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函数的概念及其表示
【知识梳理】
一、函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
二、区间的表示方法
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
求函数的定义域的主要依据
已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。
①分式：分母不为0 ②根式：开偶次方根，被开方数大于等于0
③对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 ④指数：指数的底数大于0且不等于1
⑤ ⑥无以上情况定义域为R，实际应用题实际考虑
四、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：.
(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数.
最值 当时， 当时，
【考点分类剖析】
考点一 已知解析式求定义域
【例1-1】.函数的定义域是 。
【答案】
【解析】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．
【例1-2】函数的定义域是 。
【答案】
【解析】将化为，所以定义域为 因为，所以
综上，定义域为
【例1-3】函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．
【变式探究】
1、函数的定义域为 .
【答案】
【解析】欲使函数有意义则，所以 的定义域为
2、已知的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意可得，即，解得：或
3、函数f（x）=的定义域为 .
【答案】[3，4）∪（4，+∞）
【解析】要使函数有意义，则，解得
4、函数的定义域为 .
【答案】
【解析】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为
5、函数的定义域是________
【答案】
【解析】要使函数有意义，须，解得且，
函数的定义域是.故答案为：
考点二 待定系数法求解析式
【例2-1】已知是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【解析】设，则，
得，解得或.因此，或
【例2-2】已知二次函数满足 试求：求 的解析式；
【答案】
【解析】设，则有，对任意实数恒成立，，解之得，
【变式探究】
1、已知是一次函数，且满足求．
【答案】
【解析】是一次函数,设,则
即不论为何值都成立所以解得
故的解析式为
2、已知是一次函数，且满足．求．
【答案】
【解析】设，则，
，，；
考点三 方程组法求解析式
【例3-1】已知函数满足，则 。
【答案】
【解析】因为①，所以用替换，得 ②
由得
【例3-2】已知函数的定义域为，且，则______．
【答案】
【解析】在，用代替x，得，联立得 ，将代入中，可求得．
故填：
【变式探究】
1．已知函数满足，则______．
【答案】
【解析】因为，故，故可得即.
2．已知，则的解析式是________．
【答案】.
【解析】将等式中的换为得到：
故有解得：故答案为：
考点四 利用解析式求值
【例4-1】已知函数满足，则 。
【答案】
【解析】在中,分别令和得:
①, ②,
联立①②消去, 解得:
【变式探究】
1、设函数对的一切实数都有，则=___________
【答案】-2017
【解析】时，，当时，
即 ，解得.故填：-2017
考点五 二次函数最值范围问题
【例5-1】函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：函数的对称轴为，则在上单调递增，在上单调递减，，，即的值域为.故选：A.
【例5-2】函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
【答案】D【详解】f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．故选：D
【例5-3】函数的值域为（ ）
【答案】D
【变式探究】
1、已知函数在闭区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D【详解】的对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，当时，，当时，，所以函数在闭区间上的最大值是，
故选：D
函数的值域为
【答案】函数的概念及其表示
【知识梳理】
一、函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
二、区间的表示方法
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
求函数的定义域的主要依据
已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。
①分式：分母不为0 ②根式：开偶次方根，被开方数大于等于0
③对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 ④指数：指数的底数大于0且不等于1
⑤ ⑥无以上情况定义域为R，实际应用题实际考虑
四、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：.
(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数.
最值 当时， 当时，
【考点分类剖析】
考点一 已知解析式求定义域
【例1-1】.函数的定义域是 。
【例1-2】函数的定义域是 。
【例1-3】函数的定义域为 .
【变式探究】
1、函数的定义域为 .
2、已知的定义域是 .
3、函数f（x）=的定义域为 .
4、函数的定义域为 .
5、函数的定义域是________
考点二 待定系数法求解析式
【例2-1】已知是一次函数，且，求的解析式.
【例2-2】已知二次函数满足 试求：求 的解析式；
【变式探究】
1、已知是一次函数，且满足求．
2、已知是一次函数，且满足．求．
考点三 方程组法求解析式
【例3-1】已知函数满足，则 。
【例3-2】已知函数的定义域为，且，则______．
【变式探究】
1．已知函数满足，则______．
2．已知，则的解析式是________．
考点四 利用解析式求值
【例4-1】已知函数满足，则 。
【变式探究】
1、设函数对的一切实数都有，则=___________
考点五 二次函数最值范围问题
【例5-1】函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
【例5-3】函数的值域为（ ）
【变式探究】
1、已知函数在闭区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2、函数的值域为

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