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集合与简单逻辑用语
【知识梳理】
一．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)元素的属性：数集合点集
(5)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
二．集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
子集的个数
四．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 两个集合共同的元素
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 两个集合所有的元素
补集 设A U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A} 在全集中找集合A没有的元素
五、命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
六、充分条件、必要条件
一般地，如果p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q，且q p
p是q的必要不充分条件 p q，且q p
p是q的充要条件 p q A=B
p是q的既不充分又不必要条件 p q，且q p A B且A B
【考点分类剖析】
考点一 集合的判断
【例1】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式探究】
1．下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生
考点二 集合与元素的关系
【例2】用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【变式探究】
1．用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
考点三 集合中元素的个数
【例3-1】集合中含有的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【例3-2】已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【变式探究】
1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点四 集合间的关系
【例4-1】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2022·陕西）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】
1．（2022·全国·高一）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
2．（多选）若集合，，则A与B之间最适合的关系是（ ）
A． B． C． D．
考点五 空集
【例5】下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．，且 C． D．
【变式探究】
1．（2022·浙江）下列集合是空集的是（ ）
A．或 B． C． D．
考点六 集合的（真）子集个数
【例6】（2022·河南）集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式探究】
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．7 B．8 C．16 D．4
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
3．（2022·海南中学）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．16个
考点七 交集
【例7-1】（2022·浙江）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2022·全国·高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（2022·北京）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】
1．（2022·河南）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． 或 D．
3．（2022·青海玉树）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
考点八 并集
【例8-1】（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2022·江苏省天一中学）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】
1（2022·河北）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2（2022·宁夏）已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北·沧县中学模拟预测）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
考点九 全集、补集
【例9-1】（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2022·青海玉树）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】
1．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则___________.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·浙江）设全集，集合，则（ ）.
A． B． C． D．
考点十 充分、必要条件的判断
【例10】（2022·北京八中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式探究】
1．（2022·重庆南开中学）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
2．（2022·广东珠海）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·河南驻马店）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件集合与简单逻辑用语
【知识梳理】
一．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)元素的属性：数集合点集
(5)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
二．集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B) A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
子集的个数
四．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 两个集合共同的元素
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 两个集合所有的元素
补集 设A U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A} 在全集中找集合A没有的元素
五、命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
六、充分条件、必要条件
一般地，如果p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q，且q p
p是q的必要不充分条件 p q，且q p
p是q的充要条件 p q A=B
p是q的既不充分又不必要条件 p q，且q p A B且A B
【考点分类剖析】
考点一 集合的判断
【例1】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.
② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.
③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.
④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.故选：A
【变式探究】
1．下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生
【答案】B
【解析】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B
考点二 集合与元素的关系
【例2】用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【答案】
【解析】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
【变式探究】
1．用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
【解析】表示自然数集；表示正整数集；
表示整数集；表示有理数集；表示实数集.
故答案为：；；；；；；；；；；；.
考点三 集合中元素的个数
【例3-1】集合中含有的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B
【例3-2】已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】集合中的元素有，，，共4个，故选：C.
【变式探究】
1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【解析】“book”中的字母构成的集合为，有3 个元素，故选：C
2．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由集合，，根据，所以，
所以中元素的个数是3.故选：C
考点四 集合间的关系
【例4-1】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：D.
【例4-2】（2022·陕西）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由且，即，而，
所以为的子集，则.故选：A
【变式探究】
1．（2022·全国·高一）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D
2．（多选）若集合，，则A与B之间最适合的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，集合的元素是的倍数，集合的元素是的倍数，所以集合是集合的真子集.
故选：D
考点五 空集
【例5】下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．，且
C． D．
【答案】B
【解析】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B．
【变式探究】
1．（2022·浙江）下列集合是空集的是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集；
对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D
考点六 集合的（真）子集个数
【例6】（2022·河南）集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B【解析】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B
【变式探究】
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．7 B．8 C．16 D．4
【答案】A
【解析】，集合含有3个元素，真子集的个数是，故选A.
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
【解析】由题意，因此其真子集个数为．故选：D．
3．（2022·海南中学）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．16个
【答案】C
【解析】由，得集合所以集合A的子集有个，故选： C
考点七 交集
【例7-1】（2022·浙江）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】由题意中的条件有.故选：C
【例7-2】（2022·全国·高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为，，所以．故选：A.
【例7-3】（2022·北京）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意可知，解得，所以，故选：.
【变式探究】
1．（2022·河南）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，∴.故选：D.
2．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】B
【解析】因为集合，所以，故选：B．
3．（2022·青海玉树）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是非零自然数集，所以故选：B
考点八 并集
【例8-1】（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】，故选：D.
【例8-2】（2022·江苏省天一中学）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故选：B
【变式探究】
1（2022·河北）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知或，，故选：B
2（2022·宁夏）已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以；故选：B
3．（2022·河北·沧县中学模拟预测）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】【解析】由题意可知，又，所以．故选：D．
考点九 全集、补集
【例9-1】（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：或，即，故选：D．
【例9-2】（2022·青海玉树）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因，则，而，所以.故选：D
【变式探究】
1．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以或；
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故选:D.
3、（2022·浙江）设全集，集合，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为全集，集合，所以，故选：C
考点十 充分、必要条件的判断
【例10】（2022·北京八中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】时，，故充分性成立，，解得：或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
【变式探究】
1．（2022·重庆南开中学）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】当时，成立，即充分性成立，当时，满足，但不成立，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
2．（2022·广东珠海）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立；
由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；故选：B
3．（2022·河南驻马店）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】解方程可得或，，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.

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