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2023年中考数学第一轮复习
模块三 函数
专题1 平面直角坐标系和函数的概念
直角坐标系 平面直角坐标系 （1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. （2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
点的坐标特征 各象限内点的坐标特征：
坐标轴上点的特征： x轴上点的纵坐标为0； y轴上点的横坐标为0； 原点的坐标为(0,0).
对称点的坐标特征： 点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)； 点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y); 点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y).
点的平移特征： 将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y)); 将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
点到坐标轴的距离: 点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
函数的认识 函数的有关概念 变量与常量： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
函数的概念： 一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
表示方法: 解析式法、列表法、图象法.
自变量的 取值范围 ① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数; ② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数; ③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
函数值： 对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函数的图象 函数图象的概念： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
函数图象的画法： 列表、描点、连线.
题型一、平面直角坐标系的点的特征
1．（2022·四川乐山）点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·湖南长沙）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
5．（2022·江苏扬州）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2022·贵州铜仁）如图，在矩形中，，则D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．
题型二、函数的相关概念及图象
1．（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
2．（2022·上海）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
3．（2022·黑龙江大庆）在函数中，自变量的取值范围是_________．
4．（2022·黑龙江绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8
6．（2022·贵州毕节）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
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7．（2022·湖北随州）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ）
A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5km
C．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min
8．（2022·内蒙古赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家 ②王强在体育场锻炼了
③王强吃早餐用了 ④王强骑自行车的平均速度是
9．（2022·湖北鄂州）在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
(1)小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
(2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
(3)当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
(2)图中a= ，b= ，c= ；
(3)求线段MN的函数解析式；
(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米 （直接写出答案即可）
11．（2022·黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
题型三、动点问题的函数图像判断
1．（2022·甘肃武威）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A．B．C．D．
3．如图，在 中，，，，点 E 在 边上由点 A 向点 B 运动（不与点 A，点 B 重合），过点E 作 垂直 交直角边于 F．设， 面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（　　）
A．B．C． D．
4．如图，点是菱形的对角线上的一个动点，过点垂直于的直线交菱形的边于、两点．设，，，的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（　　）
A．B．C． D．
5．（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，其边长为4cm，，垂直于AD的直线EF（直线EF与菱形ABCD的两边分别交于点E，F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向右平移.若的面积为，直线EF的运动时间为，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）
A． B．C． D．
7．（2022·山东潍坊）如图，在 ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在 ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·辽宁）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、平面直角坐标系的规律探究
1．(2022 河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐标为(　 　)
A．(，－1) B．(－1，－) C．(－，－1) D．(1，)
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______．
3．（2021·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．
4．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
5．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
6．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．
2023年中考数学第一轮复习
模块三 函数
专题1 平面直角坐标系和函数的概念
知识梳理
直角坐标系 平面直角坐标系 （1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. （2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
点的坐标特征 各象限内点的坐标特征：
坐标轴上点的特征： x轴上点的纵坐标为0； y轴上点的横坐标为0； 原点的坐标为(0,0).
对称点的坐标特征： 点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)； 点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y); 点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y).
点的平移特征： 将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y)); 将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
点到坐标轴的距离: 点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
函数的认识 函数的有关概念 变量与常量： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
函数的概念： 一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
表示方法: 解析式法、列表法、图象法.
自变量的 取值范围 ① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数; ② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数; ③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
函数值： 对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函数的图象 函数图象的概念： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
函数图象的画法： 列表、描点、连线.
题型梳理
题型一、平面直角坐标系的点的特征
1．（2022·四川乐山）点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点（ 1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．
2．（2022·湖南长沙）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．故选D．
3．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，得到，就是平移后的对应点的坐标．
【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．
故选A．
4．（2022·四川雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【答案】D
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．
【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，
解得：
故选D
5．（2022·江苏扬州）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】∵a2 0，∴a2+1 1，∴点P( 3,a2+1)所在的象限是第二象限．故选B.
6．（2022·贵州铜仁）如图，在矩形中，，则D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6，轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，轴，
同理可得轴，
∵点C（3，-1），
∴点D的坐标为（-3，-1），
故选D．
7．（2022·四川广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．
【答案】二
【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴，解得：，
∴，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．
故答案为：二
题型二、函数的相关概念及图象
1．（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选C．
2．（2022·上海）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【答案】3
【分析】直接代入求值即可．
【详解】解：∵f（x）=3x，∴f（1）=3×1=3，故答案为：3
3．（2022·黑龙江大庆）在函数中，自变量的取值范围是_________．
【答案】
【分析】二次根式内非负，则函数有意义．
【详解】要使函数有意义，则二次根式内为非负
∴2x+3≥0
解得：
故答案为：
4．（2022·黑龙江绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【答案】C
【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．
【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线AE的解析式为y=x-3a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得
联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8
【答案】B
【分析】路线为A→B→C→D→E，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．
【详解】解：坐标系中对应点运动到B点
B选项正确
即：
解得：
A选项错误
12~16s对应的DE段
C选项错误
6~12s对应的CD段
D选项错误故选：B．
6．（2022·贵州毕节）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
【答案】D
【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，即可求解．
【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意；
B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意；
C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意；
D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意；选：D
7．（2022·湖北随州）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ）
A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5km
C．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min
【答案】B
【分析】利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：由图可知：
A. 张强从家到体育场用了15min，正确，不符合题意；
B. 体育场离文具店的距离为：，故选项错误，符合题意；
C. 张强在文具店停留了：，正确，不符合题意；
D. 张强从文具店回家用了，正确，符合题意，
故选：B．
8．（2022·内蒙古赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家 ②王强在体育场锻炼了
③王强吃早餐用了 ④王强骑自行车的平均速度是
【答案】①③④
【分析】利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：体育场离张强家，①正确；
王强在体育场锻炼了，②错误；
王强吃早餐用了，③正确；
王强骑自行车的平均速度是，④正确．
故答案为：①③④．
9．（2022·湖北鄂州）在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
(1)小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
(2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
(3)当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
【答案】(1)2.5；；
(2)
(3)当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min
【分析】（1）根据函数图象结合路程=时间×速度进行求解即可；
（2）分当时和当时两种情况讨论求解即可；
（3）分当小明处在去体育馆的途中离家2km时，当小明从体育馆去商店途中离家2kn时两种情况讨论求解即可．
(1)
解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，
∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为，
故答案为：2.5；；
(2)
解：由函数图象可知当时，，
当时，此时y是关于x一次函数，设，
∴，
解得，
∴此时，
综上所述，
(3)
解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，
；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，
∴，
解得；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
(2)图中a= ，b= ，c= ；
(3)求线段MN的函数解析式；
(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米 （直接写出答案即可）
【答案】(1)1200，60
(2)900，800，15
(3)y =-20x+1200（15≤x≤20）
(4)8分钟，分钟
【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来；
（2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b；
（3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出；
（4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出．
(1)
由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米，
因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离，
所以A、B两地之间距离为1200米；
由图像可知乙经过20分时到达A地，
∴乙的步行速度为（米/分）；
故答案为：1200，60；
(2)
由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，
设甲的步行速度为x米/分，则，
解得：x=80（米/分）
∴（分），
（米），
（米）．
故答案为：900，800，15；
(3)
由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y=kx+b（），
则有 ，
解得：
∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20）
(4)
设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米，
相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8；
相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=，
所以经过8分钟和分钟时两人相距80米．
11．（2022·黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】(1)100 60
(2)
(3)3，6.3，9.125
【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；
（2）设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；
（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
(1)
解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
(2)
设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得，
解得
∴y与x的函数解析式为；
(3)
解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0100t-60t=120，
解得：t=3；
当5当5.5500-100（t-5.5）-300=120，
解得：t=6.3；
当8100（t-8）-300=120，
解得：t=12.2，不符合题意，舍去；
当9100×（9-8）+100（t-9）+60（t-9）=120，
解得：t=9.125；
综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km．
题型三、动点问题的函数图像判断
1．（2022·甘肃武威）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形， 设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为，
∴△ABD的面积 解得：a= 故选B
2．（2022·辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴ACEF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
3．如图，在 中，，，，点 E 在 边上由点 A 向点 B 运动（不与点 A，点 B 重合），过点E 作 垂直 交直角边于 F．设， 面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可；
【详解】解：过点作于点，
，
，
，
，
当，
，
，
，
，即，
，
，开口向上的一段抛物线；
当，
同理可证，
，即，
，
，开口向下的一段抛物线；
综上，符合题意的函数关系的图象是D；
故选：D．
4．如图，点是菱形的对角线上的一个动点，过点垂直于的直线交菱形的边于、两点．设，，，的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（　　）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】的面积，通过题干已知条件，用分别表示出、，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：①；②．
【详解】解：①当时，如图1，
在菱形中，，，，且；
，
∴
，
，
即，
，
，
，
函数图象开口向下；
②当，如图2，
同理证得，，
，
即，
，
，
，
函数图象开口向上；
综上，答案A的图象大致符合；
故选：A．
5．（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可
【详解】
当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4；
当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7；
点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11，
故选D．
6．如图，在菱形ABCD中，其边长为4cm，，垂直于AD的直线EF（直线EF与菱形ABCD的两边分别交于点E，F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向右平移.若的面积为，直线EF的运动时间为，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，分别求出EF的长度代入即可判断函数图象．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A=60°，
∴当E、B重合时，AF=2，
当，,，
∴，
即，
∴y与x的函数是开口向上的二次函数，图象为抛物线的一部分；
当，EF为常数=，
∴，
即，
∴y与x是正比例函数，图象为直线的一部分，
故选：D．
7．（2022·山东潍坊）如图，在 ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在 ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤1，1【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠A=60°，AE=AF=x，
∴AG=x，
由勾股定理得FG=x，
∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；
当1∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，
∴AH=，
由勾股定理得DH=，
∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；
当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，
∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，
同理求得EI=(3-x)，
∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；
观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．
8．（2022·辽宁）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵，
∴，由题意知：，∴，
由折叠的性质可得：，
当点P与AB中点重合时，则有，
当点P在AB中点的左侧时，即，
∴与重叠部分的面积为；
当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：
由折叠性质可得：，，
∴，∴，∴，
∴与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．
题型四、平面直角坐标系的规律探究
1．(2022 河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐标为(　 　)
A．(，－1) B．(－1，－) C．(－，－1) D．(1，)
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______．
【答案】
【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】∵
当时，
当时，
故，
∴为30°的直角三角形
∴
∵
∴为30°的直角三角形
∴
∴为30°的直角三角形
∵轴
∴
∴
为30°的直角三角形
同理：
…
故：
故答案为：
3．（2021·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．
【答案】（，0）.
【解析】
【分析】
根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.
【详解】
解：如图，过点N作NM⊥x轴于M
将代入直线解析式中得
∴，45°
∵90°
∴
∵
∴
∴的坐标为（2，0）
同理可以求出的坐标为（4，0）
同理可以求出的坐标为（8，0）
同理可以求出的坐标为（，0）
∴的坐标为（，0）
故答案为：（，0）.
4．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】
解：∵点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=，
根据题意，OA2=1+=，
∴，，
同理，，，
，
……
由此规律，可得：，，
∴即，
故答案为：．
5．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
【详解】
解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，
∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，
∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，
∴A10的坐标为（-1，11），
故答案为：（-1，11）．

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