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据无理数的概念即可判定选择项．
【解析】解：①﹣是有理数，正确；②是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
22．（2021·北京中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
23．（2021·四川资阳市·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的估算进行大小比较．
【详解】解：∵，又∵，∴故选：C．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键．
二、填空题
24．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：_________；_________．
【答案】 2 4
【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．
【详解】解：；．故答案为：2，4
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，乘方运算，熟练掌握算术平方根的性质，乘方的运算法则是解题的关键．
25．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
【答案】如（答案不唯一）
【分析】首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【详解】解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
【点睛】本题考查无理数定义及比较大小．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
26．（2022·广西·中考真题）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是______千米．
t小时 0.2 0.6 0.8
s千米 20 60 80
【答案】212
【分析】根据路程÷时间=速度，求出在高速公路上行驶的速度，再根据路程=速度×时间求出子高速公路行驶的路程，再和其它两段路程相加即可求解．
【详解】解：在高速公路上行驶的速度为平均每小时：20÷0.2=100（千米）
在高速公路上行驶的路程为：100×2=200（千米）所以小韦家到纪念馆的路程是：7+200+5=212（千米）．
【点睛】本题主要考查了根据题意求行程的问题，解题的关键是读懂题意，弄清速度，时间，路程三者之间的关系．
27．（2022·贵州黔东南·中考真题）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________．
【答案】1.2×10-8
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000012=1.2×10-8．故答案为：1.2×10-8
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
28．（2023·浙江·中考模拟），则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以，即可求解；
【详解】根据绝对值的意义得，，； 故答案为；
【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
29．（2021·内蒙古中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．
【答案】2
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．
【详解】∵和是正数a的平方根，∴，解得 ，
将b代入，∴正数 ，∴，
∴的立方根为：，故填：2．
【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．
三、解答题
30．（2022·广西玉林·中考真题）计算：．
【答案】3
【分析】先化简每项，再加减计算，即可求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查零次幂，二次根式，绝对值，三角函数；注意先每项正确化简，再加减计算可求解．
31．（2022·北京·中考真题）计算：
【答案】4
【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
32．（2022·广西贺州·中考真题）计算：．
【答案】5
【分析】根据解答．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角的正切值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
33．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是，请计算．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可；
(1)解：；
(2)设被污染的数字为x，
由题意，得，解得，所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
【考场演练2】
练重点/练难点
一、选择题
1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( )
①；②；③高斯函数中，当时，x的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】解：①，故原说法错误；②，正确，符合题意；
③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意；
④函数中，当时，，正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，．
的几何意义是线段与的长度之和，
当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．
取得最小值时，的取值范围是；故选B．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
3．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
4．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝，故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
5．（2023·广东·中考模拟）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可.
【详解】A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意；
B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意；
C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意；
D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意，故选D．
【点睛】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键．
6．（2023·山东·中考模拟）数线上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点，点所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述何者正确？（　　）
A．在的左边 B．介于、之间 C．介于、之间 D．介于、之间
【答案】D
【分析】根据、、、四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：，，，，
，点介于、之间，故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
7．（2021·湖南常德市·中考真题）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
【答案】C
【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵或或 ∴7不是广义勾股数，即①正确；
∵ ∴13是广义勾股数，即②正确；
∵，，不是广义勾股数∴③错误；
∵，，，且65不是广义勾股数∴④错误；故选：C．
【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解．
8．（2022·湖北·校考一模）在下列分数、、、中能化为有限小数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据有限小数和无限小数的定义即可求解．
【详解】，是有限小数，
，是无限循环小数，
，是有限小数，
，是无限循环小数．
所以能化为有限小数的个数为2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
二、填空题
9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．
【答案】-3
【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为，∴点D表示的数为，
∵A点表示，C点位于A、D两点之间，∴，
∵m为整数，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．
10．（2022.成都·中考模拟）比较大小： ____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
【解析】为黄金数，约等于0.618，=0.625显然前者小于后者．
或者作差法：-=＜0，所以，前者小于后者．故答案为＜．
考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．
11．（2022·福建·中考模拟）一般地，如果，则称为的四次方根，一个正数的四次方根有两个．它们互为相反数，记为，若，则_____．
【答案】
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【解析】∵，∴，∴.故答案为.
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
12．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一）
【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：（5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．
13．（2020·四川宜宾·中考真题）定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：例如，的连分数是，记作，则________________．
【答案】
【分析】根据连分数的定义即可求解．
【解析】依题意可设a∴a= 故答案为：．
【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解．
14．（2022·湖北·二模）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红想顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码应该是___.
【答案】
【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可．
【详解】解：由三个等式，得到规律：
，
，
，
，
即是密码：，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键．
15．（2022·北京九年级一模）对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________．
【答案】16 58
【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解．
【解析】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37，
F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89，
F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26，
F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，…
通过计算发现，F1（4）＝F8（4），
∵2019÷7＝288…3，∴F2019（4）＝F3（4）＝58；故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
三、解答题
16．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
17．（2021·河北中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；
（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．
【详解】（1）
（2）
所以．
【点睛】本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学计数法表示出结果是解题的关键．
18．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．
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专题01 实数及其运算
【考场演练1】
练基础/练热点
一、选择题
1．（2022·浙江宁波·中考真题）－2022的相反数是（ ）
A．－2022 B． C．2022 D．
2．（2022·浙江宁波·中考真题）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台己全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江温州·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C．3 D．
4．（2022·山东聊城·中考真题）实数a的绝对值是，的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·广西河池·中考真题）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作( )
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
7．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
8．（2022·攀枝花市·中考模拟）下列说法中正确的是（ ）．
A．0.09的平方根是0.3 B． C．0的立方根是0 D．1的立方根是
9．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河北·中考真题）与相等的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁营口·中考真题）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
12．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
13．（2022·广西梧州·中考真题）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·四川乐山市·中考真题）数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点．则点表示的数是（ ）
A． B．或 C． D．或
15．（2021·贵州中考真题）在，0，1，个实数中，大于1的实数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
16．（2020·山东济宁·中考真题）3.14159精确到千分位为（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141
17．（2020·湖南株洲市·中考真题）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·成都市初三模拟）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
19．（2023.达州·中考模拟）今年我市参加中考的学生人数约为人.对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字? B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到十位，有4个有效数字? D．精确到个位，有5个有效数字
20．（2022·北京市·初三期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
21．（2023.湖北初三期中）有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．（2021·北京中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
23．（2021·四川资阳市·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
24．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：_________；_________．
25．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
26．（2022·广西·中考真题）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是______千米．
t小时 0.2 0.6 0.8
s千米 20 60 80
27．（2022·贵州黔东南·中考真题）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________．
28．（2023·浙江·中考模拟），则的取值范围是______．29．（2021·内蒙古中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．
三、解答题
30．（2022·广西玉林·中考真题）计算：．
31．（2022·北京·中考真题）计算：
32．（2022·广西贺州·中考真题）计算：．
33．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是，请计算．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【考场演练2】
练重点/练难点
一、选择题
1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( )
①；②；③高斯函数中，当时，x的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
3．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东·中考模拟）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·山东·中考模拟）数线上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点，点所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述何者正确？（　　）
A．在的左边 B．介于、之间 C．介于、之间 D．介于、之间
7．（2021·湖南常德市·中考真题）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
8．（2022·湖北·校考一模）在下列分数、、、中能化为有限小数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．
10．（2022.成都·中考模拟）比较大小： ____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
11．（2022·福建·中考模拟）一般地，如果，则称为的四次方根，一个正数的四次方根有两个．它们互为相反数，记为，若，则_____．
12．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
13．（2020·四川宜宾·中考真题）定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：例如，的连分数是，记作，则________________．
14．（2022·湖北·二模）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红想顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码应该是___.
15．（2022·北京九年级一模）对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________．
三、解答题
16．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
17．（2021·河北中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
18．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
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